Theorem isrhm2d 14002

Description: Demonstration of ring homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isrhmd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isrhmd.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
isrhmd.n	⊢ 𝑁 = (1r‘𝑆)
isrhmd.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
isrhmd.u	⊢ × = (.r‘𝑆)
isrhmd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
isrhmd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
isrhmd.ho	⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 1 ) = 𝑁)
isrhmd.ht	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)))
isrhm2d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
isrhm2d	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)   × (𝑥,𝑦)   1 (𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isrhm2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isrhmd.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		isrhmd.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
3		isrhm2d.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
4		eqid 2206	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5	4	ringmgp 13839	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
6	1, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
7		eqid 2206	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
8	7	ringmgp 13839	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
9	2, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
10		isrhmd.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11		eqid 2206	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
12	10, 11	ghmf 13658	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑆))
13	3, 12	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑆))
14	4, 10	mgpbasg 13763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
15	1, 14	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
16	7, 11	mgpbasg 13763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (Base‘𝑆) = (Base‘(mulGrp‘𝑆)))
17	2, 16	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘(mulGrp‘𝑆)))
18	15, 17	feq23d 5431	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑆) ↔ 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))⟶(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
19	13, 18	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))⟶(Base‘(mulGrp‘𝑆)))
20		isrhmd.ht	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)))
21	20	ralrimivva 2589	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)))
22		isrhmd.t	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = (.r‘𝑅)
23	4, 22	mgpplusgg 13761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
24	1, 23	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
25	24	oveqd 5974	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦))
26	25	fveq2d 5593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝐹‘(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦)))
27		isrhmd.u	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ × = (.r‘𝑆)
28	7, 27	mgpplusgg 13761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → × = (+g‘(mulGrp‘𝑆)))
29	2, 28	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → × = (+g‘(mulGrp‘𝑆)))
30	29	oveqd 5974	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝑦)))
31	26, 30	eqeq12d 2221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝑦))))
32	15, 31	raleqbidv 2719	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝐹‘(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝑦))))
33	15, 32	raleqbidv 2719	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝐹‘(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝑦))))
34	21, 33	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝐹‘(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝑦)))
35		isrhmd.ho	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 1 ) = 𝑁)
36		isrhmd.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
37	4, 36	ringidvalg 13798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
38	1, 37	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
39	38	fveq2d 5593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 1 ) = (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))))
40		isrhmd.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (1r‘𝑆)
41	7, 40	ringidvalg 13798	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑁 = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))
42	2, 41	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))
43	35, 39, 42	3eqtr3d 2247	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))
44	19, 34, 43	3jca 1180	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))⟶(Base‘(mulGrp‘𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝐹‘(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆))))
45		eqid 2206	. . . . 5 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
46		eqid 2206	. . . . 5 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑆)) = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
47		eqid 2206	. . . . 5 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
48		eqid 2206	. . . . 5 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑆)) = (+g‘(mulGrp‘𝑆))
49		eqid 2206	. . . . 5 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
50		eqid 2206	. . . . 5 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑆)) = (0g‘(mulGrp‘𝑆))
51	45, 46, 47, 48, 49, 50	ismhm 13368	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) ↔ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd) ∧ (𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))⟶(Base‘(mulGrp‘𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝐹‘(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))))
52	6, 9, 44, 51	syl21anbrc 1185	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
53	3, 52	jca 306	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
54	4, 7	isrhm 13995	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))))
55	1, 2, 53, 54	syl21anbrc 1185	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  ⟶wf 5276  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957  Basecbs 12907  +_gcplusg 12984  ._rcmulr 12985  0_gc0g 13163  Mndcmnd 13323   MndHom cmhm 13364   GrpHom cghm 13651  mulGrpcmgp 13757  1_rcur 13796  Ringcrg 13833   RingHom crh 13987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-map 6750  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-ltxr 8132  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-sets 12914  df-plusg 12997  df-mulr 12998  df-0g 13165  df-mgm 13263  df-sgrp 13309  df-mnd 13324  df-mhm 13366  df-grp 13410  df-ghm 13652  df-mgp 13758  df-ur 13797  df-ring 13835  df-rhm 13989

This theorem is referenced by:  isrhmd  14003  rhmopp  14013  qusrhm  14365  mulgrhm  14446