Theorem zrhval2 15063

Description: Alternate value of the ℤRHom homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhval.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
zrhval2.m	⊢ · = (.g‘𝑅)
zrhval2.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrhval2	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 )))

Distinct variable groups:   1 ,𝑛   𝑅,𝑛   · ,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐿(𝑛)

Proof of Theorem zrhval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zrhval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
2	1	zrhvalg 15062	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 = ∪ (ℤring RingHom 𝑅))
3		zrhval2.m	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝑅)
4		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 )) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))
5		zrhval2.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
6	3, 4, 5	mulgrhm2 15054	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤring RingHom 𝑅) = {(𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))})
7	6	unieqd 3946	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∪ (ℤring RingHom 𝑅) = ∪ {(𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))})
8		zex 9664	. . . . 5 ⊢ ℤ ∈ V
9	8	mptex 5946	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 )) ∈ V
10	9	unisn 3951	. . 3 ⊢ ∪ {(𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))} = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 ))
11	7, 10	eqtrdi 2287	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∪ (ℤring RingHom 𝑅) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 )))
12	2, 11	eqtrd 2271	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 1 )))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {csn 3709  ∪ cuni 3935   ↦ cmpt 4193  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℤcz 9655  ._gcmg 13981  1_rcur 14369  Ringcrg 14407   RingHom crh 14566  ℤ_ringczring 15034  ℤRHomczrh 15055

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-addf 8307  ax-mulf 8308

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-map 6928  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-dec 9789  df-uz 9938  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-cj 11629  df-abs 11787  df-struct 13412  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-iress 13418  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-starv 13505  df-tset 13509  df-ple 13510  df-ds 13512  df-unif 13513  df-0g 13671  df-topgen 13673  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-mhm 13825  df-grp 13867  df-minusg 13868  df-mulg 13982  df-subg 14032  df-ghm 14103  df-cmn 14179  df-mgp 14325  df-ur 14370  df-ring 14409  df-cring 14410  df-rhm 14568  df-subrg 14636  df-bl 14992  df-mopn 14993  df-fg 14995  df-metu 14996  df-cnfld 15003  df-zring 15035  df-zrh 15058

This theorem is used by:  zrhmulg  15064  zrhrhmb  15066