Theorem isprm5lem 12309

Description: Lemma for isprm5 12310. The interesting direction (showing that one only needs to check prime divisors up to the square root of 𝑃). (Contributed by Jim Kingdon, 20-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
isprm5lem.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
isprm5lem.z	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
isprm5lem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (2...(𝑃 − 1)))

Assertion

Ref	Expression
isprm5lem	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∥ 𝑃)

Distinct variable groups:   𝑧,𝑃   𝑧,𝑋

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑧)

Proof of Theorem isprm5lem

Dummy variables 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm5lem.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (2...(𝑃 − 1)))
2		elfzuz 10096	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
3		exprmfct 12306	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑦 ∈ ℙ 𝑦 ∥ 𝑋)
4	1, 2, 3	3syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℙ 𝑦 ∥ 𝑋)
5		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝑃) → (𝑦↑2) ≤ 𝑃)
6		oveq1 5929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧↑2) = (𝑦↑2))
7	6	breq1d 4043	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 ↔ (𝑦↑2) ≤ 𝑃))
8		breq1 4036	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 ∥ 𝑃 ↔ 𝑦 ∥ 𝑃))
9	8	notbid 668	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (¬ 𝑧 ∥ 𝑃 ↔ ¬ 𝑦 ∥ 𝑃))
10	7, 9	imbi12d 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃) ↔ ((𝑦↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑦 ∥ 𝑃)))
11		isprm5lem.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
12	11	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝑃) → ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
13		simplrl 535	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝑃) → 𝑦 ∈ ℙ)
14	10, 12, 13	rspcdva 2873	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝑃) → ((𝑦↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑦 ∥ 𝑃))
15	5, 14	mpd 13	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝑃) → ¬ 𝑦 ∥ 𝑃)
16		prmz 12279	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℙ → 𝑦 ∈ ℤ)
17	16	ad2antrl 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) → 𝑦 ∈ ℤ)
18	17	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝑃) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) → 𝑦 ∈ ℤ)
19		elfzelz 10100	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → 𝑋 ∈ ℤ)
20	1, 19	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
21	20	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) → 𝑋 ∈ ℤ)
22	21	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝑃) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) → 𝑋 ∈ ℤ)
23		isprm5lem.p	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
24		eluzelz 9610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℤ)
25	23, 24	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
26	25	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
27	26	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝑃) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
28		simplrr 536	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) → 𝑦 ∥ 𝑋)
29	28	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝑃) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) → 𝑦 ∥ 𝑋)
30		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝑃) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) → 𝑋 ∥ 𝑃)
31	18, 22, 27, 29, 30	dvdstrd 11995	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝑃) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) → 𝑦 ∥ 𝑃)
32	15, 31	mtand 666	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝑃) → ¬ 𝑋 ∥ 𝑃)
33	17	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) → 𝑦 ∈ ℤ)
34	21	adantlr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) → 𝑋 ∈ ℤ)
35	25	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) → 𝑃 ∈ ℤ)
36	35	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
37	28	adantlr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) → 𝑦 ∥ 𝑋)
38		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) → 𝑋 ∥ 𝑃)
39	33, 34, 36, 37, 38	dvdstrd 11995	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) → 𝑦 ∥ 𝑃)
40	17	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑦 ∈ ℤ)
41		prmnn 12278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℙ → 𝑦 ∈ ℕ)
42	41	nnne0d 9035	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℙ → 𝑦 ≠ 0)
43	42	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) → 𝑦 ≠ 0)
44	43	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑦 ≠ 0)
45	25	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑃 ∈ ℤ)
46		dvdsval2 11955	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0 ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑦 ∥ 𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑦) ∈ ℤ))
47	40, 44, 45, 46	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → (𝑦 ∥ 𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑦) ∈ ℤ))
48	47	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) → (𝑦 ∥ 𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑦) ∈ ℤ))
