Theorem logbgcd1irraplemap 13967

Description: Lemma for logbgcd1irrap 13968. The result, with the rational number expressed as numerator and denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
logbgcd1irraplem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
logbgcd1irraplem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2))
logbgcd1irraplem.rp	⊢ (𝜑 → (𝑋 gcd 𝐵) = 1)
logbgcd1irraplem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
logbgcd1irraplem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
logbgcd1irraplemap	⊢ (𝜑 → (𝐵 logb 𝑋) # (𝑀 / 𝑁))

Proof of Theorem logbgcd1irraplemap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logbgcd1irraplem.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
2		logbgcd1irraplem.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2))
3		logbgcd1irraplem.rp	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 gcd 𝐵) = 1)
4		logbgcd1irraplem.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		logbgcd1irraplem.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	1, 2, 3, 4, 5	logbgcd1irraplemexp 13966	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑𝑁) # (𝐵↑𝑀))
7		eluz2nn 9539	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
8	2, 7	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
9	8	nnrpd 9665	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
10		1red 7947	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
11	8	nnred 8905	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
12		eluz2gt1 9575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐵)
13	2, 12	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐵)
14	10, 11, 13	gtapd 8568	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 # 1)
15		eluz2nn 9539	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑋 ∈ ℕ)
16	1, 15	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
17	16	nnrpd 9665	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
18		rpcxplogb 13962	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
19	9, 14, 17, 18	syl3anc 1238	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
20	19	oveq1d 5880	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋))↑𝑁) = (𝑋↑𝑁))
21		znq 9597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℚ)
22	4, 5, 21	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℚ)
23		qre 9598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℚ → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
24	22, 23	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
25	5	nncnd 8906	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
26	9, 24, 25	cxpmuld 13936	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐((𝑀 / 𝑁) · 𝑁)) = ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑐𝑁))
27	4	zcnd 9349	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
28	5	nnap0d 8938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 # 0)
29	27, 25, 28	divcanap1d 8721	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 𝑁) · 𝑁) = 𝑀)
30	29	oveq2d 5881	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐((𝑀 / 𝑁) · 𝑁)) = (𝐵↑𝑐𝑀))
31		cxpexpnn 13897	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐵↑𝑐𝑀) = (𝐵↑𝑀))
32	8, 4, 31	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐𝑀) = (𝐵↑𝑀))
33	30, 32	eqtrd 2208	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐((𝑀 / 𝑁) · 𝑁)) = (𝐵↑𝑀))
34	9, 24	rpcxpcld 13932	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℝ+)
35	5	nnzd 9347	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
36		cxpexprp 13896	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑐𝑁) = ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑁))
37	34, 35, 36	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑐𝑁) = ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑁))
38	26, 33, 37	3eqtr3rd 2217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑁) = (𝐵↑𝑀))
39	6, 20, 38	3brtr4d 4030	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋))↑𝑁) # ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑁))
40		relogbzcl 13950	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ)
41	2, 17, 40	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ)
42	41	recnd 7960	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℂ)
43	9, 42	rpcncxpcld 13927	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) ∈ ℂ)
44		qcn 9607	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℚ → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℂ)
45	22, 44	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℂ)
46	9, 45	rpcncxpcld 13927	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ)
47		apexp1 10666	. . . 4 ⊢ (((𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) ∈ ℂ ∧ (𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋))↑𝑁) # ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑁) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) # (𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))))
48	43, 46, 5, 47	syl3anc 1238	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋))↑𝑁) # ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑁) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) # (𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))))
49	39, 48	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) # (𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁)))
50		apcxp2 13938	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1) ∧ ((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)) → ((𝐵 logb 𝑋) # (𝑀 / 𝑁) ↔ (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) # (𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))))
51	9, 14, 41, 24, 50	syl22anc 1239	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 logb 𝑋) # (𝑀 / 𝑁) ↔ (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) # (𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))))
52	49, 51	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 logb 𝑋) # (𝑀 / 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2146   class class class wbr 3998  ‘cfv 5208  (class class class)co 5865  ℂcc 7784  ℝcr 7785  1c1 7787   · cmul 7791   < clt 7966   # cap 8512   / cdiv 8602  ℕcn 8892  2c2 8943  ℤcz 9226  ℤ_≥cuz 9501  ℚcq 9592  ℝ⁺crp 9624  ↑cexp 10489   gcd cgcd 11910  ↑_𝑐ccxp 13858   log_b clogb 13941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906  ax-pre-suploc 7907  ax-addf 7908  ax-mulf 7909

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-disj 3976  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-of 6073  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-frec 6382  df-1o 6407  df-2o 6408  df-oadd 6411  df-er 6525  df-map 6640  df-pm 6641  df-en 6731  df-dom 6732  df-fin 6733  df-sup 6973  df-inf 6974  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-q 9593  df-rp 9625  df-xneg 9743  df-xadd 9744  df-ioo 9863  df-ico 9865  df-icc 9866  df-fz 9980  df-fzo 10113  df-fl 10240  df-mod 10293  df-seqfrec 10416  df-exp 10490  df-fac 10674  df-bc 10696  df-ihash 10724  df-shft 10792  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976  df-clim 11255  df-sumdc 11330  df-ef 11624  df-e 11625  df-dvds 11763  df-gcd 11911  df-prm 12075  df-rest 12621  df-topgen 12640  df-psmet 13067  df-xmet 13068  df-met 13069  df-bl 13070  df-mopn 13071  df-top 13076  df-topon 13089  df-bases 13121  df-ntr 13176  df-cn 13268  df-cnp 13269  df-tx 13333  df-cncf 13638  df-limced 13705  df-dvap 13706  df-relog 13859  df-rpcxp 13860  df-logb 13942

This theorem is referenced by:  logbgcd1irrap  13968