Theorem fsum0diaglem 11622

Description: Lemma for fisum0diag 11623. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
fsum0diaglem	⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 𝑘))))

Distinct variable group:   𝑗,𝑘,𝑁

Proof of Theorem fsum0diaglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzle1 10119	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ 𝑗)
2	1	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 0 ≤ 𝑗)
3		elfz3nn0 10207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	3	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	4	nn0zd 9463	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑁 ∈ ℤ)
6	5	zred 9465	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑁 ∈ ℝ)
7		elfzelz 10117	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
8	7	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑗 ∈ ℤ)
9	8	zred 9465	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑗 ∈ ℝ)
10	6, 9	subge02d 8581	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (0 ≤ 𝑗 ↔ (𝑁 − 𝑗) ≤ 𝑁))
11	2, 10	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (𝑁 − 𝑗) ≤ 𝑁)
12	5, 8	zsubcld 9470	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (𝑁 − 𝑗) ∈ ℤ)
13		eluz 9631	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 − 𝑗) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑗)) ↔ (𝑁 − 𝑗) ≤ 𝑁))
14	12, 5, 13	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑗)) ↔ (𝑁 − 𝑗) ≤ 𝑁))
15	11, 14	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑗)))
16		fzss2 10156	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑗)) → (0...(𝑁 − 𝑗)) ⊆ (0...𝑁))
17	15, 16	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (0...(𝑁 − 𝑗)) ⊆ (0...𝑁))
18		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗)))
19	17, 18	sseldd 3185	. 2 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
20		elfzelz 10117	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗)) → 𝑘 ∈ ℤ)
21	20	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑘 ∈ ℤ)
22	21	zred 9465	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑘 ∈ ℝ)
23		elfzle2 10120	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗)) → 𝑘 ≤ (𝑁 − 𝑗))
24	23	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑘 ≤ (𝑁 − 𝑗))
25	22, 6, 9, 24	lesubd 8593	. . 3 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑗 ≤ (𝑁 − 𝑘))
26		elfzuz 10113	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘0))
27	26	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘0))
28	5, 21	zsubcld 9470	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ)
29		elfz5 10109	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 𝑘)) ↔ 𝑗 ≤ (𝑁 − 𝑘)))
30	27, 28, 29	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 𝑘)) ↔ 𝑗 ≤ (𝑁 − 𝑘)))
31	25, 30	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 𝑘)))
32	19, 31	jca 306	1 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2167   ⊆ wss 3157   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  0cc0 7896   ≤ cle 8079   − cmin 8214  ℕ₀cn0 9266  ℤcz 9343  ℤ_≥cuz 9618  ...cfz 10100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-fz 10101

This theorem is referenced by:  fisum0diag  11623  fprod0diagfz  11810