Theorem 2exp11 13032

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 9696	. . . . 5 ⊢ (8 + 3) = ;11
2	1	eqcomi 2234	. . . 4 ⊢ ;11 = (8 + 3)
3	2	oveq2i 6034	. . 3 ⊢ (2↑;11) = (2↑(8 + 3))
4		2cn 9219	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8nn0 9430	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
6		3nn0 9425	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		expadd 10849	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1373	. . 3 ⊢ (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3))
9	3, 8	eqtri 2251	. 2 ⊢ (2↑;11) = ((2↑8) · (2↑3))
10		2exp8 13031	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
11		cu2 10906	. . . 4 ⊢ (2↑3) = 8
12	10, 11	oveq12i 6035	. . 3 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = (;;256 · 8)
13		2nn0 9424	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		5nn0 9427	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 9630	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
16		6nn0 9428	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17		eqid 2230	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
18		4nn0 9426	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19		0nn0 9422	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	13, 19	deccl 9630	. . . . 5 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
21		eqid 2230	. . . . . 6 ⊢ ;25 = ;25
22		1nn0 9423	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		8cn 9234	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		8t2e16 9730	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
25	23, 4, 24	mulcomli 8191	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 8) = ;16
26		1p1e2 9265	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 9687	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 9676	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
29		5cn 9228	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
30		8t5e40 9733	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 5) = ;40
31	23, 29, 30	mulcomli 8191	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = ;40
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 9680	. . . . 5 ⊢ (;25 · 8) = ;;200
33		4cn 9226	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addlidi 8327	. . . . 5 ⊢ (0 + 4) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 9675	. . . 4 ⊢ ((;25 · 8) + 4) = ;;204
36		6cn 9230	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
37		8t6e48 9734	. . . . 5 ⊢ (8 · 6) = ;48
38	23, 36, 37	mulcomli 8191	. . . 4 ⊢ (6 · 8) = ;48
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 9680	. . 3 ⊢ (;;256 · 8) = ;;;2048
40	12, 39	eqtri 2251	. 2 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = ;;;2048
41	9, 40	eqtri 2251	1 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Syntax hints:   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  (class class class)co 6023  ℂcc 8035  0cc0 8037  1c1 8038   + caddc 8040   · cmul 8042  2c2 9199  3c3 9200  4c4 9201  5c5 9202  6c6 9203  8c8 9205  ℕ₀cn0 9407  ;cdc 9616  ↑cexp 10806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-frec 6562  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-9 9214  df-n0 9408  df-z 9485  df-dec 9617  df-uz 9761  df-seqfrec 10716  df-exp 10807

This theorem is referenced by: (None)