Theorem 2exp11 13246

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 9874	. . . . 5 ⊢ (8 + 3) = ;11
2	1	eqcomi 2242	. . . 4 ⊢ ;11 = (8 + 3)
3	2	oveq2i 6099	. . 3 ⊢ (2↑;11) = (2↑(8 + 3))
4		2cn 9385	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8nn0 9598	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
6		3nn0 9593	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		expadd 11040	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1378	. . 3 ⊢ (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3))
9	3, 8	eqtri 2259	. 2 ⊢ (2↑;11) = ((2↑8) · (2↑3))
10		2exp8 13245	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
11		cu2 11097	. . . 4 ⊢ (2↑3) = 8
12	10, 11	oveq12i 6100	. . 3 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = (;;256 · 8)
13		2nn0 9592	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		5nn0 9595	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 9803	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
16		6nn0 9596	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17		eqid 2238	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
18		4nn0 9594	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19		0nn0 9590	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	13, 19	deccl 9803	. . . . 5 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
21		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ ;25 = ;25
22		1nn0 9591	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		8cn 9400	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		8t2e16 9908	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
25	23, 4, 24	mulcomli 8340	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 8) = ;16
26		1p1e2 9431	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 9865	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 9854	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
29		5cn 9394	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
30		8t5e40 9911	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 5) = ;40
31	23, 29, 30	mulcomli 8340	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = ;40
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 9858	. . . . 5 ⊢ (;25 · 8) = ;;200
33		4cn 9392	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addlidi 8477	. . . . 5 ⊢ (0 + 4) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 9853	. . . 4 ⊢ ((;25 · 8) + 4) = ;;204
36		6cn 9396	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
37		8t6e48 9912	. . . . 5 ⊢ (8 · 6) = ;48
38	23, 36, 37	mulcomli 8340	. . . 4 ⊢ (6 · 8) = ;48
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 9858	. . 3 ⊢ (;;256 · 8) = ;;;2048
40	12, 39	eqtri 2259	. 2 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = ;;;2048
41	9, 40	eqtri 2259	1 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6088  ℂcc 8184  0cc0 8186  1c1 8187   + caddc 8189   · cmul 8191  2c2 9365  3c3 9366  4c4 9367  5c5 9368  6c6 9369  8c8 9371  ℕ₀cn0 9575  ;cdc 9789  ↑cexp 10997

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-z 9657  df-dec 9790  df-uz 9939  df-seqfrec 10907  df-exp 10998

This theorem is used by: (None)