Theorem fissfi 7218

Description: A finite subset of a finite set is a decidable subset. (Contributed by Jim Kingdon, 18-May-2026.)

Assertion

Ref	Expression
fissfi	⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆

Proof of Theorem fissfi

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2298	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝑤 ↔ 𝑥 ∈ ∅))
2	1	dcbid 846	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → (DECID 𝑥 ∈ 𝑤 ↔ DECID 𝑥 ∈ ∅))
3		eleq2 2298	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (𝑥 ∈ 𝑤 ↔ 𝑥 ∈ 𝑢))
4	3	dcbid 846	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (DECID 𝑥 ∈ 𝑤 ↔ DECID 𝑥 ∈ 𝑢))
5		eleq2 2298	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (𝑥 ∈ 𝑤 ↔ 𝑥 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})))
6	5	dcbid 846	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (DECID 𝑥 ∈ 𝑤 ↔ DECID 𝑥 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})))
7		eleq2 2298	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑆 → (𝑥 ∈ 𝑤 ↔ 𝑥 ∈ 𝑆))
8	7	dcbid 846	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑆 → (DECID 𝑥 ∈ 𝑤 ↔ DECID 𝑥 ∈ 𝑆))
9		noel 3514	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
10	9	olci 740	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ∨ ¬ 𝑥 ∈ ∅)
11		df-dc 843	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝑥 ∈ ∅ ↔ (𝑥 ∈ ∅ ∨ ¬ 𝑥 ∈ ∅))
12	10, 11	mpbir 146	. . . 4 ⊢ DECID 𝑥 ∈ ∅
13	12	a1i 9	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → DECID 𝑥 ∈ ∅)
14		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((((((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑥 ∈ 𝑢) → DECID 𝑥 ∈ 𝑢)
15		simp2 1025	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
16	15	ad4antr 494	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑥 ∈ 𝑢) → 𝐴 ∈ Fin)
17		simp-4r 544	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑥 ∈ 𝑢) → 𝑥 ∈ 𝐴)
18		simp1 1024	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ⊆ 𝐴)
19	18	ad4antr 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑥 ∈ 𝑢) → 𝑆 ⊆ 𝐴)
20		simplrr 538	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑥 ∈ 𝑢) → 𝑣 ∈ (𝑆 ∖ 𝑢))
21	20	eldifad 3224	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑥 ∈ 𝑢) → 𝑣 ∈ 𝑆)
22	19, 21	sseldd 3241	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑥 ∈ 𝑢) → 𝑣 ∈ 𝐴)
23		fidceq 7126	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → DECID 𝑥 = 𝑣)
24	16, 17, 22, 23	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑥 ∈ 𝑢) → DECID 𝑥 = 𝑣)
25		velsn 3708	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑣} ↔ 𝑥 = 𝑣)
26	25	dcbii 848	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑥 ∈ {𝑣} ↔ DECID 𝑥 = 𝑣)
27	24, 26	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ ((((((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑥 ∈ 𝑢) → DECID 𝑥 ∈ {𝑣})
28	14, 27	dcun 3621	. . . 4 ⊢ ((((((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑥 ∈ 𝑢) → DECID 𝑥 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}))
29	28	ex 115	. . 3 ⊢ (((((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ (𝑆 ∖ 𝑢))) → (DECID 𝑥 ∈ 𝑢 → DECID 𝑥 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})))
30		simpl3 1029	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ Fin)
31	2, 4, 6, 8, 13, 29, 30	findcard2sd 7151	. 2 ⊢ (((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → DECID 𝑥 ∈ 𝑆)
32	31	ralrimiva 2617	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716  DECID wdc 842   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522   ∖ cdif 3210   ∪ cun 3211   ⊆ wss 3213  ∅c0 3510  {csn 3691  Fincfn 6977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-er 6769  df-en 6978  df-fin 6980

This theorem is referenced by:  2omapfi  7273  hashfibclem  11210