ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cauappcvgprlemlol GIF version

Theorem cauappcvgprlemlol 7423
Description: Lemma for cauappcvgpr 7438. The lower cut of the putative limit is lower. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f (𝜑𝐹:QQ)
cauappcvgpr.app (𝜑 → ∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd (𝜑 → ∀𝑝Q 𝐴 <Q (𝐹𝑝))
cauappcvgpr.lim 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemlol ((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) → 𝑠 ∈ (1st𝐿))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐿,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞   𝐿,𝑟,𝑠   𝐴,𝑠,𝑝   𝐹,𝑙,𝑢,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠   𝜑,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑟,𝑞,𝑙)   𝐿(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemlol
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 7141 . . . . 5 <Q ⊆ (Q × Q)
21brel 4561 . . . 4 (𝑠 <Q 𝑟 → (𝑠Q𝑟Q))
32simpld 111 . . 3 (𝑠 <Q 𝑟𝑠Q)
433ad2ant2 988 . 2 ((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) → 𝑠Q)
5 oveq1 5749 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑟 → (𝑙 +Q 𝑞) = (𝑟 +Q 𝑞))
65breq1d 3909 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝑟 → ((𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
76rexbidv 2415 . . . . . 6 (𝑙 = 𝑟 → (∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ ∃𝑞Q (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
8 cauappcvgpr.lim . . . . . . . 8 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
98fveq2i 5392 . . . . . . 7 (1st𝐿) = (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)
10 nqex 7139 . . . . . . . . 9 Q ∈ V
1110rabex 4042 . . . . . . . 8 {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)} ∈ V
1210rabex 4042 . . . . . . . 8 {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢} ∈ V
1311, 12op1st 6012 . . . . . . 7 (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩) = {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}
149, 13eqtri 2138 . . . . . 6 (1st𝐿) = {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}
157, 14elrab2 2816 . . . . 5 (𝑟 ∈ (1st𝐿) ↔ (𝑟Q ∧ ∃𝑞Q (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
1615simprbi 273 . . . 4 (𝑟 ∈ (1st𝐿) → ∃𝑞Q (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))
17163ad2ant3 989 . . 3 ((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) → ∃𝑞Q (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))
18 simpll2 1006 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)) → 𝑠 <Q 𝑟)
19 ltanqg 7176 . . . . . . . . 9 ((𝑓Q𝑔QQ) → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ ( +Q 𝑓) <Q ( +Q 𝑔)))
2019adantl 275 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)) ∧ (𝑓Q𝑔QQ)) → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ ( +Q 𝑓) <Q ( +Q 𝑔)))
214ad2antrr 479 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)) → 𝑠Q)
222simprd 113 . . . . . . . . . 10 (𝑠 <Q 𝑟𝑟Q)
23223ad2ant2 988 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) → 𝑟Q)
2423ad2antrr 479 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)) → 𝑟Q)
25 simplr 504 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)) → 𝑞Q)
26 addcomnqg 7157 . . . . . . . . 9 ((𝑓Q𝑔Q) → (𝑓 +Q 𝑔) = (𝑔 +Q 𝑓))
2726adantl 275 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)) ∧ (𝑓Q𝑔Q)) → (𝑓 +Q 𝑔) = (𝑔 +Q 𝑓))
2820, 21, 24, 25, 27caovord2d 5908 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)) → (𝑠 <Q 𝑟 ↔ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝑟 +Q 𝑞)))
2918, 28mpbid 146 . . . . . 6 ((((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)) → (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝑟 +Q 𝑞))
30 ltsonq 7174 . . . . . . 7 <Q Or Q
3130, 1sotri 4904 . . . . . 6 (((𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝑟 +Q 𝑞) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)) → (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))
3229, 31sylancom 416 . . . . 5 ((((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)) → (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))
3332ex 114 . . . 4 (((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) ∧ 𝑞Q) → ((𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) → (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
3433reximdva 2511 . . 3 ((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) → (∃𝑞Q (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) → ∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
3517, 34mpd 13 . 2 ((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) → ∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))
36 oveq1 5749 . . . . 5 (𝑙 = 𝑠 → (𝑙 +Q 𝑞) = (𝑠 +Q 𝑞))
3736breq1d 3909 . . . 4 (𝑙 = 𝑠 → ((𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
3837rexbidv 2415 . . 3 (𝑙 = 𝑠 → (∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ ∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
3938, 14elrab2 2816 . 2 (𝑠 ∈ (1st𝐿) ↔ (𝑠Q ∧ ∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
404, 35, 39sylanbrc 413 1 ((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) → 𝑠 ∈ (1st𝐿))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 947   = wceq 1316  wcel 1465  wral 2393  wrex 2394  {crab 2397  cop 3500   class class class wbr 3899  wf 5089  cfv 5093  (class class class)co 5742  1st c1st 6004  Qcnq 7056   +Q cplq 7058   <Q cltq 7061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-eprel 4181  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-oadd 6285  df-omul 6286  df-er 6397  df-ec 6399  df-qs 6403  df-ni 7080  df-pli 7081  df-mi 7082  df-lti 7083  df-plpq 7120  df-enq 7123  df-nqqs 7124  df-plqqs 7125  df-ltnqqs 7129
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemrnd  7426
  Copyright terms: Public domain W3C validator