Theorem fsum0diaglem 11407

Description: Lemma for fisum0diag 11408. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
fsum0diaglem	⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 𝑘))))

Distinct variable group:   𝑗,𝑘,𝑁

Proof of Theorem fsum0diaglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzle1 9987	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ 𝑗)
2	1	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 0 ≤ 𝑗)
3		elfz3nn0 10075	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	3	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	4	nn0zd 9336	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑁 ∈ ℤ)
6	5	zred 9338	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑁 ∈ ℝ)
7		elfzelz 9985	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
8	7	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑗 ∈ ℤ)
9	8	zred 9338	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑗 ∈ ℝ)
10	6, 9	subge02d 8460	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (0 ≤ 𝑗 ↔ (𝑁 − 𝑗) ≤ 𝑁))
11	2, 10	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (𝑁 − 𝑗) ≤ 𝑁)
12	5, 8	zsubcld 9343	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (𝑁 − 𝑗) ∈ ℤ)
13		eluz 9504	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 − 𝑗) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑗)) ↔ (𝑁 − 𝑗) ≤ 𝑁))
14	12, 5, 13	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑗)) ↔ (𝑁 − 𝑗) ≤ 𝑁))
15	11, 14	mpbird 166	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑗)))
16		fzss2 10024	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑗)) → (0...(𝑁 − 𝑗)) ⊆ (0...𝑁))
17	15, 16	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (0...(𝑁 − 𝑗)) ⊆ (0...𝑁))
18		simpr 109	. . 3 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗)))
19	17, 18	sseldd 3149	. 2 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
20		elfzelz 9985	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗)) → 𝑘 ∈ ℤ)
21	20	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑘 ∈ ℤ)
22	21	zred 9338	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑘 ∈ ℝ)
23		elfzle2 9988	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗)) → 𝑘 ≤ (𝑁 − 𝑗))
24	23	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑘 ≤ (𝑁 − 𝑗))
25	22, 6, 9, 24	lesubd 8472	. . 3 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑗 ≤ (𝑁 − 𝑘))
26		elfzuz 9981	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘0))
27	26	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘0))
28	5, 21	zsubcld 9343	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ)
29		elfz5 9977	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 𝑘)) ↔ 𝑗 ≤ (𝑁 − 𝑘)))
30	27, 28, 29	syl2anc 409	. . 3 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 𝑘)) ↔ 𝑗 ≤ (𝑁 − 𝑘)))
31	25, 30	mpbird 166	. 2 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 𝑘)))
32	19, 31	jca 304	1 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3122   class class class wbr 3990  ‘cfv 5200  (class class class)co 5857  0cc0 7778   ≤ cle 7959   − cmin 8094  ℕ₀cn0 9139  ℤcz 9216  ℤ_≥cuz 9491  ...cfz 9969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-sep 4108  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-setind 4522  ax-cnex 7869  ax-resscn 7870  ax-1cn 7871  ax-1re 7872  ax-icn 7873  ax-addcl 7874  ax-addrcl 7875  ax-mulcl 7876  ax-addcom 7878  ax-addass 7880  ax-distr 7882  ax-i2m1 7883  ax-0lt1 7884  ax-0id 7886  ax-rnegex 7887  ax-cnre 7889  ax-pre-ltirr 7890  ax-pre-ltwlin 7891  ax-pre-lttrn 7892  ax-pre-ltadd 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-nel 2437  df-ral 2454  df-rex 2455  df-reu 2456  df-rab 2458  df-v 2733  df-sbc 2957  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-int 3833  df-br 3991  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4279  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-rn 4623  df-res 4624  df-ima 4625  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fn 5203  df-f 5204  df-fv 5208  df-riota 5813  df-ov 5860  df-oprab 5861  df-mpo 5862  df-pnf 7960  df-mnf 7961  df-xr 7962  df-ltxr 7963  df-le 7964  df-sub 8096  df-neg 8097  df-inn 8883  df-n0 9140  df-z 9217  df-uz 9492  df-fz 9970

This theorem is referenced by:  fisum0diag  11408  fprod0diagfz  11595