Theorem zlmlemg 14423

Description: Lemma for zlmbasg 14424 and zlmplusgg 14425. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmbas.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmlem.2	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
zlmlem.nn	⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
zlmlem.3	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
zlmlem.4	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)

Assertion

Ref	Expression
zlmlemg	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊))

Proof of Theorem zlmlemg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scaslid 13018	. . . . 5 ⊢ (Scalar = Slot (Scalar‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ)
2	1	simpri 113	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ
3		zringring 14388	. . . 4 ⊢ ℤring ∈ Ring
4		setsex 12897	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ ∧ ℤring ∈ Ring) → (𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) ∈ V)
5	2, 3, 4	mp3an23 1342	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) ∈ V)
6		mulgex 13492	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (.g‘𝐺) ∈ V)
7		zlmlem.2	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
8		zlmlem.nn	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
9	7, 8	ndxslid 12890	. . . 4 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
10		zlmlem.4	. . . 4 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
11		vscaslid 13028	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ)
12	11	simpri 113	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ
13	9, 10, 12	setsslnid 12917	. . 3 ⊢ (((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) ∈ V ∧ (.g‘𝐺) ∈ V) → (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
14	5, 6, 13	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
15		zlmlem.3	. . . 4 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
16	9, 15, 2	setsslnid 12917	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ ℤring ∈ Ring) → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)))
17	3, 16	mpan2 425	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)))
18		zlmbas.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
19		eqid 2205	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
20	18, 19	zlmval 14422	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
21	20	fveq2d 5582	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
22	14, 17, 21	3eqtr4d 2248	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2176   ≠ wne 2376  Vcvv 2772  ⟨cop 3636  ‘cfv 5272  (class class class)co 5946  ℕcn 9038  ndxcnx 12862   sSet csts 12863  Slot cslot 12864  Scalarcsca 12945   ·_𝑠 cvsca 12946  ._gcmg 13488  Ringcrg 13791  ℤ_ringczring 14385  ℤModczlm 14407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-addf 8049  ax-mulf 8050

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-tp 3641  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-iord 4414  df-on 4416  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-frec 6479  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099  df-5 9100  df-6 9101  df-7 9102  df-8 9103  df-9 9104  df-n0 9298  df-z 9375  df-dec 9507  df-uz 9651  df-rp 9778  df-fz 10133  df-seqfrec 10595  df-cj 11186  df-abs 11343  df-struct 12867  df-ndx 12868  df-slot 12869  df-base 12871  df-sets 12872  df-iress 12873  df-plusg 12955  df-mulr 12956  df-starv 12957  df-sca 12958  df-vsca 12959  df-tset 12961  df-ple 12962  df-ds 12964  df-unif 12965  df-0g 13123  df-topgen 13125  df-mgm 13221  df-sgrp 13267  df-mnd 13282  df-grp 13368  df-minusg 13369  df-mulg 13489  df-subg 13539  df-cmn 13655  df-mgp 13716  df-ur 13755  df-ring 13793  df-cring 13794  df-subrg 14014  df-bl 14341  df-mopn 14342  df-fg 14344  df-metu 14345  df-cnfld 14352  df-zring 14386  df-zlm 14410

This theorem is referenced by:  zlmbasg  14424  zlmplusgg  14425  zlmmulrg  14426