Theorem logbgcd1irraplemap 15485

Description: Lemma for logbgcd1irrap 15486. The result, with the rational number expressed as numerator and denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
logbgcd1irraplem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
logbgcd1irraplem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2))
logbgcd1irraplem.rp	⊢ (𝜑 → (𝑋 gcd 𝐵) = 1)
logbgcd1irraplem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
logbgcd1irraplem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
logbgcd1irraplemap	⊢ (𝜑 → (𝐵 logb 𝑋) # (𝑀 / 𝑁))

Proof of Theorem logbgcd1irraplemap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logbgcd1irraplem.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
2		logbgcd1irraplem.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2))
3		logbgcd1irraplem.rp	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 gcd 𝐵) = 1)
4		logbgcd1irraplem.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		logbgcd1irraplem.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	1, 2, 3, 4, 5	logbgcd1irraplemexp 15484	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋↑𝑁) # (𝐵↑𝑀))
7		eluz2nn 9694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
8	2, 7	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
9	8	nnrpd 9823	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
10		1red 8094	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
11	8	nnred 9056	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
12		eluz2gt1 9730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐵)
13	2, 12	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐵)
14	10, 11, 13	gtapd 8717	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 # 1)
15		eluz2nn 9694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑋 ∈ ℕ)
16	1, 15	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
17	16	nnrpd 9823	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
18		rpcxplogb 15480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1 ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
19	9, 14, 17, 18	syl3anc 1250	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
20	19	oveq1d 5966	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋))↑𝑁) = (𝑋↑𝑁))
21		znq 9752	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℚ)
22	4, 5, 21	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℚ)
23		qre 9753	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℚ → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
24	22, 23	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
25	5	nncnd 9057	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
26	9, 24, 25	cxpmuld 15453	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐((𝑀 / 𝑁) · 𝑁)) = ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑐𝑁))
27	4	zcnd 9503	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
28	5	nnap0d 9089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 # 0)
29	27, 25, 28	divcanap1d 8871	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 𝑁) · 𝑁) = 𝑀)
30	29	oveq2d 5967	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐((𝑀 / 𝑁) · 𝑁)) = (𝐵↑𝑐𝑀))
31		cxpexpnn 15412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐵↑𝑐𝑀) = (𝐵↑𝑀))
32	8, 4, 31	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐𝑀) = (𝐵↑𝑀))
33	30, 32	eqtrd 2239	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐((𝑀 / 𝑁) · 𝑁)) = (𝐵↑𝑀))
34	9, 24	rpcxpcld 15449	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℝ+)
35	5	nnzd 9501	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
36		cxpexprp 15411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑐𝑁) = ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑁))
37	34, 35, 36	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑐𝑁) = ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑁))
38	26, 33, 37	3eqtr3rd 2248	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑁) = (𝐵↑𝑀))
39	6, 20, 38	3brtr4d 4079	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋))↑𝑁) # ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑁))
40		relogbzcl 15468	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ)
41	2, 17, 40	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ)
42	41	recnd 8108	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℂ)
43	9, 42	rpcncxpcld 15443	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) ∈ ℂ)
44		qcn 9762	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℚ → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℂ)
45	22, 44	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℂ)
46	9, 45	rpcncxpcld 15443	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ)
47		apexp1 10870	. . . 4 ⊢ (((𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) ∈ ℂ ∧ (𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋))↑𝑁) # ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑁) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) # (𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))))
48	43, 46, 5, 47	syl3anc 1250	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋))↑𝑁) # ((𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))↑𝑁) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) # (𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))))
49	39, 48	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) # (𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁)))
50		apcxp2 15455	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1) ∧ ((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)) → ((𝐵 logb 𝑋) # (𝑀 / 𝑁) ↔ (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) # (𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))))
51	9, 14, 41, 24, 50	syl22anc 1251	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 logb 𝑋) # (𝑀 / 𝑁) ↔ (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) # (𝐵↑𝑐(𝑀 / 𝑁))))
52	49, 51	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 logb 𝑋) # (𝑀 / 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4047  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951  ℂcc 7930  ℝcr 7931  1c1 7933   · cmul 7937   < clt 8114   # cap 8661   / cdiv 8752  ℕcn 9043  2c2 9094  ℤcz 9379  ℤ_≥cuz 9655  ℚcq 9747  ℝ⁺crp 9782  ↑cexp 10690   gcd cgcd 12318  ↑_𝑐ccxp 15373   log_b clogb 15459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050  ax-arch 8051  ax-caucvg 8052  ax-pre-suploc 8053  ax-addf 8054  ax-mulf 8055

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-disj 4024  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-isom 5285  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-of 6165  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-irdg 6463  df-frec 6484  df-1o 6509  df-2o 6510  df-oadd 6513  df-er 6627  df-map 6744  df-pm 6745  df-en 6835  df-dom 6836  df-fin 6837  df-sup 7093  df-inf 7094  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656  df-q 9748  df-rp 9783  df-xneg 9901  df-xadd 9902  df-ioo 10021  df-ico 10023  df-icc 10024  df-fz 10138  df-fzo 10272  df-fl 10420  df-mod 10475  df-seqfrec 10600  df-exp 10691  df-fac 10878  df-bc 10900  df-ihash 10928  df-shft 11170  df-cj 11197  df-re 11198  df-im 11199  df-rsqrt 11353  df-abs 11354  df-clim 11634  df-sumdc 11709  df-ef 12003  df-e 12004  df-dvds 12143  df-gcd 12319  df-prm 12474  df-rest 13117  df-topgen 13136  df-psmet 14349  df-xmet 14350  df-met 14351  df-bl 14352  df-mopn 14353  df-top 14514  df-topon 14527  df-bases 14559  df-ntr 14612  df-cn 14704  df-cnp 14705  df-tx 14769  df-cncf 15087  df-limced 15172  df-dvap 15173  df-relog 15374  df-rpcxp 15375  df-logb 15460

This theorem is referenced by:  logbgcd1irrap  15486