Theorem 2exp11 13002

Description: Two to the eleventh power is 2048. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2exp11	⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Proof of Theorem 2exp11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8p3e11 9684	. . . . 5 ⊢ (8 + 3) = ;11
2	1	eqcomi 2233	. . . 4 ⊢ ;11 = (8 + 3)
3	2	oveq2i 6024	. . 3 ⊢ (2↑;11) = (2↑(8 + 3))
4		2cn 9207	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		8nn0 9418	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
6		3nn0 9413	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		expadd 10836	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3)))
8	4, 5, 6, 7	mp3an 1371	. . 3 ⊢ (2↑(8 + 3)) = ((2↑8) · (2↑3))
9	3, 8	eqtri 2250	. 2 ⊢ (2↑;11) = ((2↑8) · (2↑3))
10		2exp8 13001	. . . 4 ⊢ (2↑8) = ;;256
11		cu2 10893	. . . 4 ⊢ (2↑3) = 8
12	10, 11	oveq12i 6025	. . 3 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = (;;256 · 8)
13		2nn0 9412	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		5nn0 9415	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 9618	. . . 4 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
16		6nn0 9416	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
17		eqid 2229	. . . 4 ⊢ ;;256 = ;;256
18		4nn0 9414	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
19		0nn0 9410	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	13, 19	deccl 9618	. . . . 5 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
21		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ ;25 = ;25
22		1nn0 9411	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		8cn 9222	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
24		8t2e16 9718	. . . . . . . 8 ⊢ (8 · 2) = ;16
25	23, 4, 24	mulcomli 8179	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 8) = ;16
26		1p1e2 9253	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
27		6p4e10 9675	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 4) = ;10
28	22, 16, 18, 25, 26, 19, 27	decaddci 9664	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
29		5cn 9216	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
30		8t5e40 9721	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 5) = ;40
31	23, 29, 30	mulcomli 8179	. . . . . 6 ⊢ (5 · 8) = ;40
32	5, 13, 14, 21, 19, 18, 28, 31	decmul1c 9668	. . . . 5 ⊢ (;25 · 8) = ;;200
33		4cn 9214	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addlidi 8315	. . . . 5 ⊢ (0 + 4) = 4
35	20, 19, 18, 32, 34	decaddi 9663	. . . 4 ⊢ ((;25 · 8) + 4) = ;;204
36		6cn 9218	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
37		8t6e48 9722	. . . . 5 ⊢ (8 · 6) = ;48
38	23, 36, 37	mulcomli 8179	. . . 4 ⊢ (6 · 8) = ;48
39	5, 15, 16, 17, 5, 18, 35, 38	decmul1c 9668	. . 3 ⊢ (;;256 · 8) = ;;;2048
40	12, 39	eqtri 2250	. 2 ⊢ ((2↑8) · (2↑3)) = ;;;2048
41	9, 40	eqtri 2250	1 ⊢ (2↑;11) = ;;;2048

Syntax hints:   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6013  ℂcc 8023  0cc0 8025  1c1 8026   + caddc 8028   · cmul 8030  2c2 9187  3c3 9188  4c4 9189  5c5 9190  6c6 9191  8c8 9193  ℕ₀cn0 9395  ;cdc 9604  ↑cexp 10793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-7 9200  df-8 9201  df-9 9202  df-n0 9396  df-z 9473  df-dec 9605  df-uz 9749  df-seqfrec 10703  df-exp 10794

This theorem is referenced by: (None)