49	39, 48	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) → (𝑃 / 𝑦) ∈ ℤ)
50	40	zred 9448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑦 ∈ ℝ)
51	50	recnd 8055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑦 ∈ ℂ)
52	51	mulid2d 8045	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → (1 · 𝑦) = 𝑦)
53		2nn 9152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℕ
54		fzssnn 10143	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2...(𝑃 − 1)) ⊆ ℕ)
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2...(𝑃 − 1)) ⊆ ℕ
56	55, 1	sselid 3181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
57	56	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑋 ∈ ℕ)
58	57	nnred 9003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑋 ∈ ℝ)
59	25	zred 9448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
60	59	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑃 ∈ ℝ)
61		simplrr 536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑦 ∥ 𝑋)
62		dvdsle 12009	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑦 ∥ 𝑋 → 𝑦 ≤ 𝑋))
63	40, 57, 62	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → (𝑦 ∥ 𝑋 → 𝑦 ≤ 𝑋))
64	61, 63	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑦 ≤ 𝑋)
65		elfzle2 10103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → 𝑋 ≤ (𝑃 − 1))
66	1, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ (𝑃 − 1))
67		zltlem1 9383	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝑃 ↔ 𝑋 ≤ (𝑃 − 1)))
68	20, 25, 67	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑃 ↔ 𝑋 ≤ (𝑃 − 1)))
69	66, 68	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑃)
70	69	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑋 < 𝑃)
71	50, 58, 60, 64, 70	lelttrd 8151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑦 < 𝑃)
72	52, 71	eqbrtrd 4055	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → (1 · 𝑦) < 𝑃)
73		1red 8041	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 1 ∈ ℝ)
74	41	nnrpd 9769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℙ → 𝑦 ∈ ℝ+)
75	74	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
76	75	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
77	73, 60, 76	ltmuldivd 9819	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → ((1 · 𝑦) < 𝑃 ↔ 1 < (𝑃 / 𝑦)))
78	72, 77	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 1 < (𝑃 / 𝑦))
79	78	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) → 1 < (𝑃 / 𝑦))
80		eluz2b1 9675	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 / 𝑦) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((𝑃 / 𝑦) ∈ ℤ ∧ 1 < (𝑃 / 𝑦)))
81	49, 79, 80	sylanbrc 417	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) → (𝑃 / 𝑦) ∈ (ℤ≥‘2))
82		exprmfct 12306	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 / 𝑦) ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑤 ∈ ℙ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))
83	81, 82	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) → ∃𝑤 ∈ ℙ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))
84		prmz 12279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ ℙ → 𝑤 ∈ ℤ)
85	84	ad2antrl 490	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 𝑤 ∈ ℤ)
86	49	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → (𝑃 / 𝑦) ∈ ℤ)
87	45	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 𝑃 ∈ ℤ)
88		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))
89	39	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 𝑦 ∥ 𝑃)
90	44	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 𝑦 ≠ 0)
91		divconjdvds 12014	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∥ 𝑃 ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑃 / 𝑦) ∥ 𝑃)
92	89, 90, 91	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → (𝑃 / 𝑦) ∥ 𝑃)
93	85, 86, 87, 88, 92	dvdstrd 11995	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 𝑤 ∥ 𝑃)
94	85	zred 9448	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 𝑤 ∈ ℝ)
95	94	resqcld 10791	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → (𝑤↑2) ∈ ℝ)
96	60	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 𝑃 ∈ ℝ)
97	81	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → (𝑃 / 𝑦) ∈ (ℤ≥‘2))
98		eluz2nn 9640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 / 𝑦) ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 / 𝑦) ∈ ℕ)
99	97, 98	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → (𝑃 / 𝑦) ∈ ℕ)
100	99	nnred 9003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → (𝑃 / 𝑦) ∈ ℝ)
101	100	resqcld 10791	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → ((𝑃 / 𝑦)↑2) ∈ ℝ)
102		dvdsle 12009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ ℤ ∧ (𝑃 / 𝑦) ∈ ℕ) → (𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦) → 𝑤 ≤ (𝑃 / 𝑦)))
103	85, 99, 102	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → (𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦) → 𝑤 ≤ (𝑃 / 𝑦)))
104	88, 103	mpd 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 𝑤 ≤ (𝑃 / 𝑦))
105		prmnn 12278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ℙ → 𝑤 ∈ ℕ)
106	105	nnnn0d 9302	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ ℙ → 𝑤 ∈ ℕ0)
107	106	nn0ge0d 9305	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℙ → 0 ≤ 𝑤)
108	107	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 0 ≤ 𝑤)
