ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isprm5lem GIF version

Theorem isprm5lem 12141
Description: Lemma for isprm5 12142. The interesting direction (showing that one only needs to check prime divisors up to the square root of ๐‘ƒ). (Contributed by Jim Kingdon, 20-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
isprm5lem.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
isprm5lem.z (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„™ ((๐‘งโ†‘2) โ‰ค ๐‘ƒ โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ))
isprm5lem.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
Assertion
Ref Expression
isprm5lem (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ)
Distinct variable groups:   ๐‘ง,๐‘ƒ   ๐‘ง,๐‘‹
Allowed substitution hint:   ๐œ‘(๐‘ง)

Proof of Theorem isprm5lem
Dummy variables ๐‘ค ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isprm5lem.x . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
2 elfzuz 10021 . . 3 (๐‘‹ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
3 exprmfct 12138 . . 3 (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„™ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)
41, 2, 33syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„™ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)
5 simpr 110 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง (๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐‘ƒ)
6 oveq1 5882 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘งโ†‘2) = (๐‘ฆโ†‘2))
76breq1d 4014 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘งโ†‘2) โ‰ค ๐‘ƒ โ†” (๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐‘ƒ))
8 breq1 4007 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โ†” ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘ƒ))
98notbid 667 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ (ยฌ ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โ†” ยฌ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘ƒ))
107, 9imbi12d 234 . . . . . 6 (๐‘ง = ๐‘ฆ โ†’ (((๐‘งโ†‘2) โ‰ค ๐‘ƒ โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ) โ†” ((๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐‘ƒ โ†’ ยฌ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘ƒ)))
11 isprm5lem.z . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„™ ((๐‘งโ†‘2) โ‰ค ๐‘ƒ โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ))
1211ad2antrr 488 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง (๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„™ ((๐‘งโ†‘2) โ‰ค ๐‘ƒ โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ))
13 simplrl 535 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง (๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„™)
1410, 12, 13rspcdva 2847 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง (๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐‘ƒ โ†’ ยฌ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘ƒ))
155, 14mpd 13 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง (๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ยฌ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘ƒ)
16 prmz 12111 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
1716ad2antrl 490 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
1817ad2antrr 488 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง (๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐‘ƒ) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
19 elfzelz 10025 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„ค)
201, 19syl 14 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„ค)
2120ad2antrr 488 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„ค)
2221adantlr 477 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง (๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐‘ƒ) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„ค)
23 isprm5lem.p . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
24 eluzelz 9537 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
2523, 24syl 14 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
2625ad2antrr 488 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
2726adantlr 477 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง (๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐‘ƒ) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
28 simplrr 536 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)
2928adantlr 477 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง (๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐‘ƒ) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)
30 simpr 110 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง (๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐‘ƒ) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ)
3118, 22, 27, 29, 30dvdstrd 11837 . . . 4 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง (๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐‘ƒ) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘ƒ)
3215, 31mtand 665 . . 3 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง (๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ ยฌ ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ)
3317ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
3421adantlr 477 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„ค)
3525adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
3635ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
3728adantlr 477 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)
38 simpr 110 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ)
3933, 34, 36, 37, 38dvdstrd 11837 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘ƒ)
4017adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
41 prmnn 12110 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
4241nnne0d 8964 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0)
4342ad2antrl 490 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0)
4443adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0)
4525ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
46 dvdsval2 11797 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฆ โˆฅ ๐‘ƒ โ†” (๐‘ƒ / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค))
4740, 44, 45, 46syl3anc 1238 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ (๐‘ฆ โˆฅ ๐‘ƒ โ†” (๐‘ƒ / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค))
