Theorem 2exp11 12925

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 9626	. . . . 5 ⊢ (8 + 3) = ;11
2	1	eqcomi 2213	. . . 4 ⊢ ;11 = (8 + 3)
3	2	oveq2i 5985	. . 3 ⊢ (2↑;11) = (2↑(8 + 3))
4		2cn 9149	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8nn0 9360	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
6		3nn0 9355	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		expadd 10770	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1352	. . 3 ⊢ (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3))
9	3, 8	eqtri 2230	. 2 ⊢ (2↑;11) = ((2↑8) · (2↑3))
10		2exp8 12924	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
11		cu2 10827	. . . 4 ⊢ (2↑3) = 8
12	10, 11	oveq12i 5986	. . 3 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = (;;256 · 8)
13		2nn0 9354	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		5nn0 9357	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 9560	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
16		6nn0 9358	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17		eqid 2209	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
18		4nn0 9356	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19		0nn0 9352	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	13, 19	deccl 9560	. . . . 5 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
21		eqid 2209	. . . . . 6 ⊢ ;25 = ;25
22		1nn0 9353	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		8cn 9164	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		8t2e16 9660	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
25	23, 4, 24	mulcomli 8121	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 8) = ;16
26		1p1e2 9195	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 9617	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 9606	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
29		5cn 9158	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
30		8t5e40 9663	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 5) = ;40
31	23, 29, 30	mulcomli 8121	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = ;40
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 9610	. . . . 5 ⊢ (;25 · 8) = ;;200
33		4cn 9156	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addlidi 8257	. . . . 5 ⊢ (0 + 4) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 9605	. . . 4 ⊢ ((;25 · 8) + 4) = ;;204
36		6cn 9160	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
37		8t6e48 9664	. . . . 5 ⊢ (8 · 6) = ;48
38	23, 36, 37	mulcomli 8121	. . . 4 ⊢ (6 · 8) = ;48
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 9610	. . 3 ⊢ (;;256 · 8) = ;;;2048
40	12, 39	eqtri 2230	. 2 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = ;;;2048
41	9, 40	eqtri 2230	1 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Syntax hints:   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  (class class class)co 5974  ℂcc 7965  0cc0 7967  1c1 7968   + caddc 7970   · cmul 7972  2c2 9129  3c3 9130  4c4 9131  5c5 9132  6c6 9133  8c8 9135  ℕ₀cn0 9337  ;cdc 9546  ↑cexp 10727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-frec 6507  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-9 9144  df-n0 9338  df-z 9415  df-dec 9547  df-uz 9691  df-seqfrec 10637  df-exp 10728

This theorem is referenced by: (None)