Theorem 2exp11 13244

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 9872	. . . . 5 ⊢ (8 + 3) = ;11
2	1	eqcomi 2242	. . . 4 ⊢ ;11 = (8 + 3)
3	2	oveq2i 6099	. . 3 ⊢ (2↑;11) = (2↑(8 + 3))
4		2cn 9384	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8nn0 9597	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
6		3nn0 9592	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		expadd 11038	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1378	. . 3 ⊢ (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3))
9	3, 8	eqtri 2259	. 2 ⊢ (2↑;11) = ((2↑8) · (2↑3))
10		2exp8 13243	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
11		cu2 11095	. . . 4 ⊢ (2↑3) = 8
12	10, 11	oveq12i 6100	. . 3 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = (;;256 · 8)
13		2nn0 9591	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		5nn0 9594	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 9801	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
16		6nn0 9595	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17		eqid 2238	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
18		4nn0 9593	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19		0nn0 9589	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	13, 19	deccl 9801	. . . . 5 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
21		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ ;25 = ;25
22		1nn0 9590	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		8cn 9399	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		8t2e16 9906	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
25	23, 4, 24	mulcomli 8339	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 8) = ;16
26		1p1e2 9430	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 9863	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 9852	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
29		5cn 9393	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
30		8t5e40 9909	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 5) = ;40
31	23, 29, 30	mulcomli 8339	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = ;40
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 9856	. . . . 5 ⊢ (;25 · 8) = ;;200
33		4cn 9391	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addlidi 8476	. . . . 5 ⊢ (0 + 4) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 9851	. . . 4 ⊢ ((;25 · 8) + 4) = ;;204
36		6cn 9395	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
37		8t6e48 9910	. . . . 5 ⊢ (8 · 6) = ;48
38	23, 36, 37	mulcomli 8339	. . . 4 ⊢ (6 · 8) = ;48
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 9856	. . 3 ⊢ (;;256 · 8) = ;;;2048
40	12, 39	eqtri 2259	. 2 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = ;;;2048
41	9, 40	eqtri 2259	1 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6088  ℂcc 8183  0cc0 8185  1c1 8186   + caddc 8188   · cmul 8190  2c2 9364  3c3 9365  4c4 9366  5c5 9367  6c6 9368  8c8 9370  ℕ₀cn0 9574  ;cdc 9787  ↑cexp 10995

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6581  df-frec 6667  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9654  df-dec 9788  df-uz 9937  df-seqfrec 10905  df-exp 10996

This theorem is used by: (None)