Theorem 2exp11 12630

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 9554	. . . . 5 ⊢ (8 + 3) = ;11
2	1	eqcomi 2200	. . . 4 ⊢ ;11 = (8 + 3)
3	2	oveq2i 5936	. . 3 ⊢ (2↑;11) = (2↑(8 + 3))
4		2cn 9078	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8nn0 9289	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
6		3nn0 9284	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		expadd 10690	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1348	. . 3 ⊢ (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3))
9	3, 8	eqtri 2217	. 2 ⊢ (2↑;11) = ((2↑8) · (2↑3))
10		2exp8 12629	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
11		cu2 10747	. . . 4 ⊢ (2↑3) = 8
12	10, 11	oveq12i 5937	. . 3 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = (;;256 · 8)
13		2nn0 9283	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		5nn0 9286	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 9488	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
16		6nn0 9287	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17		eqid 2196	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
18		4nn0 9285	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19		0nn0 9281	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	13, 19	deccl 9488	. . . . 5 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
21		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ ;25 = ;25
22		1nn0 9282	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		8cn 9093	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		8t2e16 9588	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
25	23, 4, 24	mulcomli 8050	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 8) = ;16
26		1p1e2 9124	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 9545	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 9534	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
29		5cn 9087	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
30		8t5e40 9591	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 5) = ;40
31	23, 29, 30	mulcomli 8050	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = ;40
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 9538	. . . . 5 ⊢ (;25 · 8) = ;;200
33		4cn 9085	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addlidi 8186	. . . . 5 ⊢ (0 + 4) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 9533	. . . 4 ⊢ ((;25 · 8) + 4) = ;;204
36		6cn 9089	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
37		8t6e48 9592	. . . . 5 ⊢ (8 · 6) = ;48
38	23, 36, 37	mulcomli 8050	. . . 4 ⊢ (6 · 8) = ;48
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 9538	. . 3 ⊢ (;;256 · 8) = ;;;2048
40	12, 39	eqtri 2217	. 2 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = ;;;2048
41	9, 40	eqtri 2217	1 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5925  ℂcc 7894  0cc0 7896  1c1 7897   + caddc 7899   · cmul 7901  2c2 9058  3c3 9059  4c4 9060  5c5 9061  6c6 9062  8c8 9064  ℕ₀cn0 9266  ;cdc 9474  ↑cexp 10647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-7 9071  df-8 9072  df-9 9073  df-n0 9267  df-z 9344  df-dec 9475  df-uz 9619  df-seqfrec 10557  df-exp 10648

This theorem is referenced by: (None)