Theorem fsum0diaglem 11466

Description: Lemma for fisum0diag 11467. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
fsum0diaglem	⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 𝑘))))

Distinct variable group:   𝑗,𝑘,𝑁

Proof of Theorem fsum0diaglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzle1 10045	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ 𝑗)
2	1	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 0 ≤ 𝑗)
3		elfz3nn0 10133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	3	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	4	nn0zd 9391	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑁 ∈ ℤ)
6	5	zred 9393	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑁 ∈ ℝ)
7		elfzelz 10043	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
8	7	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑗 ∈ ℤ)
9	8	zred 9393	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑗 ∈ ℝ)
10	6, 9	subge02d 8512	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (0 ≤ 𝑗 ↔ (𝑁 − 𝑗) ≤ 𝑁))
11	2, 10	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (𝑁 − 𝑗) ≤ 𝑁)
12	5, 8	zsubcld 9398	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (𝑁 − 𝑗) ∈ ℤ)
13		eluz 9559	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 − 𝑗) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑗)) ↔ (𝑁 − 𝑗) ≤ 𝑁))
14	12, 5, 13	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑗)) ↔ (𝑁 − 𝑗) ≤ 𝑁))
15	11, 14	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑗)))
16		fzss2 10082	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑗)) → (0...(𝑁 − 𝑗)) ⊆ (0...𝑁))
17	15, 16	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (0...(𝑁 − 𝑗)) ⊆ (0...𝑁))
18		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗)))
19	17, 18	sseldd 3171	. 2 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
20		elfzelz 10043	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗)) → 𝑘 ∈ ℤ)
21	20	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑘 ∈ ℤ)
22	21	zred 9393	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑘 ∈ ℝ)
23		elfzle2 10046	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗)) → 𝑘 ≤ (𝑁 − 𝑗))
24	23	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑘 ≤ (𝑁 − 𝑗))
25	22, 6, 9, 24	lesubd 8524	. . 3 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑗 ≤ (𝑁 − 𝑘))
26		elfzuz 10039	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘0))
27	26	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘0))
28	5, 21	zsubcld 9398	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ)
29		elfz5 10035	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ) → (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 𝑘)) ↔ 𝑗 ≤ (𝑁 − 𝑘)))
30	27, 28, 29	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 𝑘)) ↔ 𝑗 ≤ (𝑁 − 𝑘)))
31	25, 30	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 𝑘)))
32	19, 31	jca 306	1 ⊢ ((𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑗))) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2160   ⊆ wss 3144   class class class wbr 4018  ‘cfv 5231  (class class class)co 5891  0cc0 7829   ≤ cle 8011   − cmin 8146  ℕ₀cn0 9194  ℤcz 9271  ℤ_≥cuz 9546  ...cfz 10026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-addcom 7929  ax-addass 7931  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-ltadd 7945

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-inn 8938  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-fz 10027

This theorem is referenced by:  fisum0diag  11467  fprod0diagfz  11654