Theorem 2exp11 13198

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 9840	. . . . 5 ⊢ (8 + 3) = ;11
2	1	eqcomi 2242	. . . 4 ⊢ ;11 = (8 + 3)
3	2	oveq2i 6090	. . 3 ⊢ (2↑;11) = (2↑(8 + 3))
4		2cn 9358	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8nn0 9569	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
6		3nn0 9564	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		expadd 11001	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1378	. . 3 ⊢ (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3))
9	3, 8	eqtri 2259	. 2 ⊢ (2↑;11) = ((2↑8) · (2↑3))
10		2exp8 13197	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
11		cu2 11058	. . . 4 ⊢ (2↑3) = 8
12	10, 11	oveq12i 6091	. . 3 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = (;;256 · 8)
13		2nn0 9563	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		5nn0 9566	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 9774	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
16		6nn0 9567	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17		eqid 2238	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
18		4nn0 9565	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19		0nn0 9561	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	13, 19	deccl 9774	. . . . 5 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
21		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ ;25 = ;25
22		1nn0 9562	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		8cn 9373	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		8t2e16 9874	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
25	23, 4, 24	mulcomli 8327	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 8) = ;16
26		1p1e2 9404	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 9831	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 9820	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
29		5cn 9367	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
30		8t5e40 9877	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 5) = ;40
31	23, 29, 30	mulcomli 8327	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = ;40
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 9824	. . . . 5 ⊢ (;25 · 8) = ;;200
33		4cn 9365	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addlidi 8463	. . . . 5 ⊢ (0 + 4) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 9819	. . . 4 ⊢ ((;25 · 8) + 4) = ;;204
36		6cn 9369	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
37		8t6e48 9878	. . . . 5 ⊢ (8 · 6) = ;48
38	23, 36, 37	mulcomli 8327	. . . 4 ⊢ (6 · 8) = ;48
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 9824	. . 3 ⊢ (;;256 · 8) = ;;;2048
40	12, 39	eqtri 2259	. 2 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = ;;;2048
41	9, 40	eqtri 2259	1 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Syntax hints:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6079  ℂcc 8171  0cc0 8173  1c1 8174   + caddc 8176   · cmul 8178  2c2 9338  3c3 9339  4c4 9340  5c5 9341  6c6 9342  8c8 9344  ℕ₀cn0 9546  ;cdc 9760  ↑cexp 10958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-z 9628  df-dec 9761  df-uz 9905  df-seqfrec 10868  df-exp 10959

This theorem is referenced by: (None)