Theorem 2exp11 13127

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 9785	. . . . 5 ⊢ (8 + 3) = ;11
2	1	eqcomi 2236	. . . 4 ⊢ ;11 = (8 + 3)
3	2	oveq2i 6060	. . 3 ⊢ (2↑;11) = (2↑(8 + 3))
4		2cn 9304	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8nn0 9515	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
6		3nn0 9510	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		expadd 10939	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1374	. . 3 ⊢ (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3))
9	3, 8	eqtri 2253	. 2 ⊢ (2↑;11) = ((2↑8) · (2↑3))
10		2exp8 13126	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
11		cu2 10996	. . . 4 ⊢ (2↑3) = 8
12	10, 11	oveq12i 6061	. . 3 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = (;;256 · 8)
13		2nn0 9509	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		5nn0 9512	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 9719	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
16		6nn0 9513	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17		eqid 2232	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
18		4nn0 9511	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19		0nn0 9507	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	13, 19	deccl 9719	. . . . 5 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
21		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ ;25 = ;25
22		1nn0 9508	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		8cn 9319	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		8t2e16 9819	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
25	23, 4, 24	mulcomli 8277	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 8) = ;16
26		1p1e2 9350	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 9776	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 9765	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
29		5cn 9313	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
30		8t5e40 9822	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 5) = ;40
31	23, 29, 30	mulcomli 8277	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = ;40
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 9769	. . . . 5 ⊢ (;25 · 8) = ;;200
33		4cn 9311	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addlidi 8412	. . . . 5 ⊢ (0 + 4) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 9764	. . . 4 ⊢ ((;25 · 8) + 4) = ;;204
36		6cn 9315	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
37		8t6e48 9823	. . . . 5 ⊢ (8 · 6) = ;48
38	23, 36, 37	mulcomli 8277	. . . 4 ⊢ (6 · 8) = ;48
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 9769	. . 3 ⊢ (;;256 · 8) = ;;;2048
40	12, 39	eqtri 2253	. 2 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = ;;;2048
41	9, 40	eqtri 2253	1 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Syntax hints:   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  (class class class)co 6049  ℂcc 8121  0cc0 8123  1c1 8124   + caddc 8126   · cmul 8128  2c2 9284  3c3 9285  4c4 9286  5c5 9287  6c6 9288  8c8 9290  ℕ₀cn0 9492  ;cdc 9705  ↑cexp 10896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240  ax-pre-mulext 8241

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-ap 8852  df-div 8943  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-9 9299  df-n0 9493  df-z 9574  df-dec 9706  df-uz 9850  df-seqfrec 10806  df-exp 10897

This theorem is referenced by: (None)