Theorem fsum0diaglem 11390

Description: Lemma for fisum0diag 11391. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
fsum0diaglem	⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 𝑘))))

Distinct variable group:   𝑗,𝑘,𝑁

Proof of Theorem fsum0diaglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzle1 9970	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ 𝑗)
2	1	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 0 ≤ 𝑗)
3		elfz3nn0 10058	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	3	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	4	nn0zd 9319	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑁 ∈ ℤ)
6	5	zred 9321	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑁 ∈ ℝ)
7		elfzelz 9968	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
8	7	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑗 ∈ ℤ)
9	8	zred 9321	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑗 ∈ ℝ)
10	6, 9	subge02d 8443	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (0 ≤ 𝑗 ↔ (𝑁 − 𝑗) ≤ 𝑁))
11	2, 10	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (𝑁 − 𝑗) ≤ 𝑁)
12	5, 8	zsubcld 9326	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (𝑁 − 𝑗) ∈ ℤ)
13		eluz 9487	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 − 𝑗) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑗)) ↔ (𝑁 − 𝑗) ≤ 𝑁))
14	12, 5, 13	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑗)) ↔ (𝑁 − 𝑗) ≤ 𝑁))
15	11, 14	mpbird 166	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑗)))
16		fzss2 10007	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑗)) → (0...(𝑁 − 𝑗)) ⊆ (0...𝑁))
17	15, 16	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (0...(𝑁 − 𝑗)) ⊆ (0...𝑁))
18		simpr 109	. . 3 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗)))
19	17, 18	sseldd 3148	. 2 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
20		elfzelz 9968	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗)) → 𝑘 ∈ ℤ)
21	20	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑘 ∈ ℤ)
22	21	zred 9321	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑘 ∈ ℝ)
23		elfzle2 9971	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗)) → 𝑘 ≤ (𝑁 − 𝑗))
24	23	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑘 ≤ (𝑁 − 𝑗))
25	22, 6, 9, 24	lesubd 8455	. . 3 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑗 ≤ (𝑁 − 𝑘))
26		elfzuz 9964	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘0))
27	26	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘0))
28	5, 21	zsubcld 9326	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ)
29		elfz5 9960	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 𝑘)) ↔ 𝑗 ≤ (𝑁 − 𝑘)))
30	27, 28, 29	syl2anc 409	. . 3 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 𝑘)) ↔ 𝑗 ≤ (𝑁 − 𝑘)))
31	25, 30	mpbird 166	. 2 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 𝑘)))
32	19, 31	jca 304	1 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3121   class class class wbr 3987  ‘cfv 5196  (class class class)co 5850  0cc0 7761   ≤ cle 7942   − cmin 8077  ℕ₀cn0 9122  ℤcz 9199  ℤ_≥cuz 9474  ...cfz 9952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-addcom 7861  ax-addass 7863  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-ltadd 7877

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-inn 8866  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-fz 9953

This theorem is referenced by:  fisum0diag  11391  fprod0diagfz  11578