ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  logbgcd1irraplemap GIF version

Theorem logbgcd1irraplemap 14054
Description: Lemma for logbgcd1irrap 14055. The result, with the rational number expressed as numerator and denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
logbgcd1irraplem.x (𝜑𝑋 ∈ (ℤ‘2))
logbgcd1irraplem.b (𝜑𝐵 ∈ (ℤ‘2))
logbgcd1irraplem.rp (𝜑 → (𝑋 gcd 𝐵) = 1)
logbgcd1irraplem.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
logbgcd1irraplem.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
logbgcd1irraplemap (𝜑 → (𝐵 logb 𝑋) # (𝑀 / 𝑁))

Proof of Theorem logbgcd1irraplemap
StepHypRef Expression
1 logbgcd1irraplem.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (ℤ‘2))
2 logbgcd1irraplem.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (ℤ‘2))
3 logbgcd1irraplem.rp . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 gcd 𝐵) = 1)
4 logbgcd1irraplem.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 logbgcd1irraplem.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
61, 2, 3, 4, 5logbgcd1irraplemexp 14053 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝑁) # (𝐵𝑀))
7 eluz2nn 9555 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
82, 7syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
98nnrpd 9681 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
10 1red 7963 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
118nnred 8921 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
12 eluz2gt1 9591 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐵)
132, 12syl 14 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < 𝐵)
1410, 11, 13gtapd 8584 . . . . . 6 (𝜑𝐵 # 1)
15 eluz2nn 9555 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (ℤ‘2) → 𝑋 ∈ ℕ)
161, 15syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℕ)
1716nnrpd 9681 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
18 rpcxplogb 14049 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 # 1 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
199, 14, 17, 18syl3anc 1238 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
2019oveq1d 5884 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋))↑𝑁) = (𝑋𝑁))
21 znq 9613 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℚ)
224, 5, 21syl2anc 411 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℚ)
23 qre 9614 . . . . . . 7 ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℚ → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
2422, 23syl 14 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
255nncnd 8922 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
269, 24, 25cxpmuld 14023 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝑐((𝑀 / 𝑁) · 𝑁)) = ((𝐵𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑐𝑁))
274zcnd 9365 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
285nnap0d 8954 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 # 0)
2927, 25, 28divcanap1d 8737 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀 / 𝑁) · 𝑁) = 𝑀)
3029oveq2d 5885 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝑐((𝑀 / 𝑁) · 𝑁)) = (𝐵𝑐𝑀))
31 cxpexpnn 13984 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐵𝑐𝑀) = (𝐵𝑀))
328, 4, 31syl2anc 411 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝑐𝑀) = (𝐵𝑀))
3330, 32eqtrd 2210 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝑐((𝑀 / 𝑁) · 𝑁)) = (𝐵𝑀))
349, 24rpcxpcld 14019 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝑐(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℝ+)
355nnzd 9363 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
36 cxpexprp 13983 . . . . . 6 (((𝐵𝑐(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐵𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑐𝑁) = ((𝐵𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑁))
3734, 35, 36syl2anc 411 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑐𝑁) = ((𝐵𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑁))
3826, 33, 373eqtr3rd 2219 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑁) = (𝐵𝑀))
396, 20, 383brtr4d 4032 . . 3 (𝜑 → ((𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋))↑𝑁) # ((𝐵𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑁))
40 relogbzcl 14037 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ)
412, 17, 40syl2anc 411 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ)
4241recnd 7976 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℂ)
439, 42rpcncxpcld 14014 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋)) ∈ ℂ)
44 qcn 9623 . . . . . 6 ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℚ → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℂ)
4522, 44syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℂ)
469, 45rpcncxpcld 14014 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝑐(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ)
47 apexp1 10682 . . . 4 (((𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋)) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑐(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋))↑𝑁) # ((𝐵𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑁) → (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋)) # (𝐵𝑐(𝑀 / 𝑁))))
4843, 46, 5, 47syl3anc 1238 . . 3 (𝜑 → (((𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋))↑𝑁) # ((𝐵𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑁) → (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋)) # (𝐵𝑐(𝑀 / 𝑁))))
4939, 48mpd 13 . 2 (𝜑 → (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋)) # (𝐵𝑐(𝑀 / 𝑁)))
50 apcxp2 14025 . . 3 (((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 # 1) ∧ ((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)) → ((𝐵 logb 𝑋) # (𝑀 / 𝑁) ↔ (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋)) # (𝐵𝑐(𝑀 / 𝑁))))
519, 14, 41, 24, 50syl22anc 1239 . 2 (𝜑 → ((𝐵 logb 𝑋) # (𝑀 / 𝑁) ↔ (𝐵𝑐(𝐵 logb 𝑋)) # (𝐵𝑐(𝑀 / 𝑁))))
5249, 51mpbird 167 1 (𝜑 → (𝐵 logb 𝑋) # (𝑀 / 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4000  cfv 5212  (class class class)co 5869  cc 7800  cr 7801  1c1 7803   · cmul 7807   < clt 7982   # cap 8528   / cdiv 8618  cn 8908  2c2 8959  cz 9242  cuz 9517  cq 9608  +crp 9640  cexp 10505   gcd cgcd 11926  𝑐ccxp 13945   logb clogb 14028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922  ax-pre-suploc 7923  ax-addf 7924  ax-mulf 7925
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-disj 3978  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-of 6077  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-2o 6412  df-oadd 6415  df-er 6529  df-map 6644  df-pm 6645  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-xneg 9759  df-xadd 9760  df-ioo 9879  df-ico 9881  df-icc 9882  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-fl 10256  df-mod 10309  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-fac 10690  df-bc 10712  df-ihash 10740  df-shft 10808  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-sumdc 11346  df-ef 11640  df-e 11641  df-dvds 11779  df-gcd 11927  df-prm 12091  df-rest 12638  df-topgen 12657  df-psmet 13154  df-xmet 13155  df-met 13156  df-bl 13157  df-mopn 13158  df-top 13163  df-topon 13176  df-bases 13208  df-ntr 13263  df-cn 13355  df-cnp 13356  df-tx 13420  df-cncf 13725  df-limced 13792  df-dvap 13793  df-relog 13946  df-rpcxp 13947  df-logb 14029
This theorem is referenced by:  logbgcd1irrap  14055
  Copyright terms: Public domain W3C validator