cauappcvgprlemladdrl - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem cauappcvgprlemladdrl 7812

Description: Lemma for cauappcvgprlemladd 7813. The forward subset relationship for the lower cut. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cauappcvgpr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:Q⟶Q)
cauappcvgpr.app	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q 𝐴 <_Q (𝐹‘𝑝))
cauappcvgpr.lim	⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩
cauappcvgprlemladd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Q)

**Assertion**
Ref	Expression
cauappcvgprlemladdrl	⊢ (𝜑 → (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) ⊆ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑝 𝐿,𝑝,𝑞 𝜑,𝑝,𝑞 𝐹,𝑙,𝑢,𝑝,𝑞 𝑆,𝑙,𝑞,𝑢,𝑝 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑢,𝑙) 𝐴(𝑢,𝑞,𝑙) 𝐿(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemladdrl Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑟 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5981	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝑟 → (𝑙 +_Q 𝑞) = (𝑟 +_Q 𝑞))
2	1	breq1d 4072	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝑟 → ((𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ↔ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)))
3	2	rexbidv 2511	. . . 4 ⊢ (𝑙 = 𝑟 → (∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)))
4		nqex 7518	. . . . . 6 ⊢ Q ∈ V
5	4	rabex 4207	. . . . 5 ⊢ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)} ∈ V
6	4	rabex 4207	. . . . 5 ⊢ {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢} ∈ V
7	5, 6	op1st 6262	. . . 4 ⊢ (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) = {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}
8	3, 7	elrab2 2942	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) ↔ (𝑟 ∈ Q ∧ ∃𝑞 ∈ Q (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)))
9		cauappcvgpr.f	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹:Q⟶Q)
10	9	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → 𝐹:Q⟶Q)
11	10	ffvelcdmda 5743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝐹‘𝑏) ∈ Q)
12		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → 𝑞 ∈ Q)
13		addclnq 7530	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑞 ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝑞 +_Q 𝑏) ∈ Q)
14	12, 13	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝑞 +_Q 𝑏) ∈ Q)
15		addclnq 7530	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑏) ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑏) ∈ Q) → ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) ∈ Q)
16	11, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) ∈ Q)
17	10	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → 𝐹:Q⟶Q)
18		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → 𝑞 ∈ Q)
19	17, 18	ffvelcdmd 5744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝐹‘𝑞) ∈ Q)
20		ltsonq 7553	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ <_Q Or Q
21		so2nr 4389	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (( <_Q Or Q ∧ (((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) ∈ Q ∧ (𝐹‘𝑞) ∈ Q)) → ¬ (((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) <_Q (𝐹‘𝑞) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏))))
22	20, 21	mpan 424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) ∈ Q ∧ (𝐹‘𝑞) ∈ Q) → ¬ (((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) <_Q (𝐹‘𝑞) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏))))
23	16, 19, 22	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ¬ (((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) <_Q (𝐹‘𝑞) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏))))
24		addclnq 7530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐹‘𝑏) ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) ∈ Q)
25	11, 24	sylancom 420	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) ∈ Q)
26		cauappcvgprlemladd.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Q)
27	26	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → 𝑆 ∈ Q)
28	27	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → 𝑆 ∈ Q)
29		addassnqg 7537	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ 𝑆 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) = (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑆)))
30	25, 18, 28, 29	syl3anc 1252	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) = (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑆)))
31	30	breq1d 4072	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ↔ (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑆)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)))
32		ltanqg 7555	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q ∧ ℎ ∈ Q) → (𝑓 <_Q 𝑔 ↔ (ℎ +_Q 𝑓) <_Q (ℎ +_Q 𝑔)))
33	32	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) ∧ (𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q ∧ ℎ ∈ Q)) → (𝑓 <_Q 𝑔 ↔ (ℎ +_Q 𝑓) <_Q (ℎ +_Q 𝑔)))
34		addclnq 7530	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) ∈ Q)
35	25, 18, 34	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) ∈ Q)
36		addcomnqg 7536	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q) → (𝑓 +_Q 𝑔) = (𝑔 +_Q 𝑓))
37	36	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) ∧ (𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q)) → (𝑓 +_Q 𝑔) = (𝑔 +_Q 𝑓))
38	33, 35, 19, 28, 37	caovord2d 6146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞) ↔ ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)))
39		addcomnqg 7536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑆 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝑆 +_Q 𝑞) = (𝑞 +_Q 𝑆))
40	28, 18, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝑆 +_Q 𝑞) = (𝑞 +_Q 𝑆))
41	40	oveq2d 5990	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) = (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑆)))
42	41	breq1d 4072	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ↔ (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑆)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)))
43	31, 38, 42	3bitr4rd 221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ↔ (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)))
44		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → 𝑏 ∈ Q)
45		addassnqg 7537	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹‘𝑏) ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) = ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)))
46	11, 44, 18, 45	syl3anc 1252	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) = ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)))
47		addcomnqg 7536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑏 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝑏 +_Q 𝑞) = (𝑞 +_Q 𝑏))
48	44, 18, 47	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝑏 +_Q 𝑞) = (𝑞 +_Q 𝑏))
49	48	oveq2d 5990	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)) = ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)))
50	46, 49	eqtrd 2242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) = ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)))
51	50	breq1d 4072	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞) ↔ ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) <_Q (𝐹‘𝑞)))
52	43, 51	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ↔ ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) <_Q (𝐹‘𝑞)))
53	52	biimpd 144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) → ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) <_Q (𝐹‘𝑞)))
54		cauappcvgpr.app	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
55	54	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
56		fveq2 5603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 = 𝑏 → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑏))
57		oveq1 5981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑝 = 𝑏 → (𝑝 +_Q 𝑞) = (𝑏 +_Q 𝑞))
58	57	oveq2d 5990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) = ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)))
59	56, 58	breq12d 4075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ↔ (𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞))))
60	56, 57	oveq12d 5992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) = ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)))
61	60	breq2d 4074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ↔ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞))))
62	59, 61	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 = 𝑏 → (((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))) ↔ ((𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)))))
63	62	ralbidv 2510	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 = 𝑏 → (∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))) ↔ ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)))))
64	63	rspcv 2883	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ∈ Q → (∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))) → ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)))))
65	55, 64	mpan9 281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞))))
66		rsp 2557	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞))) → (𝑞 ∈ Q → ((𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)))))
67	65, 18, 66	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞))))
68	67	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)))
69	68, 49	breqtrd 4088	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)))
70	53, 69	jctird 317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) → (((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) <_Q (𝐹‘𝑞) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)))))
71	23, 70	mtod 667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ¬ (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆))
