Theorem 2exp11 13142

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 9795	. . . . 5 ⊢ (8 + 3) = ;11
2	1	eqcomi 2238	. . . 4 ⊢ ;11 = (8 + 3)
3	2	oveq2i 6063	. . 3 ⊢ (2↑;11) = (2↑(8 + 3))
4		2cn 9313	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8nn0 9524	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
6		3nn0 9519	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		expadd 10950	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1374	. . 3 ⊢ (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3))
9	3, 8	eqtri 2255	. 2 ⊢ (2↑;11) = ((2↑8) · (2↑3))
10		2exp8 13141	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
11		cu2 11007	. . . 4 ⊢ (2↑3) = 8
12	10, 11	oveq12i 6064	. . 3 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = (;;256 · 8)
13		2nn0 9518	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		5nn0 9521	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 9729	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
16		6nn0 9522	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17		eqid 2234	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
18		4nn0 9520	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19		0nn0 9516	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	13, 19	deccl 9729	. . . . 5 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
21		eqid 2234	. . . . . 6 ⊢ ;25 = ;25
22		1nn0 9517	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		8cn 9328	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		8t2e16 9829	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
25	23, 4, 24	mulcomli 8286	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 8) = ;16
26		1p1e2 9359	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 9786	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 9775	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
29		5cn 9322	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
30		8t5e40 9832	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 5) = ;40
31	23, 29, 30	mulcomli 8286	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = ;40
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 9779	. . . . 5 ⊢ (;25 · 8) = ;;200
33		4cn 9320	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addlidi 8421	. . . . 5 ⊢ (0 + 4) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 9774	. . . 4 ⊢ ((;25 · 8) + 4) = ;;204
36		6cn 9324	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
37		8t6e48 9833	. . . . 5 ⊢ (8 · 6) = ;48
38	23, 36, 37	mulcomli 8286	. . . 4 ⊢ (6 · 8) = ;48
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 9779	. . 3 ⊢ (;;256 · 8) = ;;;2048
40	12, 39	eqtri 2255	. 2 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = ;;;2048
41	9, 40	eqtri 2255	1 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Syntax hints:   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  (class class class)co 6052  ℂcc 8130  0cc0 8132  1c1 8133   + caddc 8135   · cmul 8137  2c2 9293  3c3 9294  4c4 9295  5c5 9296  6c6 9297  8c8 9299  ℕ₀cn0 9501  ;cdc 9715  ↑cexp 10907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-pre-mulext 8250

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-div 8952  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-5 9304  df-6 9305  df-7 9306  df-8 9307  df-9 9308  df-n0 9502  df-z 9583  df-dec 9716  df-uz 9860  df-seqfrec 10817  df-exp 10908

This theorem is referenced by: (None)