Theorem zlmlemg 15071

Description: Lemma for zlmbasg 15072 and zlmplusgg 15073. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmbas.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmlem.2	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
zlmlem.nn	⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
zlmlem.3	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
zlmlem.4	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)

Assertion

Ref	Expression
zlmlemg	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊))

Proof of Theorem zlmlemg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scaslid 13565	. . . . 5 ⊢ (Scalar = Slot (Scalar‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ)
2	1	simpri 113	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ
3		zringring 15036	. . . 4 ⊢ ℤring ∈ Ring
4		setsex 13441	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ ∧ ℤring ∈ Ring) → (𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) ∈ V)
5	2, 3, 4	mp3an23 1370	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) ∈ V)
6		mulgex 13984	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (.g‘𝐺) ∈ V)
7		zlmlem.2	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
8		zlmlem.nn	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
9	7, 8	ndxslid 13434	. . . 4 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
10		zlmlem.4	. . . 4 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
11		vscaslid 13575	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ)
12	11	simpri 113	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ
13	9, 10, 12	setsslnid 13461	. . 3 ⊢ (((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) ∈ V ∧ (.g‘𝐺) ∈ V) → (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
14	5, 6, 13	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
15		zlmlem.3	. . . 4 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
16	9, 15, 2	setsslnid 13461	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ ℤring ∈ Ring) → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)))
17	3, 16	mpan2 429	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)))
18		zlmbas.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
19		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
20	18, 19	zlmval 15070	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
21	20	fveq2d 5702	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
22	14, 17, 21	3eqtr4d 2281	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  Vcvv 2821  ⟨cop 3712  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℕcn 9313  ndxcnx 13406   sSet csts 13407  Slot cslot 13408  Scalarcsca 13492   ·_𝑠 cvsca 13493  ._gcmg 13980  Ringcrg 14406  ℤ_ringczring 15033  ℤModczlm 15055

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-addf 8307  ax-mulf 8308

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6581  df-frec 6667  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9654  df-dec 9788  df-uz 9937  df-rp 10071  df-fz 10428  df-seqfrec 10905  df-cj 11628  df-abs 11786  df-struct 13411  df-ndx 13412  df-slot 13413  df-base 13415  df-sets 13416  df-iress 13417  df-plusg 13502  df-mulr 13503  df-starv 13504  df-sca 13505  df-vsca 13506  df-tset 13508  df-ple 13509  df-ds 13511  df-unif 13512  df-0g 13670  df-topgen 13672  df-mgm 13734  df-sgrp 13775  df-mnd 13788  df-grp 13866  df-minusg 13867  df-mulg 13981  df-subg 14031  df-cmn 14178  df-mgp 14324  df-ur 14369  df-ring 14408  df-cring 14409  df-subrg 14635  df-bl 14991  df-mopn 14992  df-fg 14994  df-metu 14995  df-cnfld 15002  df-zring 15034  df-zlm 15058

This theorem is used by:  zlmbasg  15072  zlmplusgg  15073  zlmmulrg  15074