Theorem prsrlt 7785

Description: Mapping from positive real ordering to signed real ordering. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
prsrlt	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴<P 𝐵 ↔ [⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩] ~R <R [⟨(𝐵 +P 1P), 1P⟩] ~R ))

Proof of Theorem prsrlt

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 7552	. . . . 5 ⊢ 1P ∈ P
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → 1P ∈ P)
3		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → 𝐵 ∈ P)
4		addassprg 7577	. . . 4 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → ((1P +P 𝐵) +P 1P) = (1P +P (𝐵 +P 1P)))
5	2, 3, 2, 4	syl3anc 1238	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((1P +P 𝐵) +P 1P) = (1P +P (𝐵 +P 1P)))
6	5	breq2d 4015	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (((𝐴 +P 1P) +P 1P)<P ((1P +P 𝐵) +P 1P) ↔ ((𝐴 +P 1P) +P 1P)<P (1P +P (𝐵 +P 1P))))
7		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → 𝐴 ∈ P)
8		ltaprg 7617	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (𝐴<P 𝐵 ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵)))
9	7, 3, 2, 8	syl3anc 1238	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴<P 𝐵 ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵)))
10		addcomprg 7576	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (𝐴 +P 1P) = (1P +P 𝐴))
11	7, 2, 10	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 +P 1P) = (1P +P 𝐴))
12	11	breq1d 4013	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((𝐴 +P 1P)<P (1P +P 𝐵) ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵)))
13		ltaprg 7617	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P ∧ ℎ ∈ P) → (𝑓<P 𝑔 ↔ (ℎ +P 𝑓)<P (ℎ +P 𝑔)))
14	13	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P ∧ ℎ ∈ P)) → (𝑓<P 𝑔 ↔ (ℎ +P 𝑓)<P (ℎ +P 𝑔)))
15		addclpr 7535	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (𝐴 +P 1P) ∈ P)
16	7, 2, 15	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 +P 1P) ∈ P)
17		addclpr 7535	. . . . 5 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (1P +P 𝐵) ∈ P)
18	2, 3, 17	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (1P +P 𝐵) ∈ P)
19		addcomprg 7576	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P) → (𝑓 +P 𝑔) = (𝑔 +P 𝑓))
20	19	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P)) → (𝑓 +P 𝑔) = (𝑔 +P 𝑓))
21	14, 16, 18, 2, 20	caovord2d 6043	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((𝐴 +P 1P)<P (1P +P 𝐵) ↔ ((𝐴 +P 1P) +P 1P)<P ((1P +P 𝐵) +P 1P)))
22	9, 12, 21	3bitr2d 216	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴<P 𝐵 ↔ ((𝐴 +P 1P) +P 1P)<P ((1P +P 𝐵) +P 1P)))
23		addclpr 7535	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (𝐵 +P 1P) ∈ P)
24	3, 2, 23	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐵 +P 1P) ∈ P)
25		ltsrprg 7745	. . 3 ⊢ ((((𝐴 +P 1P) ∈ P ∧ 1P ∈ P) ∧ ((𝐵 +P 1P) ∈ P ∧ 1P ∈ P)) → ([⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩] ~R <R [⟨(𝐵 +P 1P), 1P⟩] ~R ↔ ((𝐴 +P 1P) +P 1P)<P (1P +P (𝐵 +P 1P))))
26	16, 2, 24, 2, 25	syl22anc 1239	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ([⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩] ~R <R [⟨(𝐵 +P 1P), 1P⟩] ~R ↔ ((𝐴 +P 1P) +P 1P)<P (1P +P (𝐵 +P 1P))))
27	6, 22, 26	3bitr4d 220	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴<P 𝐵 ↔ [⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩] ~R <R [⟨(𝐵 +P 1P), 1P⟩] ~R ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ⟨cop 3595   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874  [cec 6532  Pcnp 7289  1_Pc1p 7290   +_P cpp 7291  <_P cltp 7293   ~_R cer 7294   <_R cltr 7301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-eprel 4289  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-1o 6416  df-2o 6417  df-oadd 6420  df-omul 6421  df-er 6534  df-ec 6536  df-qs 6540  df-ni 7302  df-pli 7303  df-mi 7304  df-lti 7305  df-plpq 7342  df-mpq 7343  df-enq 7345  df-nqqs 7346  df-plqqs 7347  df-mqqs 7348  df-1nqqs 7349  df-rq 7350  df-ltnqqs 7351  df-enq0 7422  df-nq0 7423  df-0nq0 7424  df-plq0 7425  df-mq0 7426  df-inp 7464  df-i1p 7465  df-iplp 7466  df-iltp 7468  df-enr 7724  df-nr 7725  df-ltr 7728

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemcau  7791  caucvgsrlembound  7792  caucvgsrlemgt1  7793  ltrennb  7852