Theorem logbgt0b 15139

Description: The logarithm of a positive real number to a real base greater than 1 is positive iff the number is greater than 1. (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
logbgt0b	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → (0 < (𝐵 logb 𝐴) ↔ 1 < 𝐴))

Proof of Theorem logbgt0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 529	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
2		1red 8036	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
3	1	rpred 9765	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		simprr 531	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → 1 < 𝐵)
5	2, 3, 4	gtapd 8658	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → 𝐵 # 1)
6		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
7		rplogbval 15118	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb 𝐴) = ((log‘𝐴) / (log‘𝐵)))
8	1, 5, 6, 7	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐵 logb 𝐴) = ((log‘𝐴) / (log‘𝐵)))
9	8	breq2d 4042	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → (0 < (𝐵 logb 𝐴) ↔ 0 < ((log‘𝐴) / (log‘𝐵))))
10	6	relogcld 15058	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
11	1	relogcld 15058	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
12		loggt0b 15067	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (0 < (log‘𝐵) ↔ 1 < 𝐵))
13	12	biimpar 297	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → 0 < (log‘𝐵))
14	13	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → 0 < (log‘𝐵))
15		gt0div 8891	. . 3 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (log‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘𝐵)) → (0 < (log‘𝐴) ↔ 0 < ((log‘𝐴) / (log‘𝐵))))
16	10, 11, 14, 15	syl3anc 1249	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → (0 < (log‘𝐴) ↔ 0 < ((log‘𝐴) / (log‘𝐵))))
17		loggt0b 15067	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (0 < (log‘𝐴) ↔ 1 < 𝐴))
18	17	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → (0 < (log‘𝐴) ↔ 1 < 𝐴))
19	9, 16, 18	3bitr2d 216	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → (0 < (𝐵 logb 𝐴) ↔ 1 < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4030  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  ℝcr 7873  0cc0 7874  1c1 7875   < clt 8056   # cap 8602   / cdiv 8693  ℝ⁺crp 9722  logclog 15032   log_b clogb 15116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994  ax-pre-suploc 7995  ax-addf 7996  ax-mulf 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-disj 4008  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-of 6132  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-frec 6446  df-1o 6471  df-oadd 6475  df-er 6589  df-map 6706  df-pm 6707  df-en 6797  df-dom 6798  df-fin 6799  df-sup 7045  df-inf 7046  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-xneg 9841  df-xadd 9842  df-ioo 9961  df-ico 9963  df-icc 9964  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-fac 10800  df-bc 10822  df-ihash 10850  df-shft 10962  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-clim 11425  df-sumdc 11500  df-ef 11794  df-e 11795  df-rest 12855  df-topgen 12874  df-psmet 14042  df-xmet 14043  df-met 14044  df-bl 14045  df-mopn 14046  df-top 14177  df-topon 14190  df-bases 14222  df-ntr 14275  df-cn 14367  df-cnp 14368  df-tx 14432  df-cncf 14750  df-limced 14835  df-dvap 14836  df-relog 15034  df-logb 15117

This theorem is referenced by:  logbgcd1irr  15140