Theorem isrhm2d 14581

Description: Demonstration of ring homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isrhmd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isrhmd.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
isrhmd.n	⊢ 𝑁 = (1r‘𝑆)
isrhmd.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
isrhmd.u	⊢ × = (.r‘𝑆)
isrhmd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
isrhmd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
isrhmd.ho	⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 1 ) = 𝑁)
isrhmd.ht	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)))
isrhm2d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
isrhm2d	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑥, 𝑦)   × (𝑥, 𝑦)   1 (𝑥, 𝑦)   𝑁(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem isrhm2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isrhmd.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		isrhmd.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
3		isrhm2d.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
4		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5	4	ringmgp 14413	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
6	1, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
7		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
8	7	ringmgp 14413	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
9	2, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
10		isrhmd.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
12	10, 11	ghmf 14109	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑆))
13	3, 12	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑆))
14	4, 10	mgpbasg 14331	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
15	1, 14	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
16	7, 11	mgpbasg 14331	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (Base‘𝑆) = (Base‘(mulGrp‘𝑆)))
17	2, 16	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘(mulGrp‘𝑆)))
18	15, 17	feq23d 5532	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑆) ↔ 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))⟶(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
19	13, 18	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))⟶(Base‘(mulGrp‘𝑆)))
20		isrhmd.ht	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)))
21	20	ralrimivva 2632	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)))
22		isrhmd.t	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = (.r‘𝑅)
23	4, 22	mgpplusgg 14328	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
24	1, 23	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
25	24	oveqd 6105	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦))
26	25	fveq2d 5702	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝐹‘(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦)))
27		isrhmd.u	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ × = (.r‘𝑆)
28	7, 27	mgpplusgg 14328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → × = (+g‘(mulGrp‘𝑆)))
29	2, 28	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → × = (+g‘(mulGrp‘𝑆)))
30	29	oveqd 6105	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝑦)))
31	26, 30	eqeq12d 2253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝑦))))
32	15, 31	raleqbidv 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝐹‘(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝑦))))
33	15, 32	raleqbidv 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝐹‘(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝑦))))
34	21, 33	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝐹‘(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝑦)))
35		isrhmd.ho	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 1 ) = 𝑁)
36		isrhmd.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
37	4, 36	ringidvalg 14371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
38	1, 37	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
39	38	fveq2d 5702	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 1 ) = (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))))
40		isrhmd.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (1r‘𝑆)
41	7, 40	ringidvalg 14371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑁 = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))
42	2, 41	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))
43	35, 39, 42	3eqtr3d 2279	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))
44	19, 34, 43	3jca 1208	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))⟶(Base‘(mulGrp‘𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝐹‘(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆))))
45		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
46		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑆)) = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
47		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
48		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑆)) = (+g‘(mulGrp‘𝑆))
49		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
50		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑆)) = (0g‘(mulGrp‘𝑆))
51	45, 46, 47, 48, 49, 50	ismhm 13827	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) ↔ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd) ∧ (𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))⟶(Base‘(mulGrp‘𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝐹‘(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))))
52	6, 9, 44, 51	syl21anbrc 1213	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
53	3, 52	jca 306	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
54	4, 7	isrhm 14574	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))))
55	1, 2, 53, 54	syl21anbrc 1213	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Basecbs 13410  +_gcplusg 13490  ._rcmulr 13491  0_gc0g 13669  Mndcmnd 13788   MndHom cmhm 13823   GrpHom cghm 14102  mulGrpcmgp 14324  1_rcur 14369  Ringcrg 14407   RingHom crh 14566

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-map 6928  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-0g 13671  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-mhm 13825  df-grp 13867  df-ghm 14103  df-mgp 14325  df-ur 14370  df-ring 14409  df-rhm 14568

This theorem is used by:  isrhmd  14582  rhmopp  14592  qusrhm  14974  mulgrhm  15053  asclrhm  15142