ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cauappcvgprlemladdrl GIF version

Theorem cauappcvgprlemladdrl 7647
Description: Lemma for cauappcvgprlemladd 7648. The forward subset relationship for the lower cut. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f (𝜑𝐹:QQ)
cauappcvgpr.app (𝜑 → ∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd (𝜑 → ∀𝑝Q 𝐴 <Q (𝐹𝑝))
cauappcvgpr.lim 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
cauappcvgprlemladd.s (𝜑𝑆Q)
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemladdrl (𝜑 → (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) ⊆ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐿,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞   𝐹,𝑙,𝑢,𝑝,𝑞   𝑆,𝑙,𝑞,𝑢,𝑝
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑞,𝑙)   𝐿(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemladdrl
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑟 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5876 . . . . . 6 (𝑙 = 𝑟 → (𝑙 +Q 𝑞) = (𝑟 +Q 𝑞))
21breq1d 4010 . . . . 5 (𝑙 = 𝑟 → ((𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ↔ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)))
32rexbidv 2478 . . . 4 (𝑙 = 𝑟 → (∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ↔ ∃𝑞Q (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)))
4 nqex 7353 . . . . . 6 Q ∈ V
54rabex 4144 . . . . 5 {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)} ∈ V
64rabex 4144 . . . . 5 {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢} ∈ V
75, 6op1st 6141 . . . 4 (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) = {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}
83, 7elrab2 2896 . . 3 (𝑟 ∈ (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) ↔ (𝑟Q ∧ ∃𝑞Q (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)))
9 cauappcvgpr.f . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹:QQ)
109ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → 𝐹:QQ)
1110ffvelcdmda 5647 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → (𝐹𝑏) ∈ Q)
12 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → 𝑞Q)
13 addclnq 7365 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑞Q𝑏Q) → (𝑞 +Q 𝑏) ∈ Q)
1412, 13sylan 283 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → (𝑞 +Q 𝑏) ∈ Q)
15 addclnq 7365 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑏) ∈ Q ∧ (𝑞 +Q 𝑏) ∈ Q) → ((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)) ∈ Q)
1611, 14, 15syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → ((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)) ∈ Q)
1710adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → 𝐹:QQ)
18 simpllr 534 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → 𝑞Q)
1917, 18ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → (𝐹𝑞) ∈ Q)
20 ltsonq 7388 . . . . . . . . . . . . . 14 <Q Or Q
21 so2nr 4318 . . . . . . . . . . . . . 14 (( <Q Or Q ∧ (((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)) ∈ Q ∧ (𝐹𝑞) ∈ Q)) → ¬ (((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)) <Q (𝐹𝑞) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏))))
2220, 21mpan 424 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)) ∈ Q ∧ (𝐹𝑞) ∈ Q) → ¬ (((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)) <Q (𝐹𝑞) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏))))
2316, 19, 22syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → ¬ (((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)) <Q (𝐹𝑞) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏))))
24 addclnq 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹𝑏) ∈ Q𝑏Q) → ((𝐹𝑏) +Q 𝑏) ∈ Q)
2511, 24sylancom 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → ((𝐹𝑏) +Q 𝑏) ∈ Q)
26 cauappcvgprlemladd.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑆Q)
2726ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → 𝑆Q)
2827adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → 𝑆Q)
29 addassnqg 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹𝑏) +Q 𝑏) ∈ Q𝑞Q𝑆Q) → ((((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q 𝑞) +Q 𝑆) = (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑆)))
3025, 18, 28, 29syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → ((((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q 𝑞) +Q 𝑆) = (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑆)))
3130breq1d 4010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → (((((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ↔ (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑆)) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)))
32 ltanqg 7390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓Q𝑔QQ) → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ ( +Q 𝑓) <Q ( +Q 𝑔)))
3332adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) ∧ (𝑓Q𝑔QQ)) → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ ( +Q 𝑓) <Q ( +Q 𝑔)))
34 addclnq 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹𝑏) +Q 𝑏) ∈ Q𝑞Q) → (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q 𝑞) ∈ Q)
3525, 18, 34syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q 𝑞) ∈ Q)
36 addcomnqg 7371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓Q𝑔Q) → (𝑓 +Q 𝑔) = (𝑔 +Q 𝑓))
3736adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) ∧ (𝑓Q𝑔Q)) → (𝑓 +Q 𝑔) = (𝑔 +Q 𝑓))
3833, 35, 19, 28, 37caovord2d 6038 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → ((((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ ((((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)))
