Theorem 2exp11 12581

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 9534	. . . . 5 ⊢ (8 + 3) = ;11
2	1	eqcomi 2200	. . . 4 ⊢ ;11 = (8 + 3)
3	2	oveq2i 5933	. . 3 ⊢ (2↑;11) = (2↑(8 + 3))
4		2cn 9058	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8nn0 9269	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
6		3nn0 9264	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		expadd 10658	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1348	. . 3 ⊢ (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3))
9	3, 8	eqtri 2217	. 2 ⊢ (2↑;11) = ((2↑8) · (2↑3))
10		2exp8 12580	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
11		cu2 10715	. . . 4 ⊢ (2↑3) = 8
12	10, 11	oveq12i 5934	. . 3 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = (;;256 · 8)
13		2nn0 9263	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		5nn0 9266	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 9468	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
16		6nn0 9267	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17		eqid 2196	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
18		4nn0 9265	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19		0nn0 9261	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	13, 19	deccl 9468	. . . . 5 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
21		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ ;25 = ;25
22		1nn0 9262	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		8cn 9073	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		8t2e16 9568	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
25	23, 4, 24	mulcomli 8031	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 8) = ;16
26		1p1e2 9104	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 9525	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 9514	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
29		5cn 9067	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
30		8t5e40 9571	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 5) = ;40
31	23, 29, 30	mulcomli 8031	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = ;40
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 9518	. . . . 5 ⊢ (;25 · 8) = ;;200
33		4cn 9065	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addlidi 8167	. . . . 5 ⊢ (0 + 4) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 9513	. . . 4 ⊢ ((;25 · 8) + 4) = ;;204
36		6cn 9069	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
37		8t6e48 9572	. . . . 5 ⊢ (8 · 6) = ;48
38	23, 36, 37	mulcomli 8031	. . . 4 ⊢ (6 · 8) = ;48
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 9518	. . 3 ⊢ (;;256 · 8) = ;;;2048
40	12, 39	eqtri 2217	. 2 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = ;;;2048
41	9, 40	eqtri 2217	1 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5922  ℂcc 7875  0cc0 7877  1c1 7878   + caddc 7880   · cmul 7882  2c2 9038  3c3 9039  4c4 9040  5c5 9041  6c6 9042  8c8 9044  ℕ₀cn0 9246  ;cdc 9454  ↑cexp 10615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7968  ax-resscn 7969  ax-1cn 7970  ax-1re 7971  ax-icn 7972  ax-addcl 7973  ax-addrcl 7974  ax-mulcl 7975  ax-mulrcl 7976  ax-addcom 7977  ax-mulcom 7978  ax-addass 7979  ax-mulass 7980  ax-distr 7981  ax-i2m1 7982  ax-0lt1 7983  ax-1rid 7984  ax-0id 7985  ax-rnegex 7986  ax-precex 7987  ax-cnre 7988  ax-pre-ltirr 7989  ax-pre-ltwlin 7990  ax-pre-lttrn 7991  ax-pre-apti 7992  ax-pre-ltadd 7993  ax-pre-mulgt0 7994  ax-pre-mulext 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8061  df-mnf 8062  df-xr 8063  df-ltxr 8064  df-le 8065  df-sub 8197  df-neg 8198  df-reap 8599  df-ap 8606  df-div 8697  df-inn 8988  df-2 9046  df-3 9047  df-4 9048  df-5 9049  df-6 9050  df-7 9051  df-8 9052  df-9 9053  df-n0 9247  df-z 9324  df-dec 9455  df-uz 9599  df-seqfrec 10525  df-exp 10616

This theorem is referenced by: (None)