cauappcvgprlemladdrl - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem cauappcvgprlemladdrl 7877

Description: Lemma for cauappcvgprlemladd 7878. The forward subset relationship for the lower cut. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cauappcvgpr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:Q⟶Q)
cauappcvgpr.app	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q 𝐴 <_Q (𝐹‘𝑝))
cauappcvgpr.lim	⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩
cauappcvgprlemladd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Q)

**Assertion**
Ref	Expression
cauappcvgprlemladdrl	⊢ (𝜑 → (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) ⊆ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑝 𝐿,𝑝,𝑞 𝜑,𝑝,𝑞 𝐹,𝑙,𝑢,𝑝,𝑞 𝑆,𝑙,𝑞,𝑢,𝑝 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑢,𝑙) 𝐴(𝑢,𝑞,𝑙) 𝐿(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemladdrl Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑟 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6025	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝑟 → (𝑙 +_Q 𝑞) = (𝑟 +_Q 𝑞))
2	1	breq1d 4098	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝑟 → ((𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ↔ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)))
3	2	rexbidv 2533	. . . 4 ⊢ (𝑙 = 𝑟 → (∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)))
4		nqex 7583	. . . . . 6 ⊢ Q ∈ V
5	4	rabex 4234	. . . . 5 ⊢ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)} ∈ V
6	4	rabex 4234	. . . . 5 ⊢ {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢} ∈ V
7	5, 6	op1st 6309	. . . 4 ⊢ (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) = {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}
8	3, 7	elrab2 2965	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) ↔ (𝑟 ∈ Q ∧ ∃𝑞 ∈ Q (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)))
9		cauappcvgpr.f	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹:Q⟶Q)
10	9	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → 𝐹:Q⟶Q)
11	10	ffvelcdmda 5782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝐹‘𝑏) ∈ Q)
12		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → 𝑞 ∈ Q)
13		addclnq 7595	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑞 ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝑞 +_Q 𝑏) ∈ Q)
14	12, 13	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝑞 +_Q 𝑏) ∈ Q)
15		addclnq 7595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹‘𝑏) ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑏) ∈ Q) → ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) ∈ Q)
16	11, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) ∈ Q)
17	10	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → 𝐹:Q⟶Q)
18		simpllr 536	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → 𝑞 ∈ Q)
19	17, 18	ffvelcdmd 5783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝐹‘𝑞) ∈ Q)
20		ltsonq 7618	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ <_Q Or Q
21		so2nr 4418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (( <_Q Or Q ∧ (((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) ∈ Q ∧ (𝐹‘𝑞) ∈ Q)) → ¬ (((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) <_Q (𝐹‘𝑞) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏))))
22	20, 21	mpan 424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) ∈ Q ∧ (𝐹‘𝑞) ∈ Q) → ¬ (((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) <_Q (𝐹‘𝑞) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏))))
23	16, 19, 22	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ¬ (((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) <_Q (𝐹‘𝑞) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏))))
24		addclnq 7595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐹‘𝑏) ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) ∈ Q)
25	11, 24	sylancom 420	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) ∈ Q)
26		cauappcvgprlemladd.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Q)
27	26	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → 𝑆 ∈ Q)
28	27	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → 𝑆 ∈ Q)
29		addassnqg 7602	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ 𝑆 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) = (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑆)))
30	25, 18, 28, 29	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) = (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑆)))
31	30	breq1d 4098	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ↔ (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑆)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)))
32		ltanqg 7620	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q ∧ ℎ ∈ Q) → (𝑓 <_Q 𝑔 ↔ (ℎ +_Q 𝑓) <_Q (ℎ +_Q 𝑔)))
33	32	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) ∧ (𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q ∧ ℎ ∈ Q)) → (𝑓 <_Q 𝑔 ↔ (ℎ +_Q 𝑓) <_Q (ℎ +_Q 𝑔)))
34		addclnq 7595	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) ∈ Q)
35	25, 18, 34	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) ∈ Q)
36		addcomnqg 7601	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q) → (𝑓 +_Q 𝑔) = (𝑔 +_Q 𝑓))
37	36	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) ∧ (𝑓 ∈ Q ∧ 𝑔 ∈ Q)) → (𝑓 +_Q 𝑔) = (𝑔 +_Q 𝑓))
38	33, 35, 19, 28, 37	caovord2d 6192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞) ↔ ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)))
