Theorem ghmmulg 13667

Description: A group homomorphism preserves group multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmmulg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ghmmulg.s	⊢ · = (.g‘𝐺)
ghmmulg.t	⊢ × = (.g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
ghmmulg	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹‘𝑋)))

Proof of Theorem ghmmulg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmmhm 13664	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
2		ghmmulg.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		ghmmulg.s	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝐺)
4		ghmmulg.t	. . . . . . 7 ⊢ × = (.g‘𝐻)
5	2, 3, 4	mhmmulg 13574	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹‘𝑋)))
6	1, 5	syl3an1 1283	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹‘𝑋)))
7	6	3expa 1206	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹‘𝑋)))
8	7	an32s 568	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹‘𝑋)))
9	8	3adantl2 1157	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹‘𝑋)))
10		simpl1 1003	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
11	10, 1	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
12		nnnn0 9322	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℕ0)
13	12	ad2antll 491	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℕ0)
14		simpl3 1005	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
15	2, 3, 4	mhmmulg 13574	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(-𝑁 · 𝑋)) = (-𝑁 × (𝐹‘𝑋)))
16	11, 13, 14, 15	syl3anc 1250	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(-𝑁 · 𝑋)) = (-𝑁 × (𝐹‘𝑋)))
17	16	fveq2d 5593	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘(-𝑁 · 𝑋))) = ((invg‘𝐻)‘(-𝑁 × (𝐹‘𝑋))))
18		ghmgrp1 13656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐺 ∈ Grp)
19	10, 18	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐺 ∈ Grp)
20		nnz 9411	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
21	20	ad2antll 491	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℤ)
22	2, 3	mulgcl 13550	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
23	19, 21, 14, 22	syl3anc 1250	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
24		eqid 2206	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
25		eqid 2206	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝐻) = (invg‘𝐻)
26	2, 24, 25	ghminv 13661	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐹‘((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋))) = ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘(-𝑁 · 𝑋))))
27	10, 23, 26	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹‘((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋))) = ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘(-𝑁 · 𝑋))))
28		ghmgrp2 13657	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐻 ∈ Grp)
29	10, 28	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐻 ∈ Grp)
30		eqid 2206	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
31	2, 30	ghmf 13658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝐻))
32	10, 31	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝐻))
33	32, 14	ffvelcdmd 5729	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝐻))
34	30, 4, 25	mulgneg 13551	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝐻)) → (--𝑁 × (𝐹‘𝑋)) = ((invg‘𝐻)‘(-𝑁 × (𝐹‘𝑋))))
35	29, 21, 33, 34	syl3anc 1250	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 × (𝐹‘𝑋)) = ((invg‘𝐻)‘(-𝑁 × (𝐹‘𝑋))))
36	17, 27, 35	3eqtr4d 2249	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹‘((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋))) = (--𝑁 × (𝐹‘𝑋)))
37	2, 3, 24	mulgneg 13551	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (--𝑁 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋)))
38	19, 21, 14, 37	syl3anc 1250	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋)))
39		simprl 529	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
40	39	recnd 8121	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
41	40	negnegd 8394	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → --𝑁 = 𝑁)
42	41	oveq1d 5972	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
43	38, 42	eqtr3d 2241	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
44	43	fveq2d 5593	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹‘((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑋))) = (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)))
45	36, 44	eqtr3d 2241	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 × (𝐹‘𝑋)) = (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)))
46	41	oveq1d 5972	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 × (𝐹‘𝑋)) = (𝑁 × (𝐹‘𝑋)))
47	45, 46	eqtr3d 2241	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹‘𝑋)))
48		simp2 1001	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
49		elznn0nn 9406	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
50	48, 49	sylib 122	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
51	9, 47, 50	mpjaodan 800	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 × (𝐹‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 710   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ⟶wf 5276  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957  ℝcr 7944  -cneg 8264  ℕcn 9056  ℕ₀cn0 9315  ℤcz 9392  Basecbs 12907   MndHom cmhm 13364  Grpcgrp 13407  inv_gcminusg 13408  ._gcmg 13530   GrpHom cghm 13651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-frec 6490  df-map 6750  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-2 9115  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-seqfrec 10615  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-plusg 12997  df-0g 13165  df-mgm 13263  df-sgrp 13309  df-mnd 13324  df-mhm 13366  df-grp 13410  df-minusg 13411  df-mulg 13531  df-ghm 13652

This theorem is referenced by:  mulgrhm2  14447