ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gcdf GIF version

Theorem gcdf 10831
Description: Domain and codomain of the gcd operator. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
gcdf gcd :(ℤ × ℤ)⟶ℕ0

Proof of Theorem gcdf
Dummy variables 𝑥 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gcdval 10818 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 gcd 𝑦) = if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑥𝑛𝑦)}, ℝ, < )))
2 gcdcl 10825 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 gcd 𝑦) ∈ ℕ0)
31, 2eqeltrrd 2162 . . 3 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑥𝑛𝑦)}, ℝ, < )) ∈ ℕ0)
43rgen2a 2425 . 2 𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑥𝑛𝑦)}, ℝ, < )) ∈ ℕ0
5 df-gcd 10806 . . 3 gcd = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℤ ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑥𝑛𝑦)}, ℝ, < )))
65fmpt2 5922 . 2 (∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑥𝑛𝑦)}, ℝ, < )) ∈ ℕ0 ↔ gcd :(ℤ × ℤ)⟶ℕ0)
74, 6mpbi 143 1 gcd :(ℤ × ℤ)⟶ℕ0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 102   = wceq 1287  wcel 1436  wral 2355  {crab 2359  ifcif 3379   class class class wbr 3820   × cxp 4408  wf 4974  (class class class)co 5607  supcsup 6614  cr 7286  0cc0 7287   < clt 7459  0cn0 8599  cz 8676  cdvds 10663   gcd cgcd 10805
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3928  ax-sep 3931  ax-nul 3939  ax-pow 3983  ax-pr 4009  ax-un 4233  ax-setind 4325  ax-iinf 4375  ax-cnex 7373  ax-resscn 7374  ax-1cn 7375  ax-1re 7376  ax-icn 7377  ax-addcl 7378  ax-addrcl 7379  ax-mulcl 7380  ax-mulrcl 7381  ax-addcom 7382  ax-mulcom 7383  ax-addass 7384  ax-mulass 7385  ax-distr 7386  ax-i2m1 7387  ax-0lt1 7388  ax-1rid 7389  ax-0id 7390  ax-rnegex 7391  ax-precex 7392  ax-cnre 7393  ax-pre-ltirr 7394  ax-pre-ltwlin 7395  ax-pre-lttrn 7396  ax-pre-apti 7397  ax-pre-ltadd 7398  ax-pre-mulgt0 7399  ax-pre-mulext 7400  ax-arch 7401  ax-caucvg 7402
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-tr 3911  df-id 4093  df-po 4096  df-iso 4097  df-iord 4166  df-on 4168  df-ilim 4169  df-suc 4171  df-iom 4378  df-xp 4416  df-rel 4417  df-cnv 4418  df-co 4419  df-dm 4420  df-rn 4421  df-res 4422  df-ima 4423  df-iota 4943  df-fun 4980  df-fn 4981  df-f 4982  df-f1 4983  df-fo 4984  df-f1o 4985  df-fv 4986  df-riota 5563  df-ov 5610  df-oprab 5611  df-mpt2 5612  df-1st 5862  df-2nd 5863  df-recs 6018  df-frec 6104  df-sup 6616  df-pnf 7461  df-mnf 7462  df-xr 7463  df-ltxr 7464  df-le 7465  df-sub 7592  df-neg 7593  df-reap 7986  df-ap 7993  df-div 8072  df-inn 8351  df-2 8409  df-3 8410  df-4 8411  df-n0 8600  df-z 8677  df-uz 8945  df-q 9030  df-rp 9060  df-fz 9350  df-fzo 9475  df-fl 9598  df-mod 9651  df-iseq 9773  df-iexp 9846  df-cj 10164  df-re 10165  df-im 10166  df-rsqrt 10319  df-abs 10320  df-dvds 10664  df-gcd 10806
This theorem is referenced by:  eucialg  10908
  Copyright terms: Public domain W3C validator