Theorem logbgcd1irraplemap 16054

Description: Lemma for logbgcd1irrap 16055. The result, with the rational number expressed as numerator and denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
logbgcd1irraplem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
logbgcd1irraplem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2))
logbgcd1irraplem.rp	⊢ (𝜑 → (𝑋 gcd 𝐵) = 1)
logbgcd1irraplem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
logbgcd1irraplem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
logbgcd1irraplemap	⊢ (𝜑 → (𝐵 logb 𝑋) # (𝑀 / 𝑁))

Proof of Theorem logbgcd1irraplemap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logbgcd1irraplem.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
2		logbgcd1irraplem.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2))
3		logbgcd1irraplem.rp	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 gcd 𝐵) = 1)
4		logbgcd1irraplem.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		logbgcd1irraplem.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	1, 2, 3, 4, 5	logbgcd1irraplemexp 16053	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑𝑁) # (𝐵↑𝑀))
7		eluz2nn 9949	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
8	2, 7	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
9	8	nnrpd 10078	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
10		1red 8335	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
11	8	nnred 9300	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
12		eluz2gt1 9985	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐵)
13	2, 12	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐵)
14	10, 11, 13	gtapd 8959	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 # 1)
15		eluz2nn 9949	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑋 ∈ ℕ)
16	1, 15	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
17	16	nnrpd 10078	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
18		rpcxplogb 16049	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
19	9, 14, 17, 18	syl3anc 1278	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
20	19	oveq1d 6094	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋))↑𝑁) = (𝑋↑𝑁))
21		znq 10007	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℚ)
22	4, 5, 21	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℚ)
23		qre 10008	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℚ → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
24	22, 23	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
25	5	nncnd 9301	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
26	9, 24, 25	cxpmuld 16022	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐((𝑀 / 𝑁) · 𝑁)) = ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑐𝑁))
27	4	zcnd 9752	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
28	5	nnap0d 9333	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 # 0)
29	27, 25, 28	divcanap1d 9115	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 𝑁) · 𝑁) = 𝑀)
30	29	oveq2d 6095	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐((𝑀 / 𝑁) · 𝑁)) = (𝐵↑𝑐𝑀))
31		cxpexpnn 15981	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐵↑𝑐𝑀) = (𝐵↑𝑀))
32	8, 4, 31	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐𝑀) = (𝐵↑𝑀))
33	30, 32	eqtrd 2271	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐((𝑀 / 𝑁) · 𝑁)) = (𝐵↑𝑀))
34	9, 24	rpcxpcld 16018	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℝ+)
35	5	nnzd 9750	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
36		cxpexprp 15980	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑐𝑁) = ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑁))
37	34, 35, 36	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑐𝑁) = ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑁))
38	26, 33, 37	3eqtr3rd 2280	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑁) = (𝐵↑𝑀))
39	6, 20, 38	3brtr4d 4160	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋))↑𝑁) # ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑁))
40		relogbzcl 16037	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ)
41	2, 17, 40	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ)
42	41	recnd 8348	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℂ)
43	9, 42	rpcncxpcld 16012	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) ∈ ℂ)
44		qcn 10017	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℚ → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℂ)
45	22, 44	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℂ)
46	9, 45	rpcncxpcld 16012	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ)
47		apexp1 11139	. . . 4 ⊢ (((𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) ∈ ℂ ∧ (𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋))↑𝑁) # ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑁) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) # (𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))))
48	43, 46, 5, 47	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋))↑𝑁) # ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑁) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) # (𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))))
49	39, 48	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) # (𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁)))
50		apcxp2 16024	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1) ∧ ((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)) → ((𝐵 logb 𝑋) # (𝑀 / 𝑁) ↔ (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) # (𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))))
51	9, 14, 41, 24, 50	syl22anc 1279	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 logb 𝑋) # (𝑀 / 𝑁) ↔ (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) # (𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))))
52	49, 51	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 logb 𝑋) # (𝑀 / 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  ℂcc 8171  ℝcr 8172  1c1 8174   · cmul 8178   < clt 8354   # cap 8903   / cdiv 8996  ℕcn 9287  2c2 9338  ℤcz 9627  ℤ_≥cuz 9904  ℚcq 10002  ℝ⁺crp 10037  ↑cexp 10958   gcd cgcd 12713  ↑_𝑐ccxp 15941   log_b clogb 16028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293  ax-pre-suploc 8294  ax-addf 8295  ax-mulf 8296

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-disj 4105  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-isom 5384  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-of 6296  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-frec 6656  df-1o 6681  df-2o 6682  df-oadd 6685  df-er 6801  df-map 6918  df-pm 6919  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-sup 7318  df-inf 7319  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-xneg 10157  df-xadd 10158  df-ioo 10277  df-ico 10279  df-icc 10280  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-fl 10688  df-mod 10743  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-fac 11147  df-bc 11169  df-ihash 11198  df-shft 11563  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-clim 12028  df-sumdc 12103  df-ef 12398  df-e 12399  df-dvds 12538  df-gcd 12714  df-prm 12869  df-rest 13578  df-topgen 13597  df-psmet 14863  df-xmet 14864  df-met 14865  df-bl 14866  df-mopn 14867  df-top 15082  df-topon 15095  df-bases 15127  df-ntr 15180  df-cn 15272  df-cnp 15273  df-tx 15337  df-cncf 15655  df-limced 15740  df-dvap 15741  df-relog 15942  df-rpcxp 15943  df-logb 16029

This theorem is referenced by:  logbgcd1irrap  16055