ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cauappcvgprlemlol GIF version

Theorem cauappcvgprlemlol 7478
Description: Lemma for cauappcvgpr 7493. The lower cut of the putative limit is lower. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f (𝜑𝐹:QQ)
cauappcvgpr.app (𝜑 → ∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd (𝜑 → ∀𝑝Q 𝐴 <Q (𝐹𝑝))
cauappcvgpr.lim 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemlol ((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) → 𝑠 ∈ (1st𝐿))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐿,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞   𝐿,𝑟,𝑠   𝐴,𝑠,𝑝   𝐹,𝑙,𝑢,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠   𝜑,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑟,𝑞,𝑙)   𝐿(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemlol
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 7196 . . . . 5 <Q ⊆ (Q × Q)
21brel 4598 . . . 4 (𝑠 <Q 𝑟 → (𝑠Q𝑟Q))
32simpld 111 . . 3 (𝑠 <Q 𝑟𝑠Q)
433ad2ant2 1004 . 2 ((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) → 𝑠Q)
5 oveq1 5788 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑟 → (𝑙 +Q 𝑞) = (𝑟 +Q 𝑞))
65breq1d 3946 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝑟 → ((𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
76rexbidv 2439 . . . . . 6 (𝑙 = 𝑟 → (∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ ∃𝑞Q (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
8 cauappcvgpr.lim . . . . . . . 8 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
98fveq2i 5431 . . . . . . 7 (1st𝐿) = (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)
10 nqex 7194 . . . . . . . . 9 Q ∈ V
1110rabex 4079 . . . . . . . 8 {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)} ∈ V
1210rabex 4079 . . . . . . . 8 {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢} ∈ V
1311, 12op1st 6051 . . . . . . 7 (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩) = {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}
149, 13eqtri 2161 . . . . . 6 (1st𝐿) = {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}
157, 14elrab2 2846 . . . . 5 (𝑟 ∈ (1st𝐿) ↔ (𝑟Q ∧ ∃𝑞Q (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
1615simprbi 273 . . . 4 (𝑟 ∈ (1st𝐿) → ∃𝑞Q (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))
17163ad2ant3 1005 . . 3 ((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) → ∃𝑞Q (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))
18 simpll2 1022 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)) → 𝑠 <Q 𝑟)
19 ltanqg 7231 . . . . . . . . 9 ((𝑓Q𝑔QQ) → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ ( +Q 𝑓) <Q ( +Q 𝑔)))
2019adantl 275 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)) ∧ (𝑓Q𝑔QQ)) → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ ( +Q 𝑓) <Q ( +Q 𝑔)))
214ad2antrr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)) → 𝑠Q)
222simprd 113 . . . . . . . . . 10 (𝑠 <Q 𝑟𝑟Q)
23223ad2ant2 1004 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) → 𝑟Q)
2423ad2antrr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)) → 𝑟Q)
25 simplr 520 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)) → 𝑞Q)
26 addcomnqg 7212 . . . . . . . . 9 ((𝑓Q𝑔Q) → (𝑓 +Q 𝑔) = (𝑔 +Q 𝑓))
2726adantl 275 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)) ∧ (𝑓Q𝑔Q)) → (𝑓 +Q 𝑔) = (𝑔 +Q 𝑓))
2820, 21, 24, 25, 27caovord2d 5947 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)) → (𝑠 <Q 𝑟 ↔ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝑟 +Q 𝑞)))
2918, 28mpbid 146 . . . . . 6 ((((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)) → (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝑟 +Q 𝑞))
30 ltsonq 7229 . . . . . . 7 <Q Or Q
3130, 1sotri 4941 . . . . . 6 (((𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝑟 +Q 𝑞) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)) → (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))
3229, 31sylancom 417 . . . . 5 ((((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)) → (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))
3332ex 114 . . . 4 (((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) ∧ 𝑞Q) → ((𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) → (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
3433reximdva 2537 . . 3 ((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) → (∃𝑞Q (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) → ∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
3517, 34mpd 13 . 2 ((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) → ∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))
36 oveq1 5788 . . . . 5 (𝑙 = 𝑠 → (𝑙 +Q 𝑞) = (𝑠 +Q 𝑞))
3736breq1d 3946 . . . 4 (𝑙 = 𝑠 → ((𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
3837rexbidv 2439 . . 3 (𝑙 = 𝑠 → (∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ ∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
3938, 14elrab2 2846 . 2 (𝑠 ∈ (1st𝐿) ↔ (𝑠Q ∧ ∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
404, 35, 39sylanbrc 414 1 ((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) → 𝑠 ∈ (1st𝐿))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 963   = wceq 1332  wcel 1481  wral 2417  wrex 2418  {crab 2421  cop 3534   class class class wbr 3936  wf 5126  cfv 5130  (class class class)co 5781  1st c1st 6043  Qcnq 7111   +Q cplq 7113   <Q cltq 7116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-eprel 4218  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-irdg 6274  df-oadd 6324  df-omul 6325  df-er 6436  df-ec 6438  df-qs 6442  df-ni 7135  df-pli 7136  df-mi 7137  df-lti 7138  df-plpq 7175  df-enq 7178  df-nqqs 7179  df-plqqs 7180  df-ltnqqs 7184
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemrnd  7481
  Copyright terms: Public domain W3C validator