ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  phiprm Unicode version

Theorem phiprm 11922
Description: Value of the Euler  phi function at a prime. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
phiprm  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( phi `  P )  =  ( P  -  1 ) )

Proof of Theorem phiprm
StepHypRef Expression
1 1nn 8750 . . 3  |-  1  e.  NN
2 phiprmpw 11921 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  1  e.  NN )  ->  ( phi `  ( P ^
1 ) )  =  ( ( P ^
( 1  -  1 ) )  x.  ( P  -  1 ) ) )
31, 2mpan2 421 . 2  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( phi `  ( P ^ 1 ) )  =  ( ( P ^ (
1  -  1 ) )  x.  ( P  -  1 ) ) )
4 prmz 11815 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
54zcnd 9193 . . . 4  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  CC )
65exp1d 10443 . . 3  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P ^ 1 )  =  P )
76fveq2d 5428 . 2  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( phi `  ( P ^ 1 ) )  =  ( phi `  P ) )
8 1m1e0 8808 . . . . . 6  |-  ( 1  -  1 )  =  0
98oveq2i 5788 . . . . 5  |-  ( P ^ ( 1  -  1 ) )  =  ( P ^ 0 )
105exp0d 10442 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P ^ 0 )  =  1 )
119, 10syl5eq 2184 . . . 4  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P ^ ( 1  -  1 ) )  =  1 )
1211oveq1d 5792 . . 3  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( ( P ^ ( 1  -  1 ) )  x.  ( P  - 
1 ) )  =  ( 1  x.  ( P  -  1 ) ) )
13 ax-1cn 7732 . . . . 5  |-  1  e.  CC
14 subcl 7980 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( P  -  1 )  e.  CC )
155, 13, 14sylancl 409 . . . 4  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P  -  1 )  e.  CC )
1615mulid2d 7803 . . 3  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( 1  x.  ( P  - 
1 ) )  =  ( P  -  1 ) )
1712, 16eqtrd 2172 . 2  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( ( P ^ ( 1  -  1 ) )  x.  ( P  - 
1 ) )  =  ( P  -  1 ) )
183, 7, 173eqtr3d 2180 1  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( phi `  P )  =  ( P  -  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1331    e. wcel 1480   ` cfv 5126  (class class class)co 5777   CCcc 7637   0cc0 7639   1c1 7640    x. cmul 7644    - cmin 7952   NNcn 8739   ^cexp 10316   Primecprime 11811   phicphi 11909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4046  ax-sep 4049  ax-nul 4057  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-iinf 4505  ax-cnex 7730  ax-resscn 7731  ax-1cn 7732  ax-1re 7733  ax-icn 7734  ax-addcl 7735  ax-addrcl 7736  ax-mulcl 7737  ax-mulrcl 7738  ax-addcom 7739  ax-mulcom 7740  ax-addass 7741  ax-mulass 7742  ax-distr 7743  ax-i2m1 7744  ax-0lt1 7745  ax-1rid 7746  ax-0id 7747  ax-rnegex 7748  ax-precex 7749  ax-cnre 7750  ax-pre-ltirr 7751  ax-pre-ltwlin 7752  ax-pre-lttrn 7753  ax-pre-apti 7754  ax-pre-ltadd 7755  ax-pre-mulgt0 7756  ax-pre-mulext 7757  ax-arch 7758  ax-caucvg 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-int 3775  df-iun 3818  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-tr 4030  df-id 4218  df-po 4221  df-iso 4222  df-iord 4291  df-on 4293  df-ilim 4294  df-suc 4296  df-iom 4508  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-res 4554  df-ima 4555  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-f 5130  df-f1 5131  df-fo 5132  df-f1o 5133  df-fv 5134  df-riota 5733  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-1st 6041  df-2nd 6042  df-recs 6205  df-irdg 6270  df-frec 6291  df-1o 6316  df-2o 6317  df-oadd 6320  df-er 6432  df-en 6638  df-dom 6639  df-fin 6640  df-sup 6874  df-pnf 7821  df-mnf 7822  df-xr 7823  df-ltxr 7824  df-le 7825  df-sub 7954  df-neg 7955  df-reap 8356  df-ap 8363  df-div 8452  df-inn 8740  df-2 8798  df-3 8799  df-4 8800  df-n0 8997  df-z 9074  df-uz 9346  df-q 9434  df-rp 9464  df-fz 9815  df-fzo 9944  df-fl 10067  df-mod 10120  df-seqfrec 10243  df-exp 10317  df-ihash 10546  df-cj 10638  df-re 10639  df-im 10640  df-rsqrt 10794  df-abs 10795  df-dvds 11517  df-gcd 11659  df-prm 11812  df-phi 11910
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator