Theorem 2exp11 12803

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 9591	. . . . 5 ⊢ (8 + 3) = ;11
2	1	eqcomi 2210	. . . 4 ⊢ ;11 = (8 + 3)
3	2	oveq2i 5962	. . 3 ⊢ (2↑;11) = (2↑(8 + 3))
4		2cn 9114	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8nn0 9325	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
6		3nn0 9320	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		expadd 10733	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1350	. . 3 ⊢ (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3))
9	3, 8	eqtri 2227	. 2 ⊢ (2↑;11) = ((2↑8) · (2↑3))
10		2exp8 12802	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
11		cu2 10790	. . . 4 ⊢ (2↑3) = 8
12	10, 11	oveq12i 5963	. . 3 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = (;;256 · 8)
13		2nn0 9319	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		5nn0 9322	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 9525	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
16		6nn0 9323	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17		eqid 2206	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
18		4nn0 9321	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19		0nn0 9317	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	13, 19	deccl 9525	. . . . 5 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
21		eqid 2206	. . . . . 6 ⊢ ;25 = ;25
22		1nn0 9318	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		8cn 9129	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		8t2e16 9625	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
25	23, 4, 24	mulcomli 8086	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 8) = ;16
26		1p1e2 9160	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 9582	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 9571	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
29		5cn 9123	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
30		8t5e40 9628	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 5) = ;40
31	23, 29, 30	mulcomli 8086	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = ;40
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 9575	. . . . 5 ⊢ (;25 · 8) = ;;200
33		4cn 9121	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addlidi 8222	. . . . 5 ⊢ (0 + 4) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 9570	. . . 4 ⊢ ((;25 · 8) + 4) = ;;204
36		6cn 9125	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
37		8t6e48 9629	. . . . 5 ⊢ (8 · 6) = ;48
38	23, 36, 37	mulcomli 8086	. . . 4 ⊢ (6 · 8) = ;48
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 9575	. . 3 ⊢ (;;256 · 8) = ;;;2048
40	12, 39	eqtri 2227	. 2 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = ;;;2048
41	9, 40	eqtri 2227	1 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Syntax hints:   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  (class class class)co 5951  ℂcc 7930  0cc0 7932  1c1 7933   + caddc 7935   · cmul 7937  2c2 9094  3c3 9095  4c4 9096  5c5 9097  6c6 9098  8c8 9100  ℕ₀cn0 9302  ;cdc 9511  ↑cexp 10690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-frec 6484  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-5 9105  df-6 9106  df-7 9107  df-8 9108  df-9 9109  df-n0 9303  df-z 9380  df-dec 9512  df-uz 9656  df-seqfrec 10600  df-exp 10691

This theorem is referenced by: (None)