Theorem prsrlt 8160

Description: Mapping from positive real ordering to signed real ordering. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
prsrlt	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴<P 𝐵 ↔ [⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩] ~R <R [⟨(𝐵 +P 1P), 1P⟩] ~R ))

Proof of Theorem prsrlt

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 7927	. . . . 5 ⊢ 1P ∈ P
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → 1P ∈ P)
3		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → 𝐵 ∈ P)
4		addassprg 7952	. . . 4 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → ((1P +P 𝐵) +P 1P) = (1P +P (𝐵 +P 1P)))
5	2, 3, 2, 4	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((1P +P 𝐵) +P 1P) = (1P +P (𝐵 +P 1P)))
6	5	breq2d 4143	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (((𝐴 +P 1P) +P 1P)<P ((1P +P 𝐵) +P 1P) ↔ ((𝐴 +P 1P) +P 1P)<P (1P +P (𝐵 +P 1P))))
7		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → 𝐴 ∈ P)
8		ltaprg 7992	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (𝐴<P 𝐵 ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵)))
9	7, 3, 2, 8	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴<P 𝐵 ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵)))
10		addcomprg 7951	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (𝐴 +P 1P) = (1P +P 𝐴))
11	7, 2, 10	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 +P 1P) = (1P +P 𝐴))
12	11	breq1d 4141	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((𝐴 +P 1P)<P (1P +P 𝐵) ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵)))
13		ltaprg 7992	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P ∧ ℎ ∈ P) → (𝑓<P 𝑔 ↔ (ℎ +P 𝑓)<P (ℎ +P 𝑔)))
14	13	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P ∧ ℎ ∈ P)) → (𝑓<P 𝑔 ↔ (ℎ +P 𝑓)<P (ℎ +P 𝑔)))
15		addclpr 7910	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (𝐴 +P 1P) ∈ P)
16	7, 2, 15	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 +P 1P) ∈ P)
17		addclpr 7910	. . . . 5 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (1P +P 𝐵) ∈ P)
18	2, 3, 17	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (1P +P 𝐵) ∈ P)
19		addcomprg 7951	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P) → (𝑓 +P 𝑔) = (𝑔 +P 𝑓))
20	19	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P)) → (𝑓 +P 𝑔) = (𝑔 +P 𝑓))
21	14, 16, 18, 2, 20	caovord2d 6262	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((𝐴 +P 1P)<P (1P +P 𝐵) ↔ ((𝐴 +P 1P) +P 1P)<P ((1P +P 𝐵) +P 1P)))
22	9, 12, 21	3bitr2d 216	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴<P 𝐵 ↔ ((𝐴 +P 1P) +P 1P)<P ((1P +P 𝐵) +P 1P)))
23		addclpr 7910	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (𝐵 +P 1P) ∈ P)
24	3, 2, 23	syl2anc 415	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐵 +P 1P) ∈ P)
25		ltsrprg 8120	. . 3 ⊢ ((((𝐴 +P 1P) ∈ P ∧ 1P ∈ P) ∧ ((𝐵 +P 1P) ∈ P ∧ 1P ∈ P)) → ([⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩] ~R <R [⟨(𝐵 +P 1P), 1P⟩] ~R ↔ ((𝐴 +P 1P) +P 1P)<P (1P +P (𝐵 +P 1P))))
26	16, 2, 24, 2, 25	syl22anc 1279	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ([⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩] ~R <R [⟨(𝐵 +P 1P), 1P⟩] ~R ↔ ((𝐴 +P 1P) +P 1P)<P (1P +P (𝐵 +P 1P))))
27	6, 22, 26	3bitr4d 220	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴<P 𝐵 ↔ [⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩] ~R <R [⟨(𝐵 +P 1P), 1P⟩] ~R ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ⟨cop 3712   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088  [cec 6809  Pcnp 7664  1_Pc1p 7665   +_P cpp 7666  <_P cltp 7668   ~_R cer 7669   <_R cltr 7676

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-er 6811  df-ec 6813  df-qs 6817  df-ni 7677  df-pli 7678  df-mi 7679  df-lti 7680  df-plpq 7717  df-mpq 7718  df-enq 7720  df-nqqs 7721  df-plqqs 7722  df-mqqs 7723  df-1nqqs 7724  df-rq 7725  df-ltnqqs 7726  df-enq0 7797  df-nq0 7798  df-0nq0 7799  df-plq0 7800  df-mq0 7801  df-inp 7839  df-i1p 7840  df-iplp 7841  df-iltp 7843  df-enr 8099  df-nr 8100  df-ltr 8103

This theorem is used by:  caucvgsrlemcau  8166  caucvgsrlembound  8167  caucvgsrlemgt1  8168  ltrennb  8227