72	71	nrexdv 2603	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ¬ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆))
73	72	intnand 935	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ¬ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ Q ∧ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)))
74		fveq2 5603	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = 𝑞 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))
75		oveq2 5982	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = 𝑞 → (𝑝 +_Q 𝑏) = (𝑝 +_Q 𝑞))
76	74, 75	oveq12d 5992	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏)) = ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)))
77	76	breq2d 4074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏)) ↔ (𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
78	75	oveq2d 5990	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏)) = ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)))
79	74, 78	breq12d 4075	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏)) ↔ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
80	77, 79	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = 𝑞 → (((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏))) ↔ ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)))))
81	80	cbvralv 2745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑏 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏))) ↔ ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
82	81	ralbii 2516	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑝 ∈ Q ∀𝑏 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏))) ↔ ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
83	55, 82	sylibr 134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑏 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏))))
84		cauappcvgpr.bnd	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q 𝐴 <_Q (𝐹‘𝑝))
85	84	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ∀𝑝 ∈ Q 𝐴 <_Q (𝐹‘𝑝))
86		cauappcvgpr.lim	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩
87		oveq2 5982	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 = 𝑏 → (𝑙 +_Q 𝑞) = (𝑙 +_Q 𝑏))
88		fveq2 5603	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 = 𝑏 → (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑏))
89	87, 88	breq12d 4075	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 = 𝑏 → ((𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞) ↔ (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q (𝐹‘𝑏)))
90	89	cbvrexv 2746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞) ↔ ∃𝑏 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q (𝐹‘𝑏))
91	90	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 ∈ Q → (∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞) ↔ ∃𝑏 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q (𝐹‘𝑏)))
92	91	rabbiia 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)} = {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q (𝐹‘𝑏)}
93		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑞 = 𝑏 → 𝑞 = 𝑏)
94	88, 93	oveq12d 5992	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) = ((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏))
95	94	breq1d 4072	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 = 𝑏 → (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢 ↔ ((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) <_Q 𝑢))
96	95	cbvrexv 2746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢 ↔ ∃𝑏 ∈ Q ((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) <_Q 𝑢)
97	96	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 ∈ Q → (∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢 ↔ ∃𝑏 ∈ Q ((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) <_Q 𝑢))
98	97	rabbiia 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢} = {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q ((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) <_Q 𝑢}
99	92, 98	opeq12i 3841	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩ = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q (𝐹‘𝑏)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q ((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) <_Q 𝑢}⟩
100	86, 99	eqtri 2230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q (𝐹‘𝑏)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q ((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) <_Q 𝑢}⟩
101		addclnq 7530	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝑆 +_Q 𝑞) ∈ Q)
102	27, 12, 101	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → (𝑆 +_Q 𝑞) ∈ Q)
103	10, 83, 85, 100, 102	cauappcvgprlemladdfu 7809	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)) ⊆ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞))}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q 𝑢}⟩))
104	103	sseld 3203	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)) → ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞))}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q 𝑢}⟩)))
105		breq2 4066	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) → ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q 𝑢 ↔ (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)))
106	105	rexbidv 2511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) → (∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q 𝑢 ↔ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)))
107	4	rabex 4207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞))} ∈ V
108	4	rabex 4207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q 𝑢} ∈ V
109	107, 108	op2nd 6263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞))}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q 𝑢}⟩) = {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q 𝑢}
110	106, 109	elrab2 2942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞))}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q 𝑢}⟩) ↔ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ Q ∧ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)))
111	104, 110	imbitrdi 161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)) → (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ Q ∧ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆))))
112	73, 111	mtod 667	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ¬ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)))
113	9, 54, 84, 86	cauappcvgprlemcl 7808	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ P)
114	113	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → 𝐿 ∈ P)
115		nqprlu 7702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 +_Q 𝑞) ∈ Q → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩ ∈ P)
116	102, 115	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩ ∈ P)
117		addclpr 7692	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 ∈ P ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩ ∈ P) → (𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩) ∈ P)
118	114, 116, 117	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → (𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩) ∈ P)
119		prop 7630	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩) ∈ P → ⟨(1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)), (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P)
120		prloc 7646	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨(1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)), (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ((𝑟 +_Q 𝑞) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)) ∨ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩))))
121	119, 120	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩) ∈ P ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ((𝑟 +_Q 𝑞) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)) ∨ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩))))
122	118, 121	sylancom 420	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ((𝑟 +_Q 𝑞) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)) ∨ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩))))
123	112, 122	ecased 1364	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → (𝑟 +_Q 𝑞) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)))
124		simpllr 534	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → 𝑟 ∈ Q)
125	114, 27, 124, 12	caucvgprlemcanl 7799	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ((𝑟 +_Q 𝑞) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)) ↔ 𝑟 ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
126	123, 125	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → 𝑟 ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)))
127	126	ex 115	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) → 𝑟 ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
128	127	rexlimdva 2628	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) → (∃𝑞 ∈ Q (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) → 𝑟 ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
129	128	expimpd 363	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑟 ∈ Q ∧ ∃𝑞 ∈ Q (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → 𝑟 ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
130	8, 129	biimtrid 152	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) → 𝑟 ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
131	130	ssrdv 3210	1 ⊢ (𝜑 → (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) ⊆ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∨ wo 712 ∧ w3a 983 = wceq 1375 ∈ wcel 2180 {cab 2195 ∀wral 2488 ∃wrex 2489 {crab 2492 ⊆ wss 3177 ⟨cop 3649 class class class wbr 4062 Or wor 4363 ⟶wf 5290 ‘cfv 5294 (class class class)co 5974 1^st c1st 6254 2^nd c2nd 6255 Qcnq 7435 +_Q cplq 7437 <_Q cltq 7440 Pcnp 7446 +_P cpp 7448

