Theorem fsum0diaglem 12226

Description: Lemma for fisum0diag 12227. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
fsum0diaglem	⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 𝑘))))

Distinct variable group:   𝑗,𝑘,𝑁

Proof of Theorem fsum0diaglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzle1 10442	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ 𝑗)
2	1	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 0 ≤ 𝑗)
3		elfz3nn0 10533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	3	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	4	nn0zd 9771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑁 ∈ ℤ)
6	5	zred 9773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑁 ∈ ℝ)
7		elfzelz 10439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
8	7	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑗 ∈ ℤ)
9	8	zred 9773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑗 ∈ ℝ)
10	6, 9	subge02d 8867	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (0 ≤ 𝑗 ↔ (𝑁 − 𝑗) ≤ 𝑁))
11	2, 10	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (𝑁 − 𝑗) ≤ 𝑁)
12	5, 8	zsubcld 9778	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (𝑁 − 𝑗) ∈ ℤ)
13		eluz 9945	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 − 𝑗) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑗)) ↔ (𝑁 − 𝑗) ≤ 𝑁))
14	12, 5, 13	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑗)) ↔ (𝑁 − 𝑗) ≤ 𝑁))
15	11, 14	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑗)))
16		fzss2 10481	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑗)) → (0...(𝑁 − 𝑗)) ⊆ (0...𝑁))
17	15, 16	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (0...(𝑁 − 𝑗)) ⊆ (0...𝑁))
18		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗)))
19	17, 18	sseldd 3249	. 2 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
20		elfzelz 10439	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗)) → 𝑘 ∈ ℤ)
21	20	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑘 ∈ ℤ)
22	21	zred 9773	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑘 ∈ ℝ)
23		elfzle2 10443	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗)) → 𝑘 ≤ (𝑁 − 𝑗))
24	23	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑘 ≤ (𝑁 − 𝑗))
25	22, 6, 9, 24	lesubd 8879	. . 3 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑗 ≤ (𝑁 − 𝑘))
26		elfzuz 10435	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘0))
27	26	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘0))
28	5, 21	zsubcld 9778	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ)
29		elfz5 10431	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 𝑘)) ↔ 𝑗 ≤ (𝑁 − 𝑘)))
30	27, 28, 29	syl2anc 415	. . 3 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 𝑘)) ↔ 𝑗 ≤ (𝑁 − 𝑘)))
31	25, 30	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 𝑘)))
32	19, 31	jca 306	1 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 𝑘))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  0cc0 8180   ≤ cle 8362   − cmin 8499  ℕ₀cn0 9568  ℤcz 9649  ℤ_≥cuz 9931  ...cfz 10422

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-fz 10423

This theorem is used by:  fisum0diag  12227  fprod0diagfz  12414