4847adantr 276 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘ฆ โˆฅ ๐‘ƒ โ†” (๐‘ƒ / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค))
4939, 48mpbid 147 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
5040zred 9375 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
5150recnd 7986 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
5251mulid2d 7976 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ (1 ยท ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ)
53 2nn 9080 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 โˆˆ โ„•
54 fzssnn 10068 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 โˆˆ โ„• โ†’ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โŠ† โ„•)
5553, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โŠ† โ„•
5655, 1sselid 3154 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„•)
5756ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„•)
5857nnred 8932 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
5925zred 9375 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
6059ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
61 simplrr 536 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)
62 dvdsle 11850 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹ โ†’ ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘‹))
6340, 57, 62syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ (๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹ โ†’ ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘‹))
6461, 63mpd 13 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘‹)
65 elfzle2 10028 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‹ โˆˆ (2...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘‹ โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1))
661, 65syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1))
67 zltlem1 9310 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘‹ < ๐‘ƒ โ†” ๐‘‹ โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
6820, 25, 67syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ < ๐‘ƒ โ†” ๐‘‹ โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
6966, 68mpbird 167 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ < ๐‘ƒ)
7069ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ ๐‘‹ < ๐‘ƒ)
7150, 58, 60, 64, 70lelttrd 8082 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ ๐‘ฆ < ๐‘ƒ)
7252, 71eqbrtrd 4026 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ (1 ยท ๐‘ฆ) < ๐‘ƒ)
73 1red 7972 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
7441nnrpd 9694 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„+)
7574ad2antrl 490 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„+)
7675adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„+)
7773, 60, 76ltmuldivd 9744 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ ((1 ยท ๐‘ฆ) < ๐‘ƒ โ†” 1 < (๐‘ƒ / ๐‘ฆ)))
7872, 77mpbid 147 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ 1 < (๐‘ƒ / ๐‘ฆ))
7978adantr 276 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ 1 < (๐‘ƒ / ๐‘ฆ))
80 eluz2b1 9601 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ / ๐‘ฆ) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” ((๐‘ƒ / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง 1 < (๐‘ƒ / ๐‘ฆ)))
8149, 79, 80sylanbrc 417 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
82 exprmfct 12138 . . . . . 6 ((๐‘ƒ / ๐‘ฆ) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„™ ๐‘ค โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ))
8381, 82syl 14 . . . . 5 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„™ ๐‘ค โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ))
84 prmz 12111 . . . . . . . 8 (๐‘ค โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„ค)
8584ad2antrl 490 . . . . . . 7 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„ค)
8649adantr 276 . . . . . . 7 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
8745ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
88 simprr 531 . . . . . . 7 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ค โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ))
8939adantr 276 . . . . . . . 8 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘ƒ)
9044ad2antrr 488 . . . . . . . 8 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0)
91 divconjdvds 11855 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ๐‘ฆ โ‰  0) โ†’ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ) โˆฅ ๐‘ƒ)
9289, 90, 91syl2anc 411 . . . . . . 7 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ) โˆฅ ๐‘ƒ)
9385, 86, 87, 88, 92dvdstrd 11837 . . . . . 6 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ค โˆฅ ๐‘ƒ)
9485zred 9375 . . . . . . . . 9 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„)
9594resqcld 10680 . . . . . . . 8 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘คโ†‘2) โˆˆ โ„)
9660ad2antrr 488 . . . . . . . 8 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
9781adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
98 eluz2nn 9566 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ / ๐‘ฆ) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„•)
9997, 98syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„•)
10099nnred 8932 . . . . . . . . . 10 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
101100resqcld 10680 . . . . . . . . 9 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘ƒ / ๐‘ฆ)โ†‘2) โˆˆ โ„)
102 dvdsle 11850 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ƒ / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ค โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ค โ‰ค (๐‘ƒ / ๐‘ฆ)))
10385, 99, 102syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ค โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ค โ‰ค (๐‘ƒ / ๐‘ฆ)))
10488, 103mpd 13 . . . . . . . . . 10 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ค โ‰ค (๐‘ƒ / ๐‘ฆ))
105 prmnn 12110 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ค โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„•)
106105nnnn0d 9229 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ค โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„•0)
107106nn0ge0d 9232 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ค โˆˆ โ„™ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ค)
108107ad2antrl 490 . . . . . . . . . . 11 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ))) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ค)
