Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  logbgt0b GIF version

Theorem logbgt0b 13243
 Description: The logarithm of a positive real number to a real base greater than 1 is positive iff the number is greater than 1. (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
logbgt0b ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → (0 < (𝐵 logb 𝐴) ↔ 1 < 𝐴))

Proof of Theorem logbgt0b
StepHypRef Expression
1 simprl 521 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
2 1red 7876 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
31rpred 9585 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4 simprr 522 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → 1 < 𝐵)
52, 3, 4gtapd 8495 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → 𝐵 # 1)
6 simpl 108 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
7 rplogbval 13222 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 # 1 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb 𝐴) = ((log‘𝐴) / (log‘𝐵)))
81, 5, 6, 7syl3anc 1220 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → (𝐵 logb 𝐴) = ((log‘𝐴) / (log‘𝐵)))
98breq2d 3977 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → (0 < (𝐵 logb 𝐴) ↔ 0 < ((log‘𝐴) / (log‘𝐵))))
106relogcld 13163 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
111relogcld 13163 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
12 loggt0b 13172 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ+ → (0 < (log‘𝐵) ↔ 1 < 𝐵))
1312biimpar 295 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → 0 < (log‘𝐵))
1413adantl 275 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → 0 < (log‘𝐵))
15 gt0div 8724 . . 3 (((log‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (log‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘𝐵)) → (0 < (log‘𝐴) ↔ 0 < ((log‘𝐴) / (log‘𝐵))))
1610, 11, 14, 15syl3anc 1220 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → (0 < (log‘𝐴) ↔ 0 < ((log‘𝐴) / (log‘𝐵))))
17 loggt0b 13172 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (0 < (log‘𝐴) ↔ 1 < 𝐴))
1817adantr 274 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → (0 < (log‘𝐴) ↔ 1 < 𝐴))
199, 16, 183bitr2d 215 1 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → (0 < (𝐵 logb 𝐴) ↔ 1 < 𝐴))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1335   ∈ wcel 2128   class class class wbr 3965  ‘cfv 5167  (class class class)co 5818  ℝcr 7714  0cc0 7715  1c1 7716   < clt 7895   # cap 8439   / cdiv 8528  ℝ+crp 9542  logclog 13137   logb clogb 13220 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833  ax-arch 7834  ax-caucvg 7835  ax-pre-suploc 7836  ax-addf 7837  ax-mulf 7838 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-disj 3943  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-isom 5176  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-of 6026  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-irdg 6311  df-frec 6332  df-1o 6357  df-oadd 6361  df-er 6473  df-map 6588  df-pm 6589  df-en 6679  df-dom 6680  df-fin 6681  df-sup 6920  df-inf 6921  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-2 8875  df-3 8876  df-4 8877  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-q 9511  df-rp 9543  df-xneg 9661  df-xadd 9662  df-ioo 9778  df-ico 9780  df-icc 9781  df-fz 9895  df-fzo 10024  df-seqfrec 10327  df-exp 10401  df-fac 10582  df-bc 10604  df-ihash 10632  df-shft 10697  df-cj 10724  df-re 10725  df-im 10726  df-rsqrt 10880  df-abs 10881  df-clim 11158  df-sumdc 11233  df-ef 11527  df-e 11528  df-rest 12313  df-topgen 12332  df-psmet 12347  df-xmet 12348  df-met 12349  df-bl 12350  df-mopn 12351  df-top 12356  df-topon 12369  df-bases 12401  df-ntr 12456  df-cn 12548  df-cnp 12549  df-tx 12613  df-cncf 12918  df-limced 12985  df-dvap 12986  df-relog 13139  df-logb 13221 This theorem is referenced by:  logbgcd1irr  13244
 Copyright terms: Public domain W3C validator