Theorem 2exp11 12967

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 9666	. . . . 5 ⊢ (8 + 3) = ;11
2	1	eqcomi 2233	. . . 4 ⊢ ;11 = (8 + 3)
3	2	oveq2i 6018	. . 3 ⊢ (2↑;11) = (2↑(8 + 3))
4		2cn 9189	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8nn0 9400	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
6		3nn0 9395	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		expadd 10811	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1371	. . 3 ⊢ (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3))
9	3, 8	eqtri 2250	. 2 ⊢ (2↑;11) = ((2↑8) · (2↑3))
10		2exp8 12966	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
11		cu2 10868	. . . 4 ⊢ (2↑3) = 8
12	10, 11	oveq12i 6019	. . 3 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = (;;256 · 8)
13		2nn0 9394	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		5nn0 9397	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 9600	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
16		6nn0 9398	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17		eqid 2229	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
18		4nn0 9396	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19		0nn0 9392	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	13, 19	deccl 9600	. . . . 5 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
21		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ ;25 = ;25
22		1nn0 9393	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		8cn 9204	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		8t2e16 9700	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
25	23, 4, 24	mulcomli 8161	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 8) = ;16
26		1p1e2 9235	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 9657	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 9646	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
29		5cn 9198	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
30		8t5e40 9703	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 5) = ;40
31	23, 29, 30	mulcomli 8161	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = ;40
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 9650	. . . . 5 ⊢ (;25 · 8) = ;;200
33		4cn 9196	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addlidi 8297	. . . . 5 ⊢ (0 + 4) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 9645	. . . 4 ⊢ ((;25 · 8) + 4) = ;;204
36		6cn 9200	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
37		8t6e48 9704	. . . . 5 ⊢ (8 · 6) = ;48
38	23, 36, 37	mulcomli 8161	. . . 4 ⊢ (6 · 8) = ;48
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 9650	. . 3 ⊢ (;;256 · 8) = ;;;2048
40	12, 39	eqtri 2250	. 2 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = ;;;2048
41	9, 40	eqtri 2250	1 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Syntax hints:   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6007  ℂcc 8005  0cc0 8007  1c1 8008   + caddc 8010   · cmul 8012  2c2 9169  3c3 9170  4c4 9171  5c5 9172  6c6 9173  8c8 9175  ℕ₀cn0 9377  ;cdc 9586  ↑cexp 10768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183  df-9 9184  df-n0 9378  df-z 9455  df-dec 9587  df-uz 9731  df-seqfrec 10678  df-exp 10769

This theorem is referenced by: (None)