39 addcomnqg 7371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑆Q𝑞Q) → (𝑆 +Q 𝑞) = (𝑞 +Q 𝑆))
4028, 18, 39syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → (𝑆 +Q 𝑞) = (𝑞 +Q 𝑆))
4140oveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) = (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑆)))
4241breq1d 4010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → ((((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ↔ (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑆)) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)))
4331, 38, 423bitr4rd 221 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → ((((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ↔ (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)))
44 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → 𝑏Q)
45 addassnqg 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑏) ∈ Q𝑏Q𝑞Q) → (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q 𝑞) = ((𝐹𝑏) +Q (𝑏 +Q 𝑞)))
4611, 44, 18, 45syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q 𝑞) = ((𝐹𝑏) +Q (𝑏 +Q 𝑞)))
47 addcomnqg 7371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏Q𝑞Q) → (𝑏 +Q 𝑞) = (𝑞 +Q 𝑏))
4844, 18, 47syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → (𝑏 +Q 𝑞) = (𝑞 +Q 𝑏))
4948oveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → ((𝐹𝑏) +Q (𝑏 +Q 𝑞)) = ((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)))
5046, 49eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q 𝑞) = ((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)))
5150breq1d 4010 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → ((((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ ((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)) <Q (𝐹𝑞)))
5243, 51bitrd 188 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → ((((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ↔ ((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)) <Q (𝐹𝑞)))
5352biimpd 144 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → ((((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) → ((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)) <Q (𝐹𝑞)))
54 cauappcvgpr.app . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
5554ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → ∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
56 fveq2 5511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 = 𝑏 → (𝐹𝑝) = (𝐹𝑏))
57 oveq1 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝 = 𝑏 → (𝑝 +Q 𝑞) = (𝑏 +Q 𝑞))
5857oveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 = 𝑏 → ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) = ((𝐹𝑞) +Q (𝑏 +Q 𝑞)))
5956, 58breq12d 4013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 = 𝑏 → ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ↔ (𝐹𝑏) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑏 +Q 𝑞))))
6056, 57oveq12d 5887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 = 𝑏 → ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) = ((𝐹𝑏) +Q (𝑏 +Q 𝑞)))
6160breq2d 4012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 = 𝑏 → ((𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ↔ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑏 +Q 𝑞))))
6259, 61anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 = 𝑏 → (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) ↔ ((𝐹𝑏) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑏 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑏 +Q 𝑞)))))
6362ralbidv 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 = 𝑏 → (∀𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) ↔ ∀𝑞Q ((𝐹𝑏) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑏 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑏 +Q 𝑞)))))
6463rspcv 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏Q → (∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))) → ∀𝑞Q ((𝐹𝑏) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑏 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑏 +Q 𝑞)))))
6555, 64mpan9 281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → ∀𝑞Q ((𝐹𝑏) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑏 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑏 +Q 𝑞))))
66 rsp 2524 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑞Q ((𝐹𝑏) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑏 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑏 +Q 𝑞))) → (𝑞Q → ((𝐹𝑏) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑏 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑏 +Q 𝑞)))))
6765, 18, 66sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → ((𝐹𝑏) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑏 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑏 +Q 𝑞))))
6867simprd 114 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑏 +Q 𝑞)))
6968, 49breqtrd 4026 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)))
7053, 69jctird 317 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → ((((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) → (((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)) <Q (𝐹𝑞) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑞 +Q 𝑏)))))
7123, 70mtod 663 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) ∧ 𝑏Q) → ¬ (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆))
7271nrexdv 2570 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → ¬ ∃𝑏Q (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆))
7372intnand 931 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → ¬ (((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ∈ Q ∧ ∃𝑏Q (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)))
