Theorem fissfi 7256

Description: A finite subset of a finite set is a decidable subset. (Contributed by Jim Kingdon, 18-May-2026.)

Assertion

Ref	Expression
fissfi	⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆

Proof of Theorem fissfi

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2302	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝑤 ↔ 𝑥 ∈ ∅))
2	1	dcbid 850	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → (DECID 𝑥 ∈ 𝑤 ↔ DECID 𝑥 ∈ ∅))
3		eleq2 2302	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (𝑥 ∈ 𝑤 ↔ 𝑥 ∈ 𝑢))
4	3	dcbid 850	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (DECID 𝑥 ∈ 𝑤 ↔ DECID 𝑥 ∈ 𝑢))
5		eleq2 2302	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (𝑥 ∈ 𝑤 ↔ 𝑥 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})))
6	5	dcbid 850	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (DECID 𝑥 ∈ 𝑤 ↔ DECID 𝑥 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})))
7		eleq2 2302	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑆 → (𝑥 ∈ 𝑤 ↔ 𝑥 ∈ 𝑆))
8	7	dcbid 850	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑆 → (DECID 𝑥 ∈ 𝑤 ↔ DECID 𝑥 ∈ 𝑆))
9		noel 3525	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
10	9	olci 744	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ∨ ¬ 𝑥 ∈ ∅)
11		df-dc 847	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝑥 ∈ ∅ ↔ (𝑥 ∈ ∅ ∨ ¬ 𝑥 ∈ ∅))
12	10, 11	mpbir 146	. . . 4 ⊢ DECID 𝑥 ∈ ∅
13	12	a1i 9	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → DECID 𝑥 ∈ ∅)
14		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((((((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑥 ∈ 𝑢) → DECID 𝑥 ∈ 𝑢)
15		simp2 1029	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
16	15	ad4antr 498	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑥 ∈ 𝑢) → 𝐴 ∈ Fin)
17		simp-4r 548	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑥 ∈ 𝑢) → 𝑥 ∈ 𝐴)
18		simp1 1028	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ⊆ 𝐴)
19	18	ad4antr 498	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑥 ∈ 𝑢) → 𝑆 ⊆ 𝐴)
20		simplrr 542	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑥 ∈ 𝑢) → 𝑣 ∈ (𝑆 ∖ 𝑢))
21	20	eldifad 3231	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑥 ∈ 𝑢) → 𝑣 ∈ 𝑆)
22	19, 21	sseldd 3249	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑥 ∈ 𝑢) → 𝑣 ∈ 𝐴)
23		fidceq 7164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → DECID 𝑥 = 𝑣)
24	16, 17, 22, 23	syl3anc 1278	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑥 ∈ 𝑢) → DECID 𝑥 = 𝑣)
25		velsn 3725	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑣} ↔ 𝑥 = 𝑣)
26	25	dcbii 852	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑥 ∈ {𝑣} ↔ DECID 𝑥 = 𝑣)
27	24, 26	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ ((((((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑥 ∈ 𝑢) → DECID 𝑥 ∈ {𝑣})
28	14, 27	dcun 3637	. . . 4 ⊢ ((((((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑥 ∈ 𝑢) → DECID 𝑥 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}))
29	28	ex 115	. . 3 ⊢ (((((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 ∖ 𝑢))) → (DECID 𝑥 ∈ 𝑢 → DECID 𝑥 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})))
30		simpl3 1033	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ Fin)
31	2, 4, 6, 8, 13, 29, 30	findcard2sd 7189	. 2 ⊢ (((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → DECID 𝑥 ∈ 𝑆)
32	31	ralrimiva 2623	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720  DECID wdc 846   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   ∖ cdif 3217   ∪ cun 3218   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  {csn 3708  Fincfn 7015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-er 6800  df-en 7016  df-fin 7018

This theorem is referenced by:  2omapfi  7313  hashfibclem  11263