109		0red 8027	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 0 ∈ ℝ)
110		1red 8041	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 1 ∈ ℝ)
111		0le1 8508	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ 1
112	111	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 0 ≤ 1)
113	99	nnge1d 9033	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 1 ≤ (𝑃 / 𝑦))
114	109, 110, 100, 112, 113	letrd 8150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 0 ≤ (𝑃 / 𝑦))
115	94, 100, 108, 114	le2sqd 10797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → (𝑤 ≤ (𝑃 / 𝑦) ↔ (𝑤↑2) ≤ ((𝑃 / 𝑦)↑2)))
116	104, 115	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → (𝑤↑2) ≤ ((𝑃 / 𝑦)↑2))
117	60	recnd 8055	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑃 ∈ ℂ)
118	41	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) → 𝑦 ∈ ℕ)
119	118	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑦 ∈ ℕ)
120	119	nnap0d 9036	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑦 # 0)
121	117, 51, 120	sqdivapd 10778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → ((𝑃 / 𝑦)↑2) = ((𝑃↑2) / (𝑦↑2)))
122	117	sqvald 10762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → (𝑃↑2) = (𝑃 · 𝑃))
123	50	resqcld 10791	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → (𝑦↑2) ∈ ℝ)
124		eluz2nn 9640	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
125	23, 124	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
126	125	nnrpd 9769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ+)
127	126	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑃 ∈ ℝ+)
128		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑃 < (𝑦↑2))
129	60, 123, 127, 128	ltmul2dd 9828	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → (𝑃 · 𝑃) < (𝑃 · (𝑦↑2)))
130	122, 129	eqbrtrd 4055	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → (𝑃↑2) < (𝑃 · (𝑦↑2)))
131	60	resqcld 10791	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → (𝑃↑2) ∈ ℝ)
132	119	nnsqcld 10786	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → (𝑦↑2) ∈ ℕ)
133	132	nnrpd 9769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → (𝑦↑2) ∈ ℝ+)
134	131, 60, 133	ltdivmul2d 9824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → (((𝑃↑2) / (𝑦↑2)) < 𝑃 ↔ (𝑃↑2) < (𝑃 · (𝑦↑2))))
135	130, 134	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → ((𝑃↑2) / (𝑦↑2)) < 𝑃)
136	121, 135	eqbrtrd 4055	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → ((𝑃 / 𝑦)↑2) < 𝑃)
137	136	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → ((𝑃 / 𝑦)↑2) < 𝑃)
138	95, 101, 96, 116, 137	lelttrd 8151	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → (𝑤↑2) < 𝑃)
139	95, 96, 138	ltled 8145	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → (𝑤↑2) ≤ 𝑃)
140		oveq1 5929	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧↑2) = (𝑤↑2))
141	140	breq1d 4043	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 ↔ (𝑤↑2) ≤ 𝑃))
142		breq1 4036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝑃 ↔ 𝑤 ∥ 𝑃))
143	142	notbid 668	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (¬ 𝑧 ∥ 𝑃 ↔ ¬ 𝑤 ∥ 𝑃))
144	141, 143	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃) ↔ ((𝑤↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑤 ∥ 𝑃)))
145	11	ad4antr 494	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
146		simprl 529	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 𝑤 ∈ ℙ)
147	144, 145, 146	rspcdva 2873	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → ((𝑤↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑤 ∥ 𝑃))
148	139, 147	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → ¬ 𝑤 ∥ 𝑃)
149	93, 148	pm2.21fal 1384	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → ⊥)
150	83, 149	rexlimddv 2619	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) → ⊥)
151	150	inegd 1383	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → ¬ 𝑋 ∥ 𝑃)
152		zsqcl 10702	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦↑2) ∈ ℤ)
153	17, 152	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) → (𝑦↑2) ∈ ℤ)
154		zlelttric 9371	. . . 4 ⊢ (((𝑦↑2) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑦↑2) ≤ 𝑃 ∨ 𝑃 < (𝑦↑2)))
155	153, 35, 154	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) → ((𝑦↑2) ≤ 𝑃 ∨ 𝑃 < (𝑦↑2)))
156	32, 151, 155	mpjaodan 799	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) → ¬ 𝑋 ∥ 𝑃)
157	4, 156	rexlimddv 2619	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∥ 𝑃)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  ⊥wfal 1369   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  ∀wral 2475  ∃wrex 2476   ⊆ wss 3157   class class class wbr 4033  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  ℝcr 7878  0cc0 7879  1c1 7880   · cmul 7884   < clt 8061   ≤ cle 8062   − cmin 8197   / cdiv 8699  ℕcn 8990  2c2 9041  ℤcz 9326  ℤ_≥cuz 9601  ℝ⁺crp 9728  ...cfz 10083  ↑cexp 10630   ∥ cdvds 11952  ℙcprime 12275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-1o 6474  df-2o 6475  df-er 6592  df-en 6800  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-fl 10360  df-mod 10415  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-dvds 11953  df-prm 12276

This theorem is referenced by:  isprm5  12310