39		addcomnqg 7601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑆 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝑆 +_Q 𝑞) = (𝑞 +_Q 𝑆))
40	28, 18, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝑆 +_Q 𝑞) = (𝑞 +_Q 𝑆))
41	40	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) = (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑆)))
42	41	breq1d 4098	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ↔ (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑆)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)))
43	31, 38, 42	3bitr4rd 221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ↔ (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)))
44		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → 𝑏 ∈ Q)
45		addassnqg 7602	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹‘𝑏) ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) = ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)))
46	11, 44, 18, 45	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) = ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)))
47		addcomnqg 7601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑏 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝑏 +_Q 𝑞) = (𝑞 +_Q 𝑏))
48	44, 18, 47	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝑏 +_Q 𝑞) = (𝑞 +_Q 𝑏))
49	48	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)) = ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)))
50	46, 49	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) = ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)))
51	50	breq1d 4098	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞) ↔ ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) <_Q (𝐹‘𝑞)))
52	43, 51	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ↔ ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) <_Q (𝐹‘𝑞)))
53	52	biimpd 144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) → ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) <_Q (𝐹‘𝑞)))
54		cauappcvgpr.app	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
55	54	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
56		fveq2 5639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 = 𝑏 → (𝐹‘𝑝) = (𝐹‘𝑏))
57		oveq1 6025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑝 = 𝑏 → (𝑝 +_Q 𝑞) = (𝑏 +_Q 𝑞))
58	57	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) = ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)))
59	56, 58	breq12d 4101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ↔ (𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞))))
60	56, 57	oveq12d 6036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) = ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)))
61	60	breq2d 4100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ↔ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞))))
62	59, 61	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 = 𝑏 → (((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))) ↔ ((𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)))))
63	62	ralbidv 2532	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 = 𝑏 → (∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))) ↔ ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)))))
64	63	rspcv 2906	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ∈ Q → (∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))) → ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)))))
65	55, 64	mpan9 281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞))))
66		rsp 2579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞))) → (𝑞 ∈ Q → ((𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)))))
67	65, 18, 66	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞))))
68	67	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑏 +_Q 𝑞)))
69	68, 49	breqtrd 4114	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)))
70	53, 69	jctird 317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) → (((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)) <_Q (𝐹‘𝑞) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑞 +_Q 𝑏)))))
71	23, 70	mtod 669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ Q) → ¬ (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆))
72	71	nrexdv 2625	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ¬ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆))
73	72	intnand 938	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ¬ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ Q ∧ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)))
74		fveq2 5639	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = 𝑞 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞))
75		oveq2 6026	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = 𝑞 → (𝑝 +_Q 𝑏) = (𝑝 +_Q 𝑞))
76	74, 75	oveq12d 6036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏)) = ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)))
77	76	breq2d 4100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏)) ↔ (𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
78	75	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏)) = ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)))
79	74, 78	breq12d 4101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏)) ↔ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
80	77, 79	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = 𝑞 → (((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏))) ↔ ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)))))
