Theorem isrhm2d 13661

Description: Demonstration of ring homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isrhmd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isrhmd.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
isrhmd.n	⊢ 𝑁 = (1r‘𝑆)
isrhmd.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
isrhmd.u	⊢ × = (.r‘𝑆)
isrhmd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
isrhmd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
isrhmd.ho	⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 1 ) = 𝑁)
isrhmd.ht	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)))
isrhm2d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
isrhm2d	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)   × (𝑥,𝑦)   1 (𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isrhm2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isrhmd.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		isrhmd.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
3		isrhm2d.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
4		eqid 2193	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5	4	ringmgp 13498	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
6	1, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
7		eqid 2193	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
8	7	ringmgp 13498	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
9	2, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
10		isrhmd.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11		eqid 2193	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
12	10, 11	ghmf 13317	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑆))
13	3, 12	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑆))
14	4, 10	mgpbasg 13422	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
15	1, 14	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
16	7, 11	mgpbasg 13422	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (Base‘𝑆) = (Base‘(mulGrp‘𝑆)))
17	2, 16	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘(mulGrp‘𝑆)))
18	15, 17	feq23d 5399	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑆) ↔ 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))⟶(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
19	13, 18	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))⟶(Base‘(mulGrp‘𝑆)))
20		isrhmd.ht	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)))
21	20	ralrimivva 2576	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)))
22		isrhmd.t	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = (.r‘𝑅)
23	4, 22	mgpplusgg 13420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
24	1, 23	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
25	24	oveqd 5935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦))
26	25	fveq2d 5558	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝐹‘(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦)))
27		isrhmd.u	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ × = (.r‘𝑆)
28	7, 27	mgpplusgg 13420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → × = (+g‘(mulGrp‘𝑆)))
29	2, 28	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → × = (+g‘(mulGrp‘𝑆)))
30	29	oveqd 5935	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝑦)))
31	26, 30	eqeq12d 2208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝑦))))
32	15, 31	raleqbidv 2706	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝐹‘(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝑦))))
33	15, 32	raleqbidv 2706	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝐹‘(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝑦))))
34	21, 33	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝐹‘(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝑦)))
35		isrhmd.ho	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 1 ) = 𝑁)
36		isrhmd.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
37	4, 36	ringidvalg 13457	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
38	1, 37	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
39	38	fveq2d 5558	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 1 ) = (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))))
40		isrhmd.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (1r‘𝑆)
41	7, 40	ringidvalg 13457	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑁 = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))
42	2, 41	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))
43	35, 39, 42	3eqtr3d 2234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))
44	19, 34, 43	3jca 1179	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))⟶(Base‘(mulGrp‘𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝐹‘(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆))))
45		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
46		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑆)) = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
47		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
48		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑆)) = (+g‘(mulGrp‘𝑆))
49		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
50		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑆)) = (0g‘(mulGrp‘𝑆))
51	45, 46, 47, 48, 49, 50	ismhm 13033	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) ↔ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd) ∧ (𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))⟶(Base‘(mulGrp‘𝑆)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝐹‘(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))))
52	6, 9, 44, 51	syl21anbrc 1184	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
53	3, 52	jca 306	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
54	4, 7	isrhm 13654	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))))
55	1, 2, 53, 54	syl21anbrc 1184	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ⟶wf 5250  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  Basecbs 12618  +_gcplusg 12695  ._rcmulr 12696  0_gc0g 12867  Mndcmnd 12997   MndHom cmhm 13029   GrpHom cghm 13310  mulGrpcmgp 13416  1_rcur 13455  Ringcrg 13492   RingHom crh 13646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-map 6704  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-mhm 13031  df-grp 13075  df-ghm 13311  df-mgp 13417  df-ur 13456  df-ring 13494  df-rhm 13648

This theorem is referenced by:  isrhmd  13662  rhmopp  13672  qusrhm  14024  mulgrhm  14097