Theorem 2exp11 13217

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 9859	. . . . 5 ⊢ (8 + 3) = ;11
2	1	eqcomi 2242	. . . 4 ⊢ ;11 = (8 + 3)
3	2	oveq2i 6096	. . 3 ⊢ (2↑;11) = (2↑(8 + 3))
4		2cn 9376	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8nn0 9588	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
6		3nn0 9583	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		expadd 11020	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1378	. . 3 ⊢ (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3))
9	3, 8	eqtri 2259	. 2 ⊢ (2↑;11) = ((2↑8) · (2↑3))
10		2exp8 13216	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
11		cu2 11077	. . . 4 ⊢ (2↑3) = 8
12	10, 11	oveq12i 6097	. . 3 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = (;;256 · 8)
13		2nn0 9582	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		5nn0 9585	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 9793	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
16		6nn0 9586	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17		eqid 2238	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
18		4nn0 9584	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19		0nn0 9580	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	13, 19	deccl 9793	. . . . 5 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
21		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ ;25 = ;25
22		1nn0 9581	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		8cn 9391	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		8t2e16 9893	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
25	23, 4, 24	mulcomli 8333	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 8) = ;16
26		1p1e2 9422	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 9850	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 9839	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
29		5cn 9385	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
30		8t5e40 9896	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 5) = ;40
31	23, 29, 30	mulcomli 8333	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = ;40
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 9843	. . . . 5 ⊢ (;25 · 8) = ;;200
33		4cn 9383	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addlidi 8469	. . . . 5 ⊢ (0 + 4) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 9838	. . . 4 ⊢ ((;25 · 8) + 4) = ;;204
36		6cn 9387	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
37		8t6e48 9897	. . . . 5 ⊢ (8 · 6) = ;48
38	23, 36, 37	mulcomli 8333	. . . 4 ⊢ (6 · 8) = ;48
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 9843	. . 3 ⊢ (;;256 · 8) = ;;;2048
40	12, 39	eqtri 2259	. 2 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = ;;;2048
41	9, 40	eqtri 2259	1 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  0cc0 8179  1c1 8180   + caddc 8182   · cmul 8184  2c2 9356  3c3 9357  4c4 9358  5c5 9359  6c6 9360  8c8 9362  ℕ₀cn0 9565  ;cdc 9779  ↑cexp 10977

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-9 9371  df-n0 9566  df-z 9647  df-dec 9780  df-uz 9924  df-seqfrec 10887  df-exp 10978

This theorem is used by: (None)