74 fveq2 5511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 𝑞 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑞))
75 oveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 𝑞 → (𝑝 +Q 𝑏) = (𝑝 +Q 𝑞))
7674, 75oveq12d 5887 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑞 → ((𝐹𝑏) +Q (𝑝 +Q 𝑏)) = ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)))
7776breq2d 4012 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑞 → ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑝 +Q 𝑏)) ↔ (𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
7875oveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑞 → ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑏)) = ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞)))
7974, 78breq12d 4013 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑞 → ((𝐹𝑏) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑏)) ↔ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
8077, 79anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑞 → (((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑝 +Q 𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑏))) ↔ ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞)))))
8180cbvralv 2703 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑏Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑝 +Q 𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑏))) ↔ ∀𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
8281ralbii 2483 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑝Q𝑏Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑝 +Q 𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑏))) ↔ ∀𝑝Q𝑞Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹𝑞) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
8355, 82sylibr 134 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → ∀𝑝Q𝑏Q ((𝐹𝑝) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑝 +Q 𝑏)) ∧ (𝐹𝑏) <Q ((𝐹𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑏))))
84 cauappcvgpr.bnd . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑝Q 𝐴 <Q (𝐹𝑝))
8584ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → ∀𝑝Q 𝐴 <Q (𝐹𝑝))
86 cauappcvgpr.lim . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
87 oveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 = 𝑏 → (𝑙 +Q 𝑞) = (𝑙 +Q 𝑏))
88 fveq2 5511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 = 𝑏 → (𝐹𝑞) = (𝐹𝑏))
8987, 88breq12d 4013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 = 𝑏 → ((𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ (𝑙 +Q 𝑏) <Q (𝐹𝑏)))
9089cbvrexv 2704 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ ∃𝑏Q (𝑙 +Q 𝑏) <Q (𝐹𝑏))
9190a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙Q → (∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞) ↔ ∃𝑏Q (𝑙 +Q 𝑏) <Q (𝐹𝑏)))
9291rabbiia 2722 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)} = {𝑙Q ∣ ∃𝑏Q (𝑙 +Q 𝑏) <Q (𝐹𝑏)}
93 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 = 𝑏𝑞 = 𝑏)
9488, 93oveq12d 5887 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 = 𝑏 → ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) = ((𝐹𝑏) +Q 𝑏))
9594breq1d 4010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 = 𝑏 → (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ((𝐹𝑏) +Q 𝑏) <Q 𝑢))
9695cbvrexv 2704 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ∃𝑏Q ((𝐹𝑏) +Q 𝑏) <Q 𝑢)
9796a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢Q → (∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢 ↔ ∃𝑏Q ((𝐹𝑏) +Q 𝑏) <Q 𝑢))
9897rabbiia 2722 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢} = {𝑢Q ∣ ∃𝑏Q ((𝐹𝑏) +Q 𝑏) <Q 𝑢}
9992, 98opeq12i 3781 . . . . . . . . . . . . 13 ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹𝑞)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩ = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑏Q (𝑙 +Q 𝑏) <Q (𝐹𝑏)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑏Q ((𝐹𝑏) +Q 𝑏) <Q 𝑢}⟩
10086, 99eqtri 2198 . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = ⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑏Q (𝑙 +Q 𝑏) <Q (𝐹𝑏)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑏Q ((𝐹𝑏) +Q 𝑏) <Q 𝑢}⟩
101 addclnq 7365 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆Q𝑞Q) → (𝑆 +Q 𝑞) ∈ Q)
10227, 12, 101syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → (𝑆 +Q 𝑞) ∈ Q)
10310, 83, 85, 100, 102cauappcvgprlemladdfu 7644 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)) ⊆ (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑏Q (𝑙 +Q 𝑏) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞))}, {𝑢Q ∣ ∃𝑏Q (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q 𝑢}⟩))
104103sseld 3154 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → (((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)) → ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ∈ (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑏Q (𝑙 +Q 𝑏) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞))}, {𝑢Q ∣ ∃𝑏Q (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q 𝑢}⟩)))
105 breq2 4004 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) → ((((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q 𝑢 ↔ (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)))
106105rexbidv 2478 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) → (∃𝑏Q (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q 𝑢 ↔ ∃𝑏Q (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)))
