ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isprm5lem GIF version

Theorem isprm5lem 12124
Description: Lemma for isprm5 12125. The interesting direction (showing that one only needs to check prime divisors up to the square root of 𝑃). (Contributed by Jim Kingdon, 20-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
isprm5lem.p (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘2))
isprm5lem.z (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃))
isprm5lem.x (𝜑𝑋 ∈ (2...(𝑃 − 1)))
Assertion
Ref Expression
isprm5lem (𝜑 → ¬ 𝑋𝑃)
Distinct variable groups:   𝑧,𝑃   𝑧,𝑋
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑧)

Proof of Theorem isprm5lem
Dummy variables 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isprm5lem.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (2...(𝑃 − 1)))
2 elfzuz 10007 . . 3 (𝑋 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → 𝑋 ∈ (ℤ‘2))
3 exprmfct 12121 . . 3 (𝑋 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑦 ∈ ℙ 𝑦𝑋)
41, 2, 33syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℙ 𝑦𝑋)
5 simpr 110 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝑃) → (𝑦↑2) ≤ 𝑃)
6 oveq1 5876 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧↑2) = (𝑦↑2))
76breq1d 4010 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 ↔ (𝑦↑2) ≤ 𝑃))
8 breq1 4003 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧𝑃𝑦𝑃))
98notbid 667 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (¬ 𝑧𝑃 ↔ ¬ 𝑦𝑃))
107, 9imbi12d 234 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 → (((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃) ↔ ((𝑦↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑦𝑃)))
11 isprm5lem.z . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃))
1211ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝑃) → ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃))
13 simplrl 535 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝑃) → 𝑦 ∈ ℙ)
1410, 12, 13rspcdva 2846 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝑃) → ((𝑦↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑦𝑃))
155, 14mpd 13 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝑃) → ¬ 𝑦𝑃)
16 prmz 12094 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℙ → 𝑦 ∈ ℤ)
1716ad2antrl 490 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) → 𝑦 ∈ ℤ)
1817ad2antrr 488 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝑃) ∧ 𝑋𝑃) → 𝑦 ∈ ℤ)
19 elfzelz 10011 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → 𝑋 ∈ ℤ)
201, 19syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℤ)
2120ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑋𝑃) → 𝑋 ∈ ℤ)
2221adantlr 477 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝑃) ∧ 𝑋𝑃) → 𝑋 ∈ ℤ)
23 isprm5lem.p . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘2))
24 eluzelz 9526 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℤ)
2523, 24syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
2625ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑋𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
2726adantlr 477 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝑃) ∧ 𝑋𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
28 simplrr 536 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑋𝑃) → 𝑦𝑋)
2928adantlr 477 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝑃) ∧ 𝑋𝑃) → 𝑦𝑋)
30 simpr 110 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝑃) ∧ 𝑋𝑃) → 𝑋𝑃)
3118, 22, 27, 29, 30dvdstrd 11821 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝑃) ∧ 𝑋𝑃) → 𝑦𝑃)
3215, 31mtand 665 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ (𝑦↑2) ≤ 𝑃) → ¬ 𝑋𝑃)
3317ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) → 𝑦 ∈ ℤ)
3421adantlr 477 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) → 𝑋 ∈ ℤ)
3525adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) → 𝑃 ∈ ℤ)
3635ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
3728adantlr 477 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) → 𝑦𝑋)
38 simpr 110 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) → 𝑋𝑃)
3933, 34, 36, 37, 38dvdstrd 11821 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) → 𝑦𝑃)
4017adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑦 ∈ ℤ)
41 prmnn 12093 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℙ → 𝑦 ∈ ℕ)
4241nnne0d 8953 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℙ → 𝑦 ≠ 0)
4342ad2antrl 490 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) → 𝑦 ≠ 0)
4443adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑦 ≠ 0)
4525ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑃 ∈ ℤ)
46 dvdsval2 11781 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0 ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑦𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑦) ∈ ℤ))
4740, 44, 45, 46syl3anc 1238 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → (𝑦𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑦) ∈ ℤ))
4847adantr 276 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) → (𝑦𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑦) ∈ ℤ))
4939, 48mpbid 147 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) → (𝑃 / 𝑦) ∈ ℤ)
