Theorem isrhm2d 14178

Description: Demonstration of ring homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isrhmd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isrhmd.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
isrhmd.n	⊢ 𝑁 = (1r‘𝑆)
isrhmd.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
isrhmd.u	⊢ × = (.r‘𝑆)
isrhmd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
isrhmd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
isrhmd.ho	⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 1 ) = 𝑁)
isrhmd.ht	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)))
isrhm2d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
isrhm2d	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)   × (𝑥,𝑦)   1 (𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isrhm2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isrhmd.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		isrhmd.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
3		isrhm2d.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
4		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5	4	ringmgp 14014	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
6	1, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
7		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
8	7	ringmgp 14014	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
9	2, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
10		isrhmd.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11		eqid 2231	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
12	10, 11	ghmf 13833	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑆))
13	3, 12	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑆))
14	4, 10	mgpbasg 13938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
15	1, 14	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
16	7, 11	mgpbasg 13938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (Base‘𝑆) = (Base‘(mulGrp‘𝑆)))
17	2, 16	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘(mulGrp‘𝑆)))
18	15, 17	feq23d 5478	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑆) ↔ 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))⟶(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
19	13, 18	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))⟶(Base‘(mulGrp‘𝑆)))
20		isrhmd.ht	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)))
21	20	ralrimivva 2614	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)))
22		isrhmd.t	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = (.r‘𝑅)
23	4, 22	mgpplusgg 13936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
24	1, 23	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
25	24	oveqd 6034	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦))
26	25	fveq2d 5643	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝐹‘(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦)))
27		isrhmd.u	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ × = (.r‘𝑆)
28	7, 27	mgpplusgg 13936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → × = (+g‘(mulGrp‘𝑆)))
29	2, 28	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → × = (+g‘(mulGrp‘𝑆)))
30	29	oveqd 6034	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝑦)))
31	26, 30	eqeq12d 2246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝑦))))
32	15, 31	raleqbidv 2746	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝐹‘(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝑦))))
33	15, 32	raleqbidv 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝐹‘(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝑦))))
34	21, 33	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝐹‘(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝑦)))
35		isrhmd.ho	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 1 ) = 𝑁)
36		isrhmd.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
37	4, 36	ringidvalg 13973	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
38	1, 37	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
39	38	fveq2d 5643	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 1 ) = (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))))
40		isrhmd.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (1r‘𝑆)
41	7, 40	ringidvalg 13973	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑁 = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))
42	2, 41	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))
43	35, 39, 42	3eqtr3d 2272	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))
44	19, 34, 43	3jca 1203	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))⟶(Base‘(mulGrp‘𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝐹‘(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆))))
45		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
46		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑆)) = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
47		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
48		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑆)) = (+g‘(mulGrp‘𝑆))
49		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
50		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑆)) = (0g‘(mulGrp‘𝑆))
51	45, 46, 47, 48, 49, 50	ismhm 13543	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) ↔ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd) ∧ (𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))⟶(Base‘(mulGrp‘𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝐹‘(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))))
52	6, 9, 44, 51	syl21anbrc 1208	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
53	3, 52	jca 306	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
54	4, 7	isrhm 14171	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))))
55	1, 2, 53, 54	syl21anbrc 1208	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  Basecbs 13081  +_gcplusg 13159  ._rcmulr 13160  0_gc0g 13338  Mndcmnd 13498   MndHom cmhm 13539   GrpHom cghm 13826  mulGrpcmgp 13932  1_rcur 13971  Ringcrg 14008   RingHom crh 14163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-map 6818  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-mhm 13541  df-grp 13585  df-ghm 13827  df-mgp 13933  df-ur 13972  df-ring 14010  df-rhm 14165

This theorem is referenced by:  isrhmd  14179  rhmopp  14189  qusrhm  14541  mulgrhm  14622