Theorem logbgcd1irraplemap 15291

Description: Lemma for logbgcd1irrap 15292. The result, with the rational number expressed as numerator and denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
logbgcd1irraplem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
logbgcd1irraplem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2))
logbgcd1irraplem.rp	⊢ (𝜑 → (𝑋 gcd 𝐵) = 1)
logbgcd1irraplem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
logbgcd1irraplem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
logbgcd1irraplemap	⊢ (𝜑 → (𝐵 logb 𝑋) # (𝑀 / 𝑁))

Proof of Theorem logbgcd1irraplemap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logbgcd1irraplem.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
2		logbgcd1irraplem.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2))
3		logbgcd1irraplem.rp	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 gcd 𝐵) = 1)
4		logbgcd1irraplem.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		logbgcd1irraplem.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	1, 2, 3, 4, 5	logbgcd1irraplemexp 15290	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑𝑁) # (𝐵↑𝑀))
7		eluz2nn 9659	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
8	2, 7	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
9	8	nnrpd 9788	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
10		1red 8060	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
11	8	nnred 9022	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
12		eluz2gt1 9695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐵)
13	2, 12	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐵)
14	10, 11, 13	gtapd 8683	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 # 1)
15		eluz2nn 9659	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑋 ∈ ℕ)
16	1, 15	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
17	16	nnrpd 9788	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
18		rpcxplogb 15286	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
19	9, 14, 17, 18	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
20	19	oveq1d 5940	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋))↑𝑁) = (𝑋↑𝑁))
21		znq 9717	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℚ)
22	4, 5, 21	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℚ)
23		qre 9718	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℚ → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
24	22, 23	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
25	5	nncnd 9023	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
26	9, 24, 25	cxpmuld 15259	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐((𝑀 / 𝑁) · 𝑁)) = ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑐𝑁))
27	4	zcnd 9468	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
28	5	nnap0d 9055	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 # 0)
29	27, 25, 28	divcanap1d 8837	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 𝑁) · 𝑁) = 𝑀)
30	29	oveq2d 5941	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐((𝑀 / 𝑁) · 𝑁)) = (𝐵↑𝑐𝑀))
31		cxpexpnn 15218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐵↑𝑐𝑀) = (𝐵↑𝑀))
32	8, 4, 31	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐𝑀) = (𝐵↑𝑀))
33	30, 32	eqtrd 2229	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐((𝑀 / 𝑁) · 𝑁)) = (𝐵↑𝑀))
34	9, 24	rpcxpcld 15255	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℝ+)
35	5	nnzd 9466	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
36		cxpexprp 15217	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑐𝑁) = ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑁))
37	34, 35, 36	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑐𝑁) = ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑁))
38	26, 33, 37	3eqtr3rd 2238	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑁) = (𝐵↑𝑀))
39	6, 20, 38	3brtr4d 4066	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋))↑𝑁) # ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑁))
40		relogbzcl 15274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ)
41	2, 17, 40	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ)
42	41	recnd 8074	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℂ)
43	9, 42	rpcncxpcld 15249	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) ∈ ℂ)
44		qcn 9727	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℚ → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℂ)
45	22, 44	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℂ)
46	9, 45	rpcncxpcld 15249	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ)
47		apexp1 10829	. . . 4 ⊢ (((𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) ∈ ℂ ∧ (𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋))↑𝑁) # ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑁) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) # (𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))))
48	43, 46, 5, 47	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋))↑𝑁) # ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑁) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) # (𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))))
49	39, 48	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) # (𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁)))
50		apcxp2 15261	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1) ∧ ((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)) → ((𝐵 logb 𝑋) # (𝑀 / 𝑁) ↔ (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) # (𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))))
51	9, 14, 41, 24, 50	syl22anc 1250	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 logb 𝑋) # (𝑀 / 𝑁) ↔ (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) # (𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))))
52	49, 51	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 logb 𝑋) # (𝑀 / 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ℂcc 7896  ℝcr 7897  1c1 7899   · cmul 7903   < clt 8080   # cap 8627   / cdiv 8718  ℕcn 9009  2c2 9060  ℤcz 9345  ℤ_≥cuz 9620  ℚcq 9712  ℝ⁺crp 9747  ↑cexp 10649   gcd cgcd 12147  ↑_𝑐ccxp 15179   log_b clogb 15265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015  ax-pre-mulext 8016  ax-arch 8017  ax-caucvg 8018  ax-pre-suploc 8019  ax-addf 8020  ax-mulf 8021

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-disj 4012  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-of 6139  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-2o 6484  df-oadd 6487  df-er 6601  df-map 6718  df-pm 6719  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-ap 8628  df-div 8719  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070  df-n0 9269  df-z 9346  df-uz 9621  df-q 9713  df-rp 9748  df-xneg 9866  df-xadd 9867  df-ioo 9986  df-ico 9988  df-icc 9989  df-fz 10103  df-fzo 10237  df-fl 10379  df-mod 10434  df-seqfrec 10559  df-exp 10650  df-fac 10837  df-bc 10859  df-ihash 10887  df-shft 10999  df-cj 11026  df-re 11027  df-im 11028  df-rsqrt 11182  df-abs 11183  df-clim 11463  df-sumdc 11538  df-ef 11832  df-e 11833  df-dvds 11972  df-gcd 12148  df-prm 12303  df-rest 12945  df-topgen 12964  df-psmet 14177  df-xmet 14178  df-met 14179  df-bl 14180  df-mopn 14181  df-top 14320  df-topon 14333  df-bases 14365  df-ntr 14418  df-cn 14510  df-cnp 14511  df-tx 14575  df-cncf 14893  df-limced 14978  df-dvap 14979  df-relog 15180  df-rpcxp 15181  df-logb 15266

This theorem is referenced by:  logbgcd1irrap  15292