Theorem logbgcd1irraplemap 14847

Description: Lemma for logbgcd1irrap 14848. The result, with the rational number expressed as numerator and denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
logbgcd1irraplem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
logbgcd1irraplem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2))
logbgcd1irraplem.rp	⊢ (𝜑 → (𝑋 gcd 𝐵) = 1)
logbgcd1irraplem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
logbgcd1irraplem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
logbgcd1irraplemap	⊢ (𝜑 → (𝐵 logb 𝑋) # (𝑀 / 𝑁))

Proof of Theorem logbgcd1irraplemap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logbgcd1irraplem.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
2		logbgcd1irraplem.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2))
3		logbgcd1irraplem.rp	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 gcd 𝐵) = 1)
4		logbgcd1irraplem.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		logbgcd1irraplem.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	1, 2, 3, 4, 5	logbgcd1irraplemexp 14846	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑𝑁) # (𝐵↑𝑀))
7		eluz2nn 9596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
8	2, 7	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
9	8	nnrpd 9724	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
10		1red 8002	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
11	8	nnred 8962	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
12		eluz2gt1 9632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐵)
13	2, 12	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐵)
14	10, 11, 13	gtapd 8624	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 # 1)
15		eluz2nn 9596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑋 ∈ ℕ)
16	1, 15	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
17	16	nnrpd 9724	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
18		rpcxplogb 14842	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
19	9, 14, 17, 18	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
20	19	oveq1d 5911	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋))↑𝑁) = (𝑋↑𝑁))
21		znq 9654	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℚ)
22	4, 5, 21	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℚ)
23		qre 9655	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℚ → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
24	22, 23	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
25	5	nncnd 8963	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
26	9, 24, 25	cxpmuld 14816	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐((𝑀 / 𝑁) · 𝑁)) = ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑐𝑁))
27	4	zcnd 9406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
28	5	nnap0d 8995	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 # 0)
29	27, 25, 28	divcanap1d 8778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 𝑁) · 𝑁) = 𝑀)
30	29	oveq2d 5912	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐((𝑀 / 𝑁) · 𝑁)) = (𝐵↑𝑐𝑀))
31		cxpexpnn 14777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐵↑𝑐𝑀) = (𝐵↑𝑀))
32	8, 4, 31	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐𝑀) = (𝐵↑𝑀))
33	30, 32	eqtrd 2222	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐((𝑀 / 𝑁) · 𝑁)) = (𝐵↑𝑀))
34	9, 24	rpcxpcld 14812	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℝ+)
35	5	nnzd 9404	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
36		cxpexprp 14776	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑐𝑁) = ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑁))
37	34, 35, 36	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑐𝑁) = ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑁))
38	26, 33, 37	3eqtr3rd 2231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑁) = (𝐵↑𝑀))
39	6, 20, 38	3brtr4d 4050	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋))↑𝑁) # ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑁))
40		relogbzcl 14830	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ)
41	2, 17, 40	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ)
42	41	recnd 8016	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℂ)
43	9, 42	rpcncxpcld 14807	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) ∈ ℂ)
44		qcn 9664	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℚ → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℂ)
45	22, 44	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℂ)
46	9, 45	rpcncxpcld 14807	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ)
47		apexp1 10730	. . . 4 ⊢ (((𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) ∈ ℂ ∧ (𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋))↑𝑁) # ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑁) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) # (𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))))
48	43, 46, 5, 47	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋))↑𝑁) # ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑁) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) # (𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))))
49	39, 48	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) # (𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁)))
50		apcxp2 14818	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1) ∧ ((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)) → ((𝐵 logb 𝑋) # (𝑀 / 𝑁) ↔ (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) # (𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))))
51	9, 14, 41, 24, 50	syl22anc 1250	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 logb 𝑋) # (𝑀 / 𝑁) ↔ (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) # (𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))))
52	49, 51	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 logb 𝑋) # (𝑀 / 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  ‘cfv 5235  (class class class)co 5896  ℂcc 7839  ℝcr 7840  1c1 7842   · cmul 7846   < clt 8022   # cap 8568   / cdiv 8659  ℕcn 8949  2c2 9000  ℤcz 9283  ℤ_≥cuz 9558  ℚcq 9649  ℝ⁺crp 9683  ↑cexp 10550   gcd cgcd 11975  ↑_𝑐ccxp 14738   log_b clogb 14821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961  ax-pre-suploc 7962  ax-addf 7963  ax-mulf 7964

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-disj 3996  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-of 6106  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-irdg 6395  df-frec 6416  df-1o 6441  df-2o 6442  df-oadd 6445  df-er 6559  df-map 6676  df-pm 6677  df-en 6767  df-dom 6768  df-fin 6769  df-sup 7013  df-inf 7014  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-q 9650  df-rp 9684  df-xneg 9802  df-xadd 9803  df-ioo 9922  df-ico 9924  df-icc 9925  df-fz 10039  df-fzo 10173  df-fl 10301  df-mod 10354  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-fac 10738  df-bc 10760  df-ihash 10788  df-shft 10856  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040  df-clim 11319  df-sumdc 11394  df-ef 11688  df-e 11689  df-dvds 11827  df-gcd 11976  df-prm 12140  df-rest 12746  df-topgen 12765  df-psmet 13856  df-xmet 13857  df-met 13858  df-bl 13859  df-mopn 13860  df-top 13958  df-topon 13971  df-bases 14003  df-ntr 14056  df-cn 14148  df-cnp 14149  df-tx 14213  df-cncf 14518  df-limced 14585  df-dvap 14586  df-relog 14739  df-rpcxp 14740  df-logb 14822

This theorem is referenced by:  logbgcd1irrap  14848