ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prsrlt GIF version

Theorem prsrlt 7253
Description: Mapping from positive real ordering to signed real ordering. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
prsrlt ((𝐴P𝐵P) → (𝐴<P 𝐵 ↔ [⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩] ~R <R [⟨(𝐵 +P 1P), 1P⟩] ~R ))

Proof of Theorem prsrlt
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1pr 7034 . . . . 5 1PP
21a1i 9 . . . 4 ((𝐴P𝐵P) → 1PP)
3 simpr 108 . . . 4 ((𝐴P𝐵P) → 𝐵P)
4 addassprg 7059 . . . 4 ((1PP𝐵P ∧ 1PP) → ((1P +P 𝐵) +P 1P) = (1P +P (𝐵 +P 1P)))
52, 3, 2, 4syl3anc 1172 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → ((1P +P 𝐵) +P 1P) = (1P +P (𝐵 +P 1P)))
65breq2d 3826 . 2 ((𝐴P𝐵P) → (((𝐴 +P 1P) +P 1P)<P ((1P +P 𝐵) +P 1P) ↔ ((𝐴 +P 1P) +P 1P)<P (1P +P (𝐵 +P 1P))))
7 simpl 107 . . . 4 ((𝐴P𝐵P) → 𝐴P)
8 ltaprg 7099 . . . 4 ((𝐴P𝐵P ∧ 1PP) → (𝐴<P 𝐵 ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵)))
97, 3, 2, 8syl3anc 1172 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴<P 𝐵 ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵)))
10 addcomprg 7058 . . . . 5 ((𝐴P ∧ 1PP) → (𝐴 +P 1P) = (1P +P 𝐴))
117, 2, 10syl2anc 403 . . . 4 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴 +P 1P) = (1P +P 𝐴))
1211breq1d 3824 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → ((𝐴 +P 1P)<P (1P +P 𝐵) ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵)))
13 ltaprg 7099 . . . . 5 ((𝑓P𝑔PP) → (𝑓<P 𝑔 ↔ ( +P 𝑓)<P ( +P 𝑔)))
1413adantl 271 . . . 4 (((𝐴P𝐵P) ∧ (𝑓P𝑔PP)) → (𝑓<P 𝑔 ↔ ( +P 𝑓)<P ( +P 𝑔)))
15 addclpr 7017 . . . . 5 ((𝐴P ∧ 1PP) → (𝐴 +P 1P) ∈ P)
167, 2, 15syl2anc 403 . . . 4 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴 +P 1P) ∈ P)
17 addclpr 7017 . . . . 5 ((1PP𝐵P) → (1P +P 𝐵) ∈ P)
182, 3, 17syl2anc 403 . . . 4 ((𝐴P𝐵P) → (1P +P 𝐵) ∈ P)
19 addcomprg 7058 . . . . 5 ((𝑓P𝑔P) → (𝑓 +P 𝑔) = (𝑔 +P 𝑓))
2019adantl 271 . . . 4 (((𝐴P𝐵P) ∧ (𝑓P𝑔P)) → (𝑓 +P 𝑔) = (𝑔 +P 𝑓))
2114, 16, 18, 2, 20caovord2d 5752 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → ((𝐴 +P 1P)<P (1P +P 𝐵) ↔ ((𝐴 +P 1P) +P 1P)<P ((1P +P 𝐵) +P 1P)))
229, 12, 213bitr2d 214 . 2 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴<P 𝐵 ↔ ((𝐴 +P 1P) +P 1P)<P ((1P +P 𝐵) +P 1P)))
23 addclpr 7017 . . . 4 ((𝐵P ∧ 1PP) → (𝐵 +P 1P) ∈ P)
243, 2, 23syl2anc 403 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → (𝐵 +P 1P) ∈ P)
25 ltsrprg 7214 . . 3 ((((𝐴 +P 1P) ∈ P ∧ 1PP) ∧ ((𝐵 +P 1P) ∈ P ∧ 1PP)) → ([⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩] ~R <R [⟨(𝐵 +P 1P), 1P⟩] ~R ↔ ((𝐴 +P 1P) +P 1P)<P (1P +P (𝐵 +P 1P))))
2616, 2, 24, 2, 25syl22anc 1173 . 2 ((𝐴P𝐵P) → ([⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩] ~R <R [⟨(𝐵 +P 1P), 1P⟩] ~R ↔ ((𝐴 +P 1P) +P 1P)<P (1P +P (𝐵 +P 1P))))
276, 22, 263bitr4d 218 1 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴<P 𝐵 ↔ [⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩] ~R <R [⟨(𝐵 +P 1P), 1P⟩] ~R ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 922   = wceq 1287  wcel 1436  cop 3428   class class class wbr 3814  (class class class)co 5594  [cec 6223  Pcnp 6771  1Pc1p 6772   +P cpp 6773  <P cltp 6775   ~R cer 6776   <R cltr 6783
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3922  ax-sep 3925  ax-nul 3933  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-iinf 4369
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-tr 3905  df-eprel 4083  df-id 4087  df-po 4090  df-iso 4091  df-iord 4160  df-on 4162  df-suc 4165  df-iom 4372  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-1st 5849  df-2nd 5850  df-recs 6005  df-irdg 6070  df-1o 6116  df-2o 6117  df-oadd 6120  df-omul 6121  df-er 6225  df-ec 6227  df-qs 6231  df-ni 6784  df-pli 6785  df-mi 6786  df-lti 6787  df-plpq 6824  df-mpq 6825  df-enq 6827  df-nqqs 6828  df-plqqs 6829  df-mqqs 6830  df-1nqqs 6831  df-rq 6832  df-ltnqqs 6833  df-enq0 6904  df-nq0 6905  df-0nq0 6906  df-plq0 6907  df-mq0 6908  df-inp 6946  df-i1p 6947  df-iplp 6948  df-iltp 6950  df-enr 7193  df-nr 7194  df-ltr 7197
This theorem is referenced by:  caucvgsrlemcau  7259  caucvgsrlembound  7260  caucvgsrlemgt1  7261  ltrennb  7312
  Copyright terms: Public domain W3C validator