Theorem isprm5lem 12736

Description: Lemma for isprm5 12737. The interesting direction (showing that one only needs to check prime divisors up to the square root of 𝑃). (Contributed by Jim Kingdon, 20-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
isprm5lem.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
isprm5lem.z	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
isprm5lem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (2...(𝑃 − 1)))

Assertion

Ref	Expression
isprm5lem	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∥ 𝑃)

Distinct variable groups:   𝑧,𝑃   𝑧,𝑋

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑧)

Proof of Theorem isprm5lem

Dummy variables 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm5lem.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (2...(𝑃 − 1)))
2		elfzuz 10261	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
3		exprmfct 12733	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑦 ∈ ℙ 𝑦 ∥ 𝑋)
4	1, 2, 3	3syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℙ 𝑦 ∥ 𝑋)
5		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝑃) → (𝑦↑2) ≤ 𝑃)
6		oveq1 6030	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧↑2) = (𝑦↑2))
7	6	breq1d 4099	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 ↔ (𝑦↑2) ≤ 𝑃))
8		breq1 4092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 ∥ 𝑃 ↔ 𝑦 ∥ 𝑃))
9	8	notbid 673	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (¬ 𝑧 ∥ 𝑃 ↔ ¬ 𝑦 ∥ 𝑃))
10	7, 9	imbi12d 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃) ↔ ((𝑦↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑦 ∥ 𝑃)))
11		isprm5lem.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
12	11	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝑃) → ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
13		simplrl 537	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝑃) → 𝑦 ∈ ℙ)
14	10, 12, 13	rspcdva 2914	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝑃) → ((𝑦↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑦 ∥ 𝑃))
15	5, 14	mpd 13	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝑃) → ¬ 𝑦 ∥ 𝑃)
16		prmz 12706	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℙ → 𝑦 ∈ ℤ)
17	16	ad2antrl 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) → 𝑦 ∈ ℤ)
18	17	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝑃) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) → 𝑦 ∈ ℤ)
19		elfzelz 10265	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → 𝑋 ∈ ℤ)
20	1, 19	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
21	20	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) → 𝑋 ∈ ℤ)
22	21	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝑃) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) → 𝑋 ∈ ℤ)
23		isprm5lem.p	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
24		eluzelz 9770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℤ)
25	23, 24	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
26	25	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
27	26	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝑃) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
28		simplrr 538	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) → 𝑦 ∥ 𝑋)
29	28	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝑃) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) → 𝑦 ∥ 𝑋)
30		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝑃) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) → 𝑋 ∥ 𝑃)
31	18, 22, 27, 29, 30	dvdstrd 12414	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝑃) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) → 𝑦 ∥ 𝑃)
32	15, 31	mtand 671	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝑃) → ¬ 𝑋 ∥ 𝑃)
33	17	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) → 𝑦 ∈ ℤ)
34	21	adantlr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) → 𝑋 ∈ ℤ)
35	25	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) → 𝑃 ∈ ℤ)
36	35	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
37	28	adantlr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) → 𝑦 ∥ 𝑋)
38		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) → 𝑋 ∥ 𝑃)
39	33, 34, 36, 37, 38	dvdstrd 12414	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) → 𝑦 ∥ 𝑃)
40	17	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑦 ∈ ℤ)
41		prmnn 12705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℙ → 𝑦 ∈ ℕ)
42	41	nnne0d 9193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℙ → 𝑦 ≠ 0)
43	42	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) → 𝑦 ≠ 0)
44	43	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑦 ≠ 0)
45	25	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑃 ∈ ℤ)
46		dvdsval2 12374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0 ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑦 ∥ 𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑦) ∈ ℤ))
47	40, 44, 45, 46	syl3anc 1273	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → (𝑦 ∥ 𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑦) ∈ ℤ))
48	47	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) → (𝑦 ∥ 𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑦) ∈ ℤ))
49	39, 48	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) → (𝑃 / 𝑦) ∈ ℤ)