81	80	cbvralv 2767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑏 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏))) ↔ ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
82	81	ralbii 2538	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑝 ∈ Q ∀𝑏 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏))) ↔ ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑞))))
83	55, 82	sylibr 134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑏 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏)) ∧ (𝐹‘𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑝) +_Q (𝑝 +_Q 𝑏))))
84		cauappcvgpr.bnd	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q 𝐴 <_Q (𝐹‘𝑝))
85	84	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ∀𝑝 ∈ Q 𝐴 <_Q (𝐹‘𝑝))
86		cauappcvgpr.lim	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩
87		oveq2 6026	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 = 𝑏 → (𝑙 +_Q 𝑞) = (𝑙 +_Q 𝑏))
88		fveq2 5639	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 = 𝑏 → (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑏))
89	87, 88	breq12d 4101	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 = 𝑏 → ((𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞) ↔ (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q (𝐹‘𝑏)))
90	89	cbvrexv 2768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞) ↔ ∃𝑏 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q (𝐹‘𝑏))
91	90	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 ∈ Q → (∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞) ↔ ∃𝑏 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q (𝐹‘𝑏)))
92	91	rabbiia 2788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)} = {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q (𝐹‘𝑏)}
93		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑞 = 𝑏 → 𝑞 = 𝑏)
94	88, 93	oveq12d 6036	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) = ((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏))
95	94	breq1d 4098	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 = 𝑏 → (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢 ↔ ((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) <_Q 𝑢))
96	95	cbvrexv 2768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢 ↔ ∃𝑏 ∈ Q ((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) <_Q 𝑢)
97	96	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 ∈ Q → (∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢 ↔ ∃𝑏 ∈ Q ((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) <_Q 𝑢))
98	97	rabbiia 2788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢} = {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q ((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) <_Q 𝑢}
99	92, 98	opeq12i 3867	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩ = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q (𝐹‘𝑏)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q ((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) <_Q 𝑢}⟩
100	86, 99	eqtri 2252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q (𝐹‘𝑏)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q ((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) <_Q 𝑢}⟩
101		addclnq 7595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → (𝑆 +_Q 𝑞) ∈ Q)
102	27, 12, 101	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → (𝑆 +_Q 𝑞) ∈ Q)
103	10, 83, 85, 100, 102	cauappcvgprlemladdfu 7874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)) ⊆ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞))}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q 𝑢}⟩))
104	103	sseld 3226	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)) → ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞))}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q 𝑢}⟩)))
105		breq2 4092	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) → ((((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q 𝑢 ↔ (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)))
106	105	rexbidv 2533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) → (∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q 𝑢 ↔ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)))
107	4	rabex 4234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞))} ∈ V
108	4	rabex 4234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q 𝑢} ∈ V
109	107, 108	op2nd 6310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞))}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q 𝑢}⟩) = {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q 𝑢}
110	106, 109	elrab2 2965	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (2^nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑏) <_Q ((𝐹‘𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞))}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q 𝑢}⟩) ↔ (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ Q ∧ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)))
111	104, 110	imbitrdi 161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)) → (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ Q ∧ ∃𝑏 ∈ Q (((𝐹‘𝑏) +_Q 𝑏) +_Q (𝑆 +_Q 𝑞)) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆))))
112	73, 111	mtod 669	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ¬ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)))
113	9, 54, 84, 86	cauappcvgprlemcl 7873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ P)
