Theorem isrhm2d 13664

Description: Demonstration of ring homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isrhmd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isrhmd.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
isrhmd.n	⊢ 𝑁 = (1r‘𝑆)
isrhmd.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
isrhmd.u	⊢ × = (.r‘𝑆)
isrhmd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
isrhmd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
isrhmd.ho	⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 1 ) = 𝑁)
isrhmd.ht	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)))
isrhm2d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
isrhm2d	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)   × (𝑥,𝑦)   1 (𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isrhm2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isrhmd.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		isrhmd.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
3		isrhm2d.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
4		eqid 2193	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5	4	ringmgp 13501	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
6	1, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
7		eqid 2193	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
8	7	ringmgp 13501	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
9	2, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
10		isrhmd.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11		eqid 2193	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
12	10, 11	ghmf 13320	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑆))
13	3, 12	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑆))
14	4, 10	mgpbasg 13425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
15	1, 14	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
16	7, 11	mgpbasg 13425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (Base‘𝑆) = (Base‘(mulGrp‘𝑆)))
17	2, 16	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘(mulGrp‘𝑆)))
18	15, 17	feq23d 5400	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑆) ↔ 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))⟶(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
19	13, 18	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))⟶(Base‘(mulGrp‘𝑆)))
20		isrhmd.ht	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)))
21	20	ralrimivva 2576	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)))
22		isrhmd.t	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = (.r‘𝑅)
23	4, 22	mgpplusgg 13423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
24	1, 23	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
25	24	oveqd 5936	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦))
26	25	fveq2d 5559	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝐹‘(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦)))
27		isrhmd.u	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ × = (.r‘𝑆)
28	7, 27	mgpplusgg 13423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → × = (+g‘(mulGrp‘𝑆)))
29	2, 28	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → × = (+g‘(mulGrp‘𝑆)))
30	29	oveqd 5936	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝑦)))
31	26, 30	eqeq12d 2208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝑦))))
32	15, 31	raleqbidv 2706	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝐹‘(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝑦))))
33	15, 32	raleqbidv 2706	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝐹‘(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝑦))))
34	21, 33	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝐹‘(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝑦)))
35		isrhmd.ho	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 1 ) = 𝑁)
36		isrhmd.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
37	4, 36	ringidvalg 13460	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
38	1, 37	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
39	38	fveq2d 5559	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 1 ) = (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))))
40		isrhmd.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (1r‘𝑆)
41	7, 40	ringidvalg 13460	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑁 = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))
42	2, 41	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))
43	35, 39, 42	3eqtr3d 2234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))
44	19, 34, 43	3jca 1179	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))⟶(Base‘(mulGrp‘𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝐹‘(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆))))
45		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
46		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑆)) = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
47		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
48		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑆)) = (+g‘(mulGrp‘𝑆))
49		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
50		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑆)) = (0g‘(mulGrp‘𝑆))
51	45, 46, 47, 48, 49, 50	ismhm 13036	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) ↔ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd) ∧ (𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))⟶(Base‘(mulGrp‘𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝐹‘(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))))
52	6, 9, 44, 51	syl21anbrc 1184	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
53	3, 52	jca 306	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
54	4, 7	isrhm 13657	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))))
55	1, 2, 53, 54	syl21anbrc 1184	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ⟶wf 5251  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  Basecbs 12621  +_gcplusg 12698  ._rcmulr 12699  0_gc0g 12870  Mndcmnd 13000   MndHom cmhm 13032   GrpHom cghm 13313  mulGrpcmgp 13419  1_rcur 13458  Ringcrg 13495   RingHom crh 13649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-map 6706  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-sets 12628  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-mhm 13034  df-grp 13078  df-ghm 13314  df-mgp 13420  df-ur 13459  df-ring 13497  df-rhm 13651

This theorem is referenced by:  isrhmd  13665  rhmopp  13675  qusrhm  14027  mulgrhm  14108