ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sqrt2irrap GIF version

Theorem sqrt2irrap 12182
Description: The square root of 2 is irrational. That is, for any rational number, (โˆšโ€˜2) is apart from it. In the absence of excluded middle, we can distinguish between this and "the square root of 2 is not rational" which is sqrt2irr 12164. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
sqrt2irrap (๐‘„ โˆˆ โ„š โ†’ (โˆšโ€˜2) # ๐‘„)

Proof of Theorem sqrt2irrap
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 9624 . . 3 (๐‘„ โˆˆ โ„š โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„• ๐‘„ = (๐‘Ž / ๐‘))
21biimpi 120 . 2 (๐‘„ โˆˆ โ„š โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„• ๐‘„ = (๐‘Ž / ๐‘))
3 simplrl 535 . . . . . . . . 9 (((๐‘„ โˆˆ โ„š โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘„ = (๐‘Ž / ๐‘)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„ค)
43adantr 276 . . . . . . . 8 ((((๐‘„ โˆˆ โ„š โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘„ = (๐‘Ž / ๐‘)) โˆง ๐‘Ž โ‰ค 0) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„ค)
5 simplrr 536 . . . . . . . . 9 (((๐‘„ โˆˆ โ„š โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘„ = (๐‘Ž / ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
65adantr 276 . . . . . . . 8 ((((๐‘„ โˆˆ โ„š โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘„ = (๐‘Ž / ๐‘)) โˆง ๐‘Ž โ‰ค 0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
7 znq 9626 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘Ž / ๐‘) โˆˆ โ„š)
8 qre 9627 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž / ๐‘) โˆˆ โ„š โ†’ (๐‘Ž / ๐‘) โˆˆ โ„)
97, 8syl 14 . . . . . . . 8 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘Ž / ๐‘) โˆˆ โ„)
104, 6, 9syl2anc 411 . . . . . . 7 ((((๐‘„ โˆˆ โ„š โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘„ = (๐‘Ž / ๐‘)) โˆง ๐‘Ž โ‰ค 0) โ†’ (๐‘Ž / ๐‘) โˆˆ โ„)
11 sqrt2re 12165 . . . . . . . 8 (โˆšโ€˜2) โˆˆ โ„
1211a1i 9 . . . . . . 7 ((((๐‘„ โˆˆ โ„š โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘„ = (๐‘Ž / ๐‘)) โˆง ๐‘Ž โ‰ค 0) โ†’ (โˆšโ€˜2) โˆˆ โ„)
13 0red 7960 . . . . . . . 8 ((((๐‘„ โˆˆ โ„š โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘„ = (๐‘Ž / ๐‘)) โˆง ๐‘Ž โ‰ค 0) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
144zcnd 9378 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘„ โˆˆ โ„š โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘„ = (๐‘Ž / ๐‘)) โˆง ๐‘Ž โ‰ค 0) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
156nncnd 8935 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘„ โˆˆ โ„š โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘„ = (๐‘Ž / ๐‘)) โˆง ๐‘Ž โ‰ค 0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
166nnap0d 8967 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘„ โˆˆ โ„š โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘„ = (๐‘Ž / ๐‘)) โˆง ๐‘Ž โ‰ค 0) โ†’ ๐‘ # 0)
1714, 15, 16divrecapd 8752 . . . . . . . . 9 ((((๐‘„ โˆˆ โ„š โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘„ = (๐‘Ž / ๐‘)) โˆง ๐‘Ž โ‰ค 0) โ†’ (๐‘Ž / ๐‘) = (๐‘Ž ยท (1 / ๐‘)))
184zred 9377 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘„ โˆˆ โ„š โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘„ = (๐‘Ž / ๐‘)) โˆง ๐‘Ž โ‰ค 0) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„)
196nnrecred 8968 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘„ โˆˆ โ„š โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘„ = (๐‘Ž / ๐‘)) โˆง ๐‘Ž โ‰ค 0) โ†’ (1 / ๐‘) โˆˆ โ„)
20 simpr 110 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘„ โˆˆ โ„š โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘„ = (๐‘Ž / ๐‘)) โˆง ๐‘Ž โ‰ค 0) โ†’ ๐‘Ž โ‰ค 0)
21 1red 7974 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘„ โˆˆ โ„š โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘„ = (๐‘Ž / ๐‘)) โˆง ๐‘Ž โ‰ค 0) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
226nnrpd 9696 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘„ โˆˆ โ„š โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘„ = (๐‘Ž / ๐‘)) โˆง ๐‘Ž โ‰ค 0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