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 713 ax-5 1473 ax-7 1474 ax-gen 1475 ax-ie1 1519 ax-ie2 1520 ax-8 1530 ax-10 1531 ax-11 1532 ax-i12 1533 ax-bndl 1535 ax-4 1536 ax-17 1552 ax-i9 1556 ax-ial 1560 ax-i5r 1561 ax-13 2182 ax-14 2183 ax-ext 2191 ax-coll 4178 ax-sep 4181 ax-nul 4189 ax-pow 4237 ax-pr 4272 ax-un 4501 ax-setind 4606 ax-iinf 4657

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 839 df-3or 984 df-3an 985 df-tru 1378 df-fal 1381 df-nf 1487 df-sb 1789 df-eu 2060 df-mo 2061 df-clab 2196 df-cleq 2202 df-clel 2205 df-nfc 2341 df-ne 2381 df-ral 2493 df-rex 2494 df-reu 2495 df-rab 2497 df-v 2781 df-sbc 3009 df-csb 3105 df-dif 3179 df-un 3181 df-in 3183 df-ss 3190 df-nul 3472 df-pw 3631 df-sn 3652 df-pr 3653 df-op 3655 df-uni 3868 df-int 3903 df-iun 3946 df-br 4063 df-opab 4125 df-mpt 4126 df-tr 4162 df-eprel 4357 df-id 4361 df-po 4364 df-iso 4365 df-iord 4434 df-on 4436 df-suc 4439 df-iom 4660 df-xp 4702 df-rel 4703 df-cnv 4704 df-co 4705 df-dm 4706 df-rn 4707 df-res 4708 df-ima 4709 df-iota 5254 df-fun 5296 df-fn 5297 df-f 5298 df-f1 5299 df-fo 5300 df-f1o 5301 df-fv 5302 df-ov 5977 df-oprab 5978 df-mpo 5979 df-1st 6256 df-2nd 6257 df-recs 6421 df-irdg 6486 df-1o 6532 df-2o 6533 df-oadd 6536 df-omul 6537 df-er 6650 df-ec 6652 df-qs 6656 df-ni 7459 df-pli 7460 df-mi 7461 df-lti 7462 df-plpq 7499 df-mpq 7500 df-enq 7502 df-nqqs 7503 df-plqqs 7504 df-mqqs 7505 df-1nqqs 7506 df-rq 7507 df-ltnqqs 7508 df-enq0 7579 df-nq0 7580 df-0nq0 7581 df-plq0 7582 df-mq0 7583 df-inp 7621 df-iplp 7623 df-iltp 7625

This theorem is referenced by: cauappcvgprlemladd 7813

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