5040zred 9364 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑦 ∈ ℝ)
5150recnd 7976 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑦 ∈ ℂ)
5251mulid2d 7966 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → (1 · 𝑦) = 𝑦)
53 2nn 9069 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℕ
54 fzssnn 10054 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ ℕ → (2...(𝑃 − 1)) ⊆ ℕ)
5553, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (2...(𝑃 − 1)) ⊆ ℕ
5655, 1sselid 3153 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ∈ ℕ)
5756ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑋 ∈ ℕ)
5857nnred 8921 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑋 ∈ ℝ)
5925zred 9364 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
6059ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑃 ∈ ℝ)
61 simplrr 536 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑦𝑋)
62 dvdsle 11833 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑦𝑋𝑦𝑋))
6340, 57, 62syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → (𝑦𝑋𝑦𝑋))
6461, 63mpd 13 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑦𝑋)
65 elfzle2 10014 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → 𝑋 ≤ (𝑃 − 1))
661, 65syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ≤ (𝑃 − 1))
67 zltlem1 9299 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑋 < 𝑃𝑋 ≤ (𝑃 − 1)))
6820, 25, 67syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋 < 𝑃𝑋 ≤ (𝑃 − 1)))
6966, 68mpbird 167 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 < 𝑃)
7069ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑋 < 𝑃)
7150, 58, 60, 64, 70lelttrd 8072 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑦 < 𝑃)
7252, 71eqbrtrd 4022 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → (1 · 𝑦) < 𝑃)
73 1red 7963 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 1 ∈ ℝ)
7441nnrpd 9681 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℙ → 𝑦 ∈ ℝ+)
7574ad2antrl 490 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
7675adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
7773, 60, 76ltmuldivd 9731 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → ((1 · 𝑦) < 𝑃 ↔ 1 < (𝑃 / 𝑦)))
7872, 77mpbid 147 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 1 < (𝑃 / 𝑦))
7978adantr 276 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) → 1 < (𝑃 / 𝑦))
80 eluz2b1 9590 . . . . . . 7 ((𝑃 / 𝑦) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((𝑃 / 𝑦) ∈ ℤ ∧ 1 < (𝑃 / 𝑦)))
8149, 79, 80sylanbrc 417 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) → (𝑃 / 𝑦) ∈ (ℤ‘2))
82 exprmfct 12121 . . . . . 6 ((𝑃 / 𝑦) ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑤 ∈ ℙ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))
8381, 82syl 14 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) → ∃𝑤 ∈ ℙ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))
84 prmz 12094 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ℙ → 𝑤 ∈ ℤ)
8584ad2antrl 490 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 𝑤 ∈ ℤ)
8649adantr 276 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → (𝑃 / 𝑦) ∈ ℤ)
8745ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 𝑃 ∈ ℤ)
88 simprr 531 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))
8939adantr 276 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 𝑦𝑃)
9044ad2antrr 488 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 𝑦 ≠ 0)
91 divconjdvds 11838 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑃𝑦 ≠ 0) → (𝑃 / 𝑦) ∥ 𝑃)
9289, 90, 91syl2anc 411 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → (𝑃 / 𝑦) ∥ 𝑃)
9385, 86, 87, 88, 92dvdstrd 11821 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 𝑤𝑃)
9485zred 9364 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 𝑤 ∈ ℝ)
9594resqcld 10665 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → (𝑤↑2) ∈ ℝ)
9660ad2antrr 488 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 𝑃 ∈ ℝ)
9781adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → (𝑃 / 𝑦) ∈ (ℤ‘2))
98 eluz2nn 9555 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 / 𝑦) ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 / 𝑦) ∈ ℕ)
9997, 98syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → (𝑃 / 𝑦) ∈ ℕ)
10099nnred 8921 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → (𝑃 / 𝑦) ∈ ℝ)
101100resqcld 10665 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → ((𝑃 / 𝑦)↑2) ∈ ℝ)
102 dvdsle 11833 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ ℤ ∧ (𝑃 / 𝑦) ∈ ℕ) → (𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦) → 𝑤 ≤ (𝑃 / 𝑦)))
10385, 99, 102syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → (𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦) → 𝑤 ≤ (𝑃 / 𝑦)))
10488, 103mpd 13 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 𝑤 ≤ (𝑃 / 𝑦))
105 prmnn 12093 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ ℙ → 𝑤 ∈ ℕ)
106105nnnn0d 9218 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ℙ → 𝑤 ∈ ℕ0)
107106nn0ge0d 9221 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ℙ → 0 ≤ 𝑤)
108107ad2antrl 490 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 0 ≤ 𝑤)
109 0red 7949 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 0 ∈ ℝ)
