Theorem zlmlemg 14505

Description: Lemma for zlmbasg 14506 and zlmplusgg 14507. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmbas.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmlem.2	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
zlmlem.nn	⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
zlmlem.3	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
zlmlem.4	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)

Assertion

Ref	Expression
zlmlemg	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊))

Proof of Theorem zlmlemg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scaslid 13100	. . . . 5 ⊢ (Scalar = Slot (Scalar‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ)
2	1	simpri 113	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ
3		zringring 14470	. . . 4 ⊢ ℤring ∈ Ring
4		setsex 12979	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ ∧ ℤring ∈ Ring) → (𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) ∈ V)
5	2, 3, 4	mp3an23 1342	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) ∈ V)
6		mulgex 13574	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (.g‘𝐺) ∈ V)
7		zlmlem.2	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
8		zlmlem.nn	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
9	7, 8	ndxslid 12972	. . . 4 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
10		zlmlem.4	. . . 4 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
11		vscaslid 13110	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ)
12	11	simpri 113	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ
13	9, 10, 12	setsslnid 12999	. . 3 ⊢ (((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) ∈ V ∧ (.g‘𝐺) ∈ V) → (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
14	5, 6, 13	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
15		zlmlem.3	. . . 4 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
16	9, 15, 2	setsslnid 12999	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ ℤring ∈ Ring) → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)))
17	3, 16	mpan2 425	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)))
18		zlmbas.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
19		eqid 2207	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
20	18, 19	zlmval 14504	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
21	20	fveq2d 5603	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
22	14, 17, 21	3eqtr4d 2250	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2178   ≠ wne 2378  Vcvv 2776  ⟨cop 3646  ‘cfv 5290  (class class class)co 5967  ℕcn 9071  ndxcnx 12944   sSet csts 12945  Slot cslot 12946  Scalarcsca 13027   ·_𝑠 cvsca 13028  ._gcmg 13570  Ringcrg 13873  ℤ_ringczring 14467  ℤModczlm 14489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-addf 8082  ax-mulf 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-5 9133  df-6 9134  df-7 9135  df-8 9136  df-9 9137  df-n0 9331  df-z 9408  df-dec 9540  df-uz 9684  df-rp 9811  df-fz 10166  df-seqfrec 10630  df-cj 11268  df-abs 11425  df-struct 12949  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-sets 12954  df-iress 12955  df-plusg 13037  df-mulr 13038  df-starv 13039  df-sca 13040  df-vsca 13041  df-tset 13043  df-ple 13044  df-ds 13046  df-unif 13047  df-0g 13205  df-topgen 13207  df-mgm 13303  df-sgrp 13349  df-mnd 13364  df-grp 13450  df-minusg 13451  df-mulg 13571  df-subg 13621  df-cmn 13737  df-mgp 13798  df-ur 13837  df-ring 13875  df-cring 13876  df-subrg 14096  df-bl 14423  df-mopn 14424  df-fg 14426  df-metu 14427  df-cnfld 14434  df-zring 14468  df-zlm 14492

This theorem is referenced by:  zlmbasg  14506  zlmplusgg  14507  zlmmulrg  14508