50	40	zred 9607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑦 ∈ ℝ)
51	50	recnd 8213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑦 ∈ ℂ)
52	51	mulid2d 8203	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → (1 · 𝑦) = 𝑦)
53		2nn 9310	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℕ
54		fzssnn 10308	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2...(𝑃 − 1)) ⊆ ℕ)
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2...(𝑃 − 1)) ⊆ ℕ
56	55, 1	sselid 3224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
57	56	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑋 ∈ ℕ)
58	57	nnred 9161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑋 ∈ ℝ)
59	25	zred 9607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
60	59	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑃 ∈ ℝ)
61		simplrr 538	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑦 ∥ 𝑋)
62		dvdsle 12428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑦 ∥ 𝑋 → 𝑦 ≤ 𝑋))
63	40, 57, 62	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → (𝑦 ∥ 𝑋 → 𝑦 ≤ 𝑋))
64	61, 63	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑦 ≤ 𝑋)
65		elfzle2 10268	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → 𝑋 ≤ (𝑃 − 1))
66	1, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ (𝑃 − 1))
67		zltlem1 9542	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝑃 ↔ 𝑋 ≤ (𝑃 − 1)))
68	20, 25, 67	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑃 ↔ 𝑋 ≤ (𝑃 − 1)))
69	66, 68	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑃)
70	69	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑋 < 𝑃)
71	50, 58, 60, 64, 70	lelttrd 8309	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑦 < 𝑃)
72	52, 71	eqbrtrd 4111	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → (1 · 𝑦) < 𝑃)
73		1red 8199	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 1 ∈ ℝ)
74	41	nnrpd 9934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℙ → 𝑦 ∈ ℝ+)
75	74	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
76	75	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
77	73, 60, 76	ltmuldivd 9984	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → ((1 · 𝑦) < 𝑃 ↔ 1 < (𝑃 / 𝑦)))
78	72, 77	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 1 < (𝑃 / 𝑦))
79	78	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) → 1 < (𝑃 / 𝑦))
80		eluz2b1 9840	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 / 𝑦) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((𝑃 / 𝑦) ∈ ℤ ∧ 1 < (𝑃 / 𝑦)))
81	49, 79, 80	sylanbrc 417	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) → (𝑃 / 𝑦) ∈ (ℤ≥‘2))
82		exprmfct 12733	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 / 𝑦) ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑤 ∈ ℙ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))
83	81, 82	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) → ∃𝑤 ∈ ℙ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))
84		prmz 12706	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ ℙ → 𝑤 ∈ ℤ)
85	84	ad2antrl 490	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 𝑤 ∈ ℤ)
86	49	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → (𝑃 / 𝑦) ∈ ℤ)
87	45	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 𝑃 ∈ ℤ)
88		simprr 533	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))
89	39	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 𝑦 ∥ 𝑃)
90	44	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 𝑦 ≠ 0)
91		divconjdvds 12433	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∥ 𝑃 ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑃 / 𝑦) ∥ 𝑃)
92	89, 90, 91	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → (𝑃 / 𝑦) ∥ 𝑃)
93	85, 86, 87, 88, 92	dvdstrd 12414	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 𝑤 ∥ 𝑃)
94	85	zred 9607	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 𝑤 ∈ ℝ)
95	94	resqcld 10967	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → (𝑤↑2) ∈ ℝ)
96	60	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 𝑃 ∈ ℝ)
97	81	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → (𝑃 / 𝑦) ∈ (ℤ≥‘2))
98		eluz2nn 9805	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 / 𝑦) ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 / 𝑦) ∈ ℕ)
99	97, 98	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → (𝑃 / 𝑦) ∈ ℕ)
100	99	nnred 9161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → (𝑃 / 𝑦) ∈ ℝ)
101	100	resqcld 10967	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → ((𝑃 / 𝑦)↑2) ∈ ℝ)
102		dvdsle 12428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ ℤ ∧ (𝑃 / 𝑦) ∈ ℕ) → (𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦) → 𝑤 ≤ (𝑃 / 𝑦)))
103	85, 99, 102	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → (𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦) → 𝑤 ≤ (𝑃 / 𝑦)))
104	88, 103	mpd 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 𝑤 ≤ (𝑃 / 𝑦))
105		prmnn 12705	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ ℙ → 𝑤 ∈ ℕ)
106	105	nnnn0d 9460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ ℙ → 𝑤 ∈ ℕ0)
107	106	nn0ge0d 9463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℙ → 0 ≤ 𝑤)
108	107	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 0 ≤ 𝑤)
109		0red 8185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 0 ∈ ℝ)
110		1red 8199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 1 ∈ ℝ)