110 1red 7963 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 1 ∈ ℝ)
111 0le1 8428 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ 1
112111a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 0 ≤ 1)
11399nnge1d 8951 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 1 ≤ (𝑃 / 𝑦))
114109, 110, 100, 112, 113letrd 8071 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 0 ≤ (𝑃 / 𝑦))
11594, 100, 108, 114le2sqd 10671 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → (𝑤 ≤ (𝑃 / 𝑦) ↔ (𝑤↑2) ≤ ((𝑃 / 𝑦)↑2)))
116104, 115mpbid 147 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → (𝑤↑2) ≤ ((𝑃 / 𝑦)↑2))
11760recnd 7976 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑃 ∈ ℂ)
11841ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) → 𝑦 ∈ ℕ)
119118adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑦 ∈ ℕ)
120119nnap0d 8954 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑦 # 0)
121117, 51, 120sqdivapd 10652 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → ((𝑃 / 𝑦)↑2) = ((𝑃↑2) / (𝑦↑2)))
122117sqvald 10636 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → (𝑃↑2) = (𝑃 · 𝑃))
12350resqcld 10665 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → (𝑦↑2) ∈ ℝ)
124 eluz2nn 9555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
12523, 124syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
126125nnrpd 9681 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 ∈ ℝ+)
127126ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑃 ∈ ℝ+)
128 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → 𝑃 < (𝑦↑2))
12960, 123, 127, 128ltmul2dd 9740 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → (𝑃 · 𝑃) < (𝑃 · (𝑦↑2)))
130122, 129eqbrtrd 4022 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → (𝑃↑2) < (𝑃 · (𝑦↑2)))
13160resqcld 10665 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → (𝑃↑2) ∈ ℝ)
132119nnsqcld 10660 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → (𝑦↑2) ∈ ℕ)
133132nnrpd 9681 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → (𝑦↑2) ∈ ℝ+)
134131, 60, 133ltdivmul2d 9736 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → (((𝑃↑2) / (𝑦↑2)) < 𝑃 ↔ (𝑃↑2) < (𝑃 · (𝑦↑2))))
135130, 134mpbird 167 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → ((𝑃↑2) / (𝑦↑2)) < 𝑃)
136121, 135eqbrtrd 4022 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → ((𝑃 / 𝑦)↑2) < 𝑃)
137136ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → ((𝑃 / 𝑦)↑2) < 𝑃)
13895, 101, 96, 116, 137lelttrd 8072 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → (𝑤↑2) < 𝑃)
13995, 96, 138ltled 8066 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → (𝑤↑2) ≤ 𝑃)
140 oveq1 5876 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧↑2) = (𝑤↑2))
141140breq1d 4010 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 ↔ (𝑤↑2) ≤ 𝑃))
142 breq1 4003 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝑃𝑤𝑃))
143142notbid 667 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → (¬ 𝑧𝑃 ↔ ¬ 𝑤𝑃))
144141, 143imbi12d 234 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → (((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃) ↔ ((𝑤↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑤𝑃)))
14511ad4antr 494 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃))
146 simprl 529 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → 𝑤 ∈ ℙ)
147144, 145, 146rspcdva 2846 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → ((𝑤↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑤𝑃))
148139, 147mpd 13 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → ¬ 𝑤𝑃)
14993, 148pm2.21fal 1373 . . . . 5 (((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) ∧ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (𝑃 / 𝑦))) → ⊥)
15083, 149rexlimddv 2599 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) ∧ 𝑋𝑃) → ⊥)
151150inegd 1372 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑃 < (𝑦↑2)) → ¬ 𝑋𝑃)
152 zsqcl 10576 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦↑2) ∈ ℤ)
15317, 152syl 14 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) → (𝑦↑2) ∈ ℤ)
154 zlelttric 9287 . . . 4 (((𝑦↑2) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑦↑2) ≤ 𝑃𝑃 < (𝑦↑2)))
155153, 35, 154syl2anc 411 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) → ((𝑦↑2) ≤ 𝑃𝑃 < (𝑦↑2)))
15632, 151, 155mpjaodan 798 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℙ ∧ 𝑦𝑋)) → ¬ 𝑋𝑃)
1574, 156rexlimddv 2599 1 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑃)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708  wfal 1358  wcel 2148  wne 2347  wral 2455  wrex 2456  wss 3129   class class class wbr 4000  cfv 5212  (class class class)co 5869  cr 7801  0cc0 7802  1c1 7803   · cmul 7807   < clt 7982  cle 7983  cmin 8118   / cdiv 8618  cn 8908  2c2 8959  cz 9242  cuz 9517  +crp 9640  ...cfz 9995  cexp 10505  cdvds 11778  cprime 12090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-1o 6411  df-2o 6412  df-er 6529  df-en 6735  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-fl 10256  df-mod 10309  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-dvds 11779  df-prm 12091
This theorem is referenced by:  isprm5  12125
  Copyright terms: Public domain W3C validator