ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cauappcvgprlemlol GIF version

Theorem cauappcvgprlemlol 7648
Description: Lemma for cauappcvgpr 7663. The lower cut of the putative limit is lower. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f (𝜑𝐹:QQ)
cauappcvgpr.app (𝜑 → ∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd (𝜑 → ∀𝑝Q 𝐴 <Q (𝐹𝑝))
cauappcvgpr.lim 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemlol ((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) → 𝑠 ∈ (1st𝐿))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐿,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞   𝐿,𝑟,𝑠   𝐴,𝑠,𝑝   𝐹,𝑙,𝑢,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠   𝜑,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑟,𝑞,𝑙)   𝐿(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemlol
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 7366 . . . . 5 <Q ⊆ (Q × Q)
21brel 4680 . . . 4 (𝑠 <Q 𝑟 → (𝑠Q𝑟Q))
32simpld 112 . . 3 (𝑠 <Q 𝑟𝑠Q)
433ad2ant2 1019 . 2 ((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) → 𝑠Q)
5 oveq1 5884 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑟 → (𝑙 +Q 𝑞) = (𝑟 +Q 𝑞))
65breq1d 4015 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝑟 → ((𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
76rexbidv 2478 . . . . . 6 (𝑙 = 𝑟 → (∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ ∃𝑞Q (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
8 cauappcvgpr.lim . . . . . . . 8 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
98fveq2i 5520 . . . . . . 7 (1st𝐿) = (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)
10 nqex 7364 . . . . . . . . 9 Q ∈ V
1110rabex 4149 . . . . . . . 8 {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)} ∈ V
1210rabex 4149 . . . . . . . 8 {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢} ∈ V
1311, 12op1st 6149 . . . . . . 7 (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩) = {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}
149, 13eqtri 2198 . . . . . 6 (1st𝐿) = {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}
157, 14elrab2 2898 . . . . 5 (𝑟 ∈ (1st𝐿) ↔ (𝑟Q ∧ ∃𝑞Q (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
1615simprbi 275 . . . 4 (𝑟 ∈ (1st𝐿) → ∃𝑞Q (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))
17163ad2ant3 1020 . . 3 ((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) → ∃𝑞Q (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))
18 simpll2 1037 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)) → 𝑠 <Q 𝑟)
19 ltanqg 7401 . . . . . . . . 9 ((𝑓Q𝑔QQ) → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ ( +Q 𝑓) <Q ( +Q 𝑔)))
2019adantl 277 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)) ∧ (𝑓Q𝑔QQ)) → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ ( +Q 𝑓) <Q ( +Q 𝑔)))
214ad2antrr 488 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)) → 𝑠Q)
222simprd 114 . . . . . . . . . 10 (𝑠 <Q 𝑟𝑟Q)
23223ad2ant2 1019 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) → 𝑟Q)
2423ad2antrr 488 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)) → 𝑟Q)
25 simplr 528 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)) → 𝑞Q)
26 addcomnqg 7382 . . . . . . . . 9 ((𝑓Q𝑔Q) → (𝑓 +Q 𝑔) = (𝑔 +Q 𝑓))
2726adantl 277 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)) ∧ (𝑓Q𝑔Q)) → (𝑓 +Q 𝑔) = (𝑔 +Q 𝑓))
2820, 21, 24, 25, 27caovord2d 6046 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)) → (𝑠 <Q 𝑟 ↔ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝑟 +Q 𝑞)))
2918, 28mpbid 147 . . . . . 6 ((((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)) → (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝑟 +Q 𝑞))
30 ltsonq 7399 . . . . . . 7 <Q Or Q
3130, 1sotri 5026 . . . . . 6 (((𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝑟 +Q 𝑞) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)) → (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))
3229, 31sylancom 420 . . . . 5 ((((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)) → (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))
3332ex 115 . . . 4 (((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) ∧ 𝑞Q) → ((𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) → (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
3433reximdva 2579 . . 3 ((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) → (∃𝑞Q (𝑟 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) → ∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
3517, 34mpd 13 . 2 ((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) → ∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞))
36 oveq1 5884 . . . . 5 (𝑙 = 𝑠 → (𝑙 +Q 𝑞) = (𝑠 +Q 𝑞))
3736breq1d 4015 . . . 4 (𝑙 = 𝑠 → ((𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
3837rexbidv 2478 . . 3 (𝑙 = 𝑠 → (∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ ∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
3938, 14elrab2 2898 . 2 (𝑠 ∈ (1st𝐿) ↔ (𝑠Q ∧ ∃𝑞Q (𝑠 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
404, 35, 39sylanbrc 417 1 ((𝜑𝑠 <Q 𝑟𝑟 ∈ (1st𝐿)) → 𝑠 ∈ (1st𝐿))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  {crab 2459  cop 3597   class class class wbr 4005  wf 5214  cfv 5218  (class class class)co 5877  1st c1st 6141  Qcnq 7281   +Q cplq 7283   <Q cltq 7286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-er 6537  df-ec 6539  df-qs 6543  df-ni 7305  df-pli 7306  df-mi 7307  df-lti 7308  df-plpq 7345  df-enq 7348  df-nqqs 7349  df-plqqs 7350  df-ltnqqs 7354
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemrnd  7651
  Copyright terms: Public domain W3C validator