Theorem 2exp11 13193

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 9836	. . . . 5 ⊢ (8 + 3) = ;11
2	1	eqcomi 2242	. . . 4 ⊢ ;11 = (8 + 3)
3	2	oveq2i 6086	. . 3 ⊢ (2↑;11) = (2↑(8 + 3))
4		2cn 9354	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8nn0 9565	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
6		3nn0 9560	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		expadd 10996	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1378	. . 3 ⊢ (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3))
9	3, 8	eqtri 2259	. 2 ⊢ (2↑;11) = ((2↑8) · (2↑3))
10		2exp8 13192	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
11		cu2 11053	. . . 4 ⊢ (2↑3) = 8
12	10, 11	oveq12i 6087	. . 3 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = (;;256 · 8)
13		2nn0 9559	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		5nn0 9562	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 9770	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
16		6nn0 9563	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17		eqid 2238	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
18		4nn0 9561	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19		0nn0 9557	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	13, 19	deccl 9770	. . . . 5 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
21		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ ;25 = ;25
22		1nn0 9558	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		8cn 9369	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		8t2e16 9870	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
25	23, 4, 24	mulcomli 8323	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 8) = ;16
26		1p1e2 9400	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 9827	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 9816	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
29		5cn 9363	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
30		8t5e40 9873	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 5) = ;40
31	23, 29, 30	mulcomli 8323	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = ;40
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 9820	. . . . 5 ⊢ (;25 · 8) = ;;200
33		4cn 9361	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addlidi 8459	. . . . 5 ⊢ (0 + 4) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 9815	. . . 4 ⊢ ((;25 · 8) + 4) = ;;204
36		6cn 9365	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
37		8t6e48 9874	. . . . 5 ⊢ (8 · 6) = ;48
38	23, 36, 37	mulcomli 8323	. . . 4 ⊢ (6 · 8) = ;48
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 9820	. . 3 ⊢ (;;256 · 8) = ;;;2048
40	12, 39	eqtri 2259	. 2 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = ;;;2048
41	9, 40	eqtri 2259	1 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Syntax hints:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6075  ℂcc 8167  0cc0 8169  1c1 8170   + caddc 8172   · cmul 8174  2c2 9334  3c3 9335  4c4 9336  5c5 9337  6c6 9338  8c8 9340  ℕ₀cn0 9542  ;cdc 9756  ↑cexp 10953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-n0 9543  df-z 9624  df-dec 9757  df-uz 9901  df-seqfrec 10863  df-exp 10954

This theorem is referenced by: (None)