109 0red 7958 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ))) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
110 1red 7972 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ))) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
111 0le1 8438 . . . . . . . . . . . . 13 0 โ‰ค 1
112111a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ))) โ†’ 0 โ‰ค 1)
11399nnge1d 8962 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ))) โ†’ 1 โ‰ค (๐‘ƒ / ๐‘ฆ))
114109, 110, 100, 112, 113letrd 8081 . . . . . . . . . . 11 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ))) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ƒ / ๐‘ฆ))
11594, 100, 108, 114le2sqd 10686 . . . . . . . . . 10 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ค โ‰ค (๐‘ƒ / ๐‘ฆ) โ†” (๐‘คโ†‘2) โ‰ค ((๐‘ƒ / ๐‘ฆ)โ†‘2)))
116104, 115mpbid 147 . . . . . . . . 9 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘คโ†‘2) โ‰ค ((๐‘ƒ / ๐‘ฆ)โ†‘2))
11760recnd 7986 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
11841ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
119118adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
120119nnap0d 8965 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ ๐‘ฆ # 0)
121117, 51, 120sqdivapd 10667 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ ((๐‘ƒ / ๐‘ฆ)โ†‘2) = ((๐‘ƒโ†‘2) / (๐‘ฆโ†‘2)))
122117sqvald 10651 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) = (๐‘ƒ ยท ๐‘ƒ))
12350resqcld 10680 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ (๐‘ฆโ†‘2) โˆˆ โ„)
124 eluz2nn 9566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
12523, 124syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
126125nnrpd 9694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
127126ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
128 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2))
12960, 123, 127, 128ltmul2dd 9753 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘ƒ) < (๐‘ƒ ยท (๐‘ฆโ†‘2)))
130122, 129eqbrtrd 4026 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) < (๐‘ƒ ยท (๐‘ฆโ†‘2)))
13160resqcld 10680 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ (๐‘ƒโ†‘2) โˆˆ โ„)
132119nnsqcld 10675 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ (๐‘ฆโ†‘2) โˆˆ โ„•)
133132nnrpd 9694 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ (๐‘ฆโ†‘2) โˆˆ โ„+)
134131, 60, 133ltdivmul2d 9749 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ (((๐‘ƒโ†‘2) / (๐‘ฆโ†‘2)) < ๐‘ƒ โ†” (๐‘ƒโ†‘2) < (๐‘ƒ ยท (๐‘ฆโ†‘2))))
135130, 134mpbird 167 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘2) / (๐‘ฆโ†‘2)) < ๐‘ƒ)
136121, 135eqbrtrd 4026 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ ((๐‘ƒ / ๐‘ฆ)โ†‘2) < ๐‘ƒ)
137136ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘ƒ / ๐‘ฆ)โ†‘2) < ๐‘ƒ)
13895, 101, 96, 116, 137lelttrd 8082 . . . . . . . 8 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘คโ†‘2) < ๐‘ƒ)
13995, 96, 138ltled 8076 . . . . . . 7 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘คโ†‘2) โ‰ค ๐‘ƒ)
140 oveq1 5882 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ (๐‘งโ†‘2) = (๐‘คโ†‘2))
141140breq1d 4014 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ ((๐‘งโ†‘2) โ‰ค ๐‘ƒ โ†” (๐‘คโ†‘2) โ‰ค ๐‘ƒ))
142 breq1 4007 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โ†” ๐‘ค โˆฅ ๐‘ƒ))
143142notbid 667 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ (ยฌ ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โ†” ยฌ ๐‘ค โˆฅ ๐‘ƒ))
144141, 143imbi12d 234 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ (((๐‘งโ†‘2) โ‰ค ๐‘ƒ โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ) โ†” ((๐‘คโ†‘2) โ‰ค ๐‘ƒ โ†’ ยฌ ๐‘ค โˆฅ ๐‘ƒ)))
14511ad4antr 494 . . . . . . . 8 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ))) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„™ ((๐‘งโ†‘2) โ‰ค ๐‘ƒ โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ))
146 simprl 529 . . . . . . . 8 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„™)
147144, 145, 146rspcdva 2847 . . . . . . 7 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ))) โ†’ ((๐‘คโ†‘2) โ‰ค ๐‘ƒ โ†’ ยฌ ๐‘ค โˆฅ ๐‘ƒ))
148139, 147mpd 13 . . . . . 6 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ))) โ†’ ยฌ ๐‘ค โˆฅ ๐‘ƒ)
14993, 148pm2.21fal 1373 . . . . 5 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ค โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ฆ))) โ†’ โŠฅ)
15083, 149rexlimddv 2599 . . . 4 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ โŠฅ)
151150inegd 1372 . . 3 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โˆง ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ ยฌ ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ)
152 zsqcl 10591 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ฆโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
15317, 152syl 14 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โ†’ (๐‘ฆโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
154 zlelttric 9298 . . . 4 (((๐‘ฆโ†‘2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐‘ƒ โˆจ ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)))
155153, 35, 154syl2anc 411 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โ†’ ((๐‘ฆโ†‘2) โ‰ค ๐‘ƒ โˆจ ๐‘ƒ < (๐‘ฆโ†‘2)))
15632, 151, 155mpjaodan 798 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘‹)) โ†’ ยฌ ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ)
1574, 156rexlimddv 2599 1 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘‹ โˆฅ ๐‘ƒ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 708  โŠฅwfal 1358   โˆˆ wcel 2148   โ‰  wne 2347  โˆ€wral 2455  โˆƒwrex 2456   โŠ† wss 3130   class class class wbr 4004  โ€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  โ„cr 7810  0cc0 7811  1c1 7812   ยท cmul 7816   < clt 7992   โ‰ค cle 7993   โˆ’ cmin 8128   / cdiv 8629  โ„•cn 8919  2c2 8970  โ„คcz 9253  โ„คโ‰ฅcuz 9528  โ„+crp 9653  ...cfz 10008  โ†‘cexp 10519   โˆฅ cdvds 11794  โ„™cprime 12107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-1o 6417  df-2o 6418  df-er 6535  df-en 6741  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-fl 10270  df-mod 10323  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-dvds 11795  df-prm 12108
This theorem is referenced by:  isprm5  12142
  Copyright terms: Public domain W3C validator