114	113	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → 𝐿 ∈ P)
115		nqprlu 7767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 +_Q 𝑞) ∈ Q → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩ ∈ P)
116	102, 115	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩ ∈ P)
117		addclpr 7757	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 ∈ P ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩ ∈ P) → (𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩) ∈ P)
118	114, 116, 117	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → (𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩) ∈ P)
119		prop 7695	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩) ∈ P → ⟨(1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)), (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P)
120		prloc 7711	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨(1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)), (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩))⟩ ∈ P ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ((𝑟 +_Q 𝑞) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)) ∨ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩))))
121	119, 120	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩) ∈ P ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ((𝑟 +_Q 𝑞) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)) ∨ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩))))
122	118, 121	sylancom 420	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ((𝑟 +_Q 𝑞) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)) ∨ ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) ∈ (2^nd ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩))))
123	112, 122	ecased 1385	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → (𝑟 +_Q 𝑞) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)))
124		simpllr 536	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → 𝑟 ∈ Q)
125	114, 27, 124, 12	caucvgprlemcanl 7864	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → ((𝑟 +_Q 𝑞) ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q (𝑆 +_Q 𝑞)}, {𝑢 ∣ (𝑆 +_Q 𝑞) <_Q 𝑢}⟩)) ↔ 𝑟 ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
126	123, 125	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) ∧ (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → 𝑟 ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)))
127	126	ex 115	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ((𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) → 𝑟 ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
128	127	rexlimdva 2650	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ Q) → (∃𝑞 ∈ Q (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆) → 𝑟 ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
129	128	expimpd 363	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑟 ∈ Q ∧ ∃𝑞 ∈ Q (𝑟 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)) → 𝑟 ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
130	8, 129	biimtrid 152	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) → 𝑟 ∈ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩))))
131	130	ssrdv 3233	1 ⊢ (𝜑 → (1^st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +_Q 𝑞) <_Q ((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +_Q 𝑞) +_Q 𝑆) <_Q 𝑢}⟩) ⊆ (1^st ‘(𝐿 +_P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <_Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <_Q 𝑢}⟩)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∨ wo 715 ∧ w3a 1004 = wceq 1397 ∈ wcel 2202 {cab 2217 ∀wral 2510 ∃wrex 2511 {crab 2514 ⊆ wss 3200 ⟨cop 3672 class class class wbr 4088 Or wor 4392 ⟶wf 5322 ‘cfv 5326 (class class class)co 6018 1^st c1st 6301 2^nd c2nd 6302 Qcnq 7500 +_Q cplq 7502 <_Q cltq 7505 Pcnp 7511 +_P cpp 7513

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 716 ax-5 1495 ax-7 1496 ax-gen 1497 ax-ie1 1541 ax-ie2 1542 ax-8 1552 ax-10 1553 ax-11 1554 ax-i12 1555 ax-bndl 1557 ax-4 1558 ax-17 1574 ax-i9 1578 ax-ial 1582 ax-i5r 1583 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4204 ax-sep 4207 ax-nul 4215 ax-pow 4264 ax-pr 4299 ax-un 4530 ax-setind 4635 ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 842 df-3or 1005 df-3an 1006 df-tru 1400 df-fal 1403 df-nf 1509 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2363 df-ne 2403 df-ral 2515 df-rex 2516 df-reu 2517 df-rab 2519 df-v 2804 df-sbc 3032 df-csb 3128 df-dif 3202 df-un 3204 df-in 3206 df-ss 3213 df-nul 3495 df-pw 3654 df-sn 3675 df-pr 3676 df-op 3678 df-uni 3894 df-int 3929 df-iun 3972 df-br 4089 df-opab 4151 df-mpt 4152 df-tr 4188 df-eprel 4386 df-id 4390 df-po 4393 df-iso 4394 df-iord 4463 df-on 4465 df-suc 4468 df-iom 4689 df-xp 4731 df-rel 4732 df-cnv 4733 df-co 4734 df-dm 4735 df-rn 4736 df-res 4737 df-ima 4738 df-iota 5286 df-fun 5328 df-fn 5329 df-f 5330 df-f1 5331 df-fo 5332 df-f1o 5333 df-fv 5334 df-ov 6021 df-oprab 6022 df-mpo 6023 df-1st 6303 df-2nd 6304 df-recs 6471 df-irdg 6536 df-1o 6582 df-2o 6583 df-oadd 6586 df-omul 6587 df-er 6702 df-ec 6704 df-qs 6708 df-ni 7524 df-pli 7525 df-mi 7526 df-lti 7527 df-plpq 7564 df-mpq 7565 df-enq 7567 df-nqqs 7568 df-plqqs 7569 df-mqqs 7570 df-1nqqs 7571 df-rq 7572 df-ltnqqs 7573 df-enq0 7644 df-nq0 7645 df-0nq0 7646 df-plq0 7647 df-mq0 7648 df-inp 7686 df-iplp 7688 df-iltp 7690

This theorem is referenced by: cauappcvgprlemladd 7878

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