Theorem zlmlemg 13873

Description: Lemma for zlmbasg 13874 and zlmplusgg 13875. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmbas.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmlem.2	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
zlmlem.nn	⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
zlmlem.3	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
zlmlem.4	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)

Assertion

Ref	Expression
zlmlemg	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊))

Proof of Theorem zlmlemg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scaslid 12629	. . . . 5 ⊢ (Scalar = Slot (Scalar‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ)
2	1	simpri 113	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ
3		zringring 13852	. . . 4 ⊢ ℤring ∈ Ring
4		setsex 12511	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ ∧ ℤring ∈ Ring) → (𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) ∈ V)
5	2, 3, 4	mp3an23 1339	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) ∈ V)
6		mulgex 13030	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (.g‘𝐺) ∈ V)
7		zlmlem.2	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
8		zlmlem.nn	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
9	7, 8	ndxslid 12504	. . . 4 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
10		zlmlem.4	. . . 4 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
11		vscaslid 12639	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ)
12	11	simpri 113	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ
13	9, 10, 12	setsslnid 12531	. . 3 ⊢ (((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) ∈ V ∧ (.g‘𝐺) ∈ V) → (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
14	5, 6, 13	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
15		zlmlem.3	. . . 4 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
16	9, 15, 2	setsslnid 12531	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ ℤring ∈ Ring) → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)))
17	3, 16	mpan2 425	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)))
18		zlmbas.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
19		eqid 2188	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
20	18, 19	zlmval 13872	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
21	20	fveq2d 5533	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
22	14, 17, 21	3eqtr4d 2231	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1363   ∈ wcel 2159   ≠ wne 2359  Vcvv 2751  ⟨cop 3609  ‘cfv 5230  (class class class)co 5890  ℕcn 8936  ndxcnx 12476   sSet csts 12477  Slot cslot 12478  Scalarcsca 12557   ·_𝑠 cvsca 12558  ._gcmg 13026  Ringcrg 13310  ℤ_ringczring 13849  ℤModczlm 13867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-coll 4132  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-iinf 4601  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-1re 7922  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-mulrcl 7927  ax-addcom 7928  ax-mulcom 7929  ax-addass 7930  ax-mulass 7931  ax-distr 7932  ax-i2m1 7933  ax-0lt1 7934  ax-1rid 7935  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-precex 7938  ax-cnre 7939  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-ltwlin 7941  ax-pre-lttrn 7942  ax-pre-apti 7943  ax-pre-ltadd 7944  ax-pre-mulgt0 7945  ax-addf 7950  ax-mulf 7951

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rmo 2475  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-if 3549  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-tp 3614  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4116  df-id 4307  df-iord 4380  df-on 4382  df-iom 4604  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-1st 6158  df-2nd 6159  df-recs 6323  df-frec 6409  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-xr 8013  df-ltxr 8014  df-le 8015  df-sub 8147  df-neg 8148  df-reap 8549  df-inn 8937  df-2 8995  df-3 8996  df-4 8997  df-5 8998  df-6 8999  df-7 9000  df-8 9001  df-9 9002  df-n0 9194  df-z 9271  df-dec 9402  df-uz 9546  df-fz 10026  df-seqfrec 10463  df-cj 10868  df-struct 12481  df-ndx 12482  df-slot 12483  df-base 12485  df-sets 12486  df-iress 12487  df-plusg 12567  df-mulr 12568  df-starv 12569  df-sca 12570  df-vsca 12571  df-0g 12728  df-mgm 12797  df-sgrp 12830  df-mnd 12843  df-grp 12913  df-minusg 12914  df-mulg 13027  df-subg 13074  df-cmn 13185  df-mgp 13235  df-ur 13274  df-ring 13312  df-cring 13313  df-subrg 13526  df-icnfld 13825  df-zring 13850  df-zlm 13870

This theorem is referenced by:  zlmbasg  13874  zlmplusgg  13875  zlmmulrg  13876