111		0le1 8666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ 1
112	111	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 0 ≤ 1)
113	99	nnge1d 9191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 1 ≤ (𝑃 / 𝑦))
114	109, 110, 100, 112, 113	letrd 8308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 0 ≤ (𝑃 / 𝑦))
115	94, 100, 108, 114	le2sqd 10973	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → (𝑤 ≤ (𝑃 / 𝑦) ↔ (𝑤↑2) ≤ ((𝑃 / 𝑦)↑2)))
116	104, 115	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → (𝑤↑2) ≤ ((𝑃 / 𝑦)↑2))
117	60	recnd 8213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑃 ∈ ℂ)
118	41	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) → 𝑦 ∈ ℕ)
119	118	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑦 ∈ ℕ)
120	119	nnap0d 9194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑦 # 0)
121	117, 51, 120	sqdivapd 10954	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → ((𝑃 / 𝑦)↑2) = ((𝑃↑2) / (𝑦↑2)))
122	117	sqvald 10938	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → (𝑃↑2) = (𝑃 · 𝑃))
123	50	resqcld 10967	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → (𝑦↑2) ∈ ℝ)
124		eluz2nn 9805	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
125	23, 124	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
126	125	nnrpd 9934	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ+)
127	126	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑃 ∈ ℝ+)
128		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑃 < (𝑦↑2))
129	60, 123, 127, 128	ltmul2dd 9993	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → (𝑃 · 𝑃) < (𝑃 · (𝑦↑2)))
130	122, 129	eqbrtrd 4111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → (𝑃↑2) < (𝑃 · (𝑦↑2)))
131	60	resqcld 10967	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → (𝑃↑2) ∈ ℝ)
132	119	nnsqcld 10962	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → (𝑦↑2) ∈ ℕ)
133	132	nnrpd 9934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → (𝑦↑2) ∈ ℝ+)
134	131, 60, 133	ltdivmul2d 9989	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → (((𝑃↑2) / (𝑦↑2)) < 𝑃 ↔ (𝑃↑2) < (𝑃 · (𝑦↑2))))
135	130, 134	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → ((𝑃↑2) / (𝑦↑2)) < 𝑃)
136	121, 135	eqbrtrd 4111	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → ((𝑃 / 𝑦)↑2) < 𝑃)
137	136	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → ((𝑃 / 𝑦)↑2) < 𝑃)
138	95, 101, 96, 116, 137	lelttrd 8309	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → (𝑤↑2) < 𝑃)
139	95, 96, 138	ltled 8303	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → (𝑤↑2) ≤ 𝑃)
140		oveq1 6030	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧↑2) = (𝑤↑2))
141	140	breq1d 4099	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 ↔ (𝑤↑2) ≤ 𝑃))
142		breq1 4092	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 ∥ 𝑃 ↔ 𝑤 ∥ 𝑃))
143	142	notbid 673	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (¬ 𝑧 ∥ 𝑃 ↔ ¬ 𝑤 ∥ 𝑃))
144	141, 143	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃) ↔ ((𝑤↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑤 ∥ 𝑃)))
145	11	ad4antr 494	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
146		simprl 531	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 𝑤 ∈ ℙ)
147	144, 145, 146	rspcdva 2914	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → ((𝑤↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑤 ∥ 𝑃))
148	139, 147	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → ¬ 𝑤 ∥ 𝑃)
149	93, 148	pm2.21fal 1417	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → ⊥)
150	83, 149	rexlimddv 2654	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋 ∥ 𝑃) → ⊥)
151	150	inegd 1416	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → ¬ 𝑋 ∥ 𝑃)
152		zsqcl 10878	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦↑2) ∈ ℤ)
153	17, 152	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) → (𝑦↑2) ∈ ℤ)
154		zlelttric 9529	. . . 4 ⊢ (((𝑦↑2) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑦↑2) ≤ 𝑃 ∨ 𝑃 < (𝑦↑2)))
155	153, 35, 154	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) → ((𝑦↑2) ≤ 𝑃 ∨ 𝑃 < (𝑦↑2)))
156	32, 151, 155	mpjaodan 805	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∥ 𝑋)) → ¬ 𝑋 ∥ 𝑃)
157	4, 156	rexlimddv 2654	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∥ 𝑃)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715  ⊥wfal 1402   ∈ wcel 2201   ≠ wne 2401  ∀wral 2509  ∃wrex 2510   ⊆ wss 3199   class class class wbr 4089  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023  ℝcr 8036  0cc0 8037  1c1 8038   · cmul 8042   < clt 8219   ≤ cle 8220   − cmin 8355   / cdiv 8857  ℕcn 9148  2c2 9199  ℤcz 9484  ℤ_≥cuz 9760  ℝ⁺crp 9893  ...cfz 10248  ↑cexp 10806   ∥ cdvds 12371  ℙcprime 12702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155  ax-arch 8156  ax-caucvg 8157

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-frec 6562  df-1o 6587  df-2o 6588  df-er 6707  df-en 6915  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-n0 9408  df-z 9485  df-uz 9761  df-q 9859  df-rp 9894  df-fz 10249  df-fzo 10383  df-fl 10536  df-mod 10591  df-seqfrec 10716  df-exp 10807  df-cj 11425  df-re 11426  df-im 11427  df-rsqrt 11581  df-abs 11582  df-dvds 12372  df-prm 12703

This theorem is referenced by:  isprm5  12737