Theorem crngcom 13851

Description: A commutative ring's multiplication operation is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
crngcom	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑌 · 𝑋))

Proof of Theorem crngcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2206	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	crngmgp 13841	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
3	2	3ad2ant1 1021	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
4		simp2 1001	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		ringcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	1, 5	mgpbasg 13763	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
7	6	3ad2ant1 1021	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
8	4, 7	eleqtrd 2285	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
9		simp3 1002	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
10	9, 7	eleqtrd 2285	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
11		eqid 2206	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
12		eqid 2206	. . . 4 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
13	11, 12	cmncom 13713	. . 3 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌) = (𝑌(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋))
14	3, 8, 10, 13	syl3anc 1250	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌) = (𝑌(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋))
15		ringcl.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
16	1, 15	mgpplusgg 13761	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
17	16	3ad2ant1 1021	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
18	17	oveqd 5974	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌))
19	17	oveqd 5974	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 · 𝑋) = (𝑌(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑋))
20	14, 18, 19	3eqtr4d 2249	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑌 · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957  Basecbs 12907  +_gcplusg 12984  ._rcmulr 12985  CMndccmn 13695  mulGrpcmgp 13757  CRingccrg 13834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-fv 5288  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-ltxr 8132  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-sets 12914  df-plusg 12997  df-mulr 12998  df-cmn 13697  df-mgp 13758  df-cring 13836

This theorem is referenced by:  crngoppr  13909  unitmulclb  13951  rdivmuldivd  13981  rmodislmodlem  14187  quscrng  14370