1074rabex 4144 . . . . . . . . . . . 12 {𝑙Q ∣ ∃𝑏Q (𝑙 +Q 𝑏) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞))} ∈ V
1084rabex 4144 . . . . . . . . . . . 12 {𝑢Q ∣ ∃𝑏Q (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q 𝑢} ∈ V
109107, 108op2nd 6142 . . . . . . . . . . 11 (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑏Q (𝑙 +Q 𝑏) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞))}, {𝑢Q ∣ ∃𝑏Q (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q 𝑢}⟩) = {𝑢Q ∣ ∃𝑏Q (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q 𝑢}
110106, 109elrab2 2896 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ∈ (2nd ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑏Q (𝑙 +Q 𝑏) <Q ((𝐹𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞))}, {𝑢Q ∣ ∃𝑏Q (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q 𝑢}⟩) ↔ (((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ∈ Q ∧ ∃𝑏Q (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)))
111104, 110syl6ib 161 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → (((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)) → (((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ∈ Q ∧ ∃𝑏Q (((𝐹𝑏) +Q 𝑏) +Q (𝑆 +Q 𝑞)) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆))))
11273, 111mtod 663 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → ¬ ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)))
1139, 54, 84, 86cauappcvgprlemcl 7643 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐿P)
114113ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → 𝐿P)
115 nqprlu 7537 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 +Q 𝑞) ∈ Q → ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
116102, 115syl 14 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
117 addclpr 7527 . . . . . . . . . 10 ((𝐿P ∧ ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩ ∈ P) → (𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩) ∈ P)
118114, 116, 117syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → (𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩) ∈ P)
119 prop 7465 . . . . . . . . . 10 ((𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩) ∈ P → ⟨(1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)), (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P)
120 prloc 7481 . . . . . . . . . 10 ((⟨(1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)), (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → ((𝑟 +Q 𝑞) ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)) ∨ ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩))))
121119, 120sylan 283 . . . . . . . . 9 (((𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩) ∈ P ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → ((𝑟 +Q 𝑞) ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)) ∨ ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩))))
122118, 121sylancom 420 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → ((𝑟 +Q 𝑞) ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)) ∨ ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) ∈ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩))))
123112, 122ecased 1349 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → (𝑟 +Q 𝑞) ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)))
124 simpllr 534 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → 𝑟Q)
125114, 27, 124, 12caucvgprlemcanl 7634 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → ((𝑟 +Q 𝑞) ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q (𝑆 +Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩)) ↔ 𝑟 ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
126123, 125mpbid 147 . . . . . 6 ((((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) ∧ (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → 𝑟 ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)))
127126ex 115 . . . . 5 (((𝜑𝑟Q) ∧ 𝑞Q) → ((𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) → 𝑟 ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
128127rexlimdva 2594 . . . 4 ((𝜑𝑟Q) → (∃𝑞Q (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆) → 𝑟 ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
129128expimpd 363 . . 3 (𝜑 → ((𝑟Q ∧ ∃𝑞Q (𝑟 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)) → 𝑟 ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
1308, 129biimtrid 152 . 2 (𝜑 → (𝑟 ∈ (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) → 𝑟 ∈ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩))))
131130ssrdv 3161 1 (𝜑 → (1st ‘⟨{𝑙Q ∣ ∃𝑞Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢Q ∣ ∃𝑞Q (((𝐹𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) ⊆ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢𝑆 <Q 𝑢}⟩)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  {cab 2163  wral 2455  wrex 2456  {crab 2459  wss 3129  cop 3594   class class class wbr 4000   Or wor 4292  wf 5208  cfv 5212  (class class class)co 5869  1st c1st 6133  2nd c2nd 6134  Qcnq 7270   +Q cplq 7272   <Q cltq 7275  Pcnp 7281   +P cpp 7283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-eprel 4286  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-1o 6411  df-2o 6412  df-oadd 6415  df-omul 6416  df-er 6529  df-ec 6531  df-qs 6535  df-ni 7294  df-pli 7295  df-mi 7296  df-lti 7297  df-plpq 7334  df-mpq 7335  df-enq 7337  df-nqqs 7338  df-plqqs 7339  df-mqqs 7340  df-1nqqs 7341  df-rq 7342  df-ltnqqs 7343  df-enq0 7414  df-nq0 7415  df-0nq0 7416  df-plq0 7417  df-mq0 7418  df-inp 7456  df-iplp 7458  df-iltp 7460
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemladd  7648
  Copyright terms: Public domain W3C validator