Theorem zsubcl 9498

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zsubcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 9462	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
2		zcn 9462	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3		negsub 8405	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
5		znegcl 9488	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
6		zaddcl 9497	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
7	5, 6	sylan2 286	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
8	4, 7	eqeltrrd 2307	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6007  ℂcc 8008   + caddc 8013   − cmin 8328  -cneg 8329  ℤcz 9457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458

This theorem is referenced by:  ztri3or  9500  zrevaddcl  9508  znnsub  9509  nzadd  9510  znn0sub  9523  zneo  9559  zsubcld  9585  eluzsubi  9762  fzen  10251  uzsubsubfz  10255  fzrev  10292  fzrev2  10293  fzrevral2  10314  fzshftral  10316  fz0fzdiffz0  10338  difelfzle  10342  difelfznle  10343  fzo0n  10376  elfzomelpfzo  10449  zmodcl  10578  frecfzen2  10661  facndiv  10973  bccmpl  10988  bcpasc  11000  hashfz  11056  swrdspsleq  11214  pfxccatin12lem4  11273  pfxccatin12lem2a  11274  pfxccatin12lem1  11275  pfxccatin12lem2  11278  swrdccat  11282  moddvds  12325  modmulconst  12349  dvds2sub  12352  dvdssub2  12361  dvdssubr  12365  fzocongeq  12384  3dvds  12390  odd2np1  12399  omoe  12422  omeo  12424  divalgb  12451  divalgmod  12453  ndvdsadd  12457  nn0seqcvgd  12578  congr  12637  cncongr1  12640  cncongr2  12641  prmdiv  12772  prmdiveq  12773  pythagtriplem4  12806  pythagtriplem8  12810  difsqpwdvds  12876  gausslemma2dlem6  15761  lgsquadlem1  15771