23 0le1 8440 . . . . . . . . . . . 12 0 โ‰ค 1
2423a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘„ โˆˆ โ„š โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘„ = (๐‘Ž / ๐‘)) โˆง ๐‘Ž โ‰ค 0) โ†’ 0 โ‰ค 1)
2521, 22, 24divge0d 9739 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘„ โˆˆ โ„š โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘„ = (๐‘Ž / ๐‘)) โˆง ๐‘Ž โ‰ค 0) โ†’ 0 โ‰ค (1 / ๐‘))
26 mulle0r 8903 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง (1 / ๐‘) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘Ž โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค (1 / ๐‘))) โ†’ (๐‘Ž ยท (1 / ๐‘)) โ‰ค 0)
2718, 19, 20, 25, 26syl22anc 1239 . . . . . . . . 9 ((((๐‘„ โˆˆ โ„š โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘„ = (๐‘Ž / ๐‘)) โˆง ๐‘Ž โ‰ค 0) โ†’ (๐‘Ž ยท (1 / ๐‘)) โ‰ค 0)
2817, 27eqbrtrd 4027 . . . . . . . 8 ((((๐‘„ โˆˆ โ„š โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘„ = (๐‘Ž / ๐‘)) โˆง ๐‘Ž โ‰ค 0) โ†’ (๐‘Ž / ๐‘) โ‰ค 0)
29 2re 8991 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„
30 2pos 9012 . . . . . . . . . 10 0 < 2
3129, 30sqrtgt0ii 11142 . . . . . . . . 9 0 < (โˆšโ€˜2)
3231a1i 9 . . . . . . . 8 ((((๐‘„ โˆˆ โ„š โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘„ = (๐‘Ž / ๐‘)) โˆง ๐‘Ž โ‰ค 0) โ†’ 0 < (โˆšโ€˜2))
3310, 13, 12, 28, 32lelttrd 8084 . . . . . . 7 ((((๐‘„ โˆˆ โ„š โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘„ = (๐‘Ž / ๐‘)) โˆง ๐‘Ž โ‰ค 0) โ†’ (๐‘Ž / ๐‘) < (โˆšโ€˜2))
3410, 12, 33gtapd 8596 . . . . . 6 ((((๐‘„ โˆˆ โ„š โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘„ = (๐‘Ž / ๐‘)) โˆง ๐‘Ž โ‰ค 0) โ†’ (โˆšโ€˜2) # (๐‘Ž / ๐‘))
353adantr 276 . . . . . . . 8 ((((๐‘„ โˆˆ โ„š โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘„ = (๐‘Ž / ๐‘)) โˆง 0 < ๐‘Ž) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„ค)
36 simpr 110 . . . . . . . 8 ((((๐‘„ โˆˆ โ„š โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘„ = (๐‘Ž / ๐‘)) โˆง 0 < ๐‘Ž) โ†’ 0 < ๐‘Ž)
37 elnnz 9265 . . . . . . . 8 (๐‘Ž โˆˆ โ„• โ†” (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ๐‘Ž))
3835, 36, 37sylanbrc 417 . . . . . . 7 ((((๐‘„ โˆˆ โ„š โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘„ = (๐‘Ž / ๐‘)) โˆง 0 < ๐‘Ž) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„•)
395adantr 276 . . . . . . 7 ((((๐‘„ โˆˆ โ„š โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘„ = (๐‘Ž / ๐‘)) โˆง 0 < ๐‘Ž) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
40 sqrt2irraplemnn 12181 . . . . . . 7 ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆšโ€˜2) # (๐‘Ž / ๐‘))
4138, 39, 40syl2anc 411 . . . . . 6 ((((๐‘„ โˆˆ โ„š โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘„ = (๐‘Ž / ๐‘)) โˆง 0 < ๐‘Ž) โ†’ (โˆšโ€˜2) # (๐‘Ž / ๐‘))
42 0z 9266 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ โ„ค
43 zlelttric 9300 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘Ž โ‰ค 0 โˆจ 0 < ๐‘Ž))
4442, 43mpan2 425 . . . . . . . 8 (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘Ž โ‰ค 0 โˆจ 0 < ๐‘Ž))
4544ad2antrl 490 . . . . . . 7 ((๐‘„ โˆˆ โ„š โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘Ž โ‰ค 0 โˆจ 0 < ๐‘Ž))
4645adantr 276 . . . . . 6 (((๐‘„ โˆˆ โ„š โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘„ = (๐‘Ž / ๐‘)) โ†’ (๐‘Ž โ‰ค 0 โˆจ 0 < ๐‘Ž))
4734, 41, 46mpjaodan 798 . . . . 5 (((๐‘„ โˆˆ โ„š โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘„ = (๐‘Ž / ๐‘)) โ†’ (โˆšโ€˜2) # (๐‘Ž / ๐‘))
48 simpr 110 . . . . 5 (((๐‘„ โˆˆ โ„š โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘„ = (๐‘Ž / ๐‘)) โ†’ ๐‘„ = (๐‘Ž / ๐‘))
4947, 48breqtrrd 4033 . . . 4 (((๐‘„ โˆˆ โ„š โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ๐‘„ = (๐‘Ž / ๐‘)) โ†’ (โˆšโ€˜2) # ๐‘„)
5049ex 115 . . 3 ((๐‘„ โˆˆ โ„š โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘„ = (๐‘Ž / ๐‘) โ†’ (โˆšโ€˜2) # ๐‘„))
5150rexlimdvva 2602 . 2 (๐‘„ โˆˆ โ„š โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„• ๐‘„ = (๐‘Ž / ๐‘) โ†’ (โˆšโ€˜2) # ๐‘„))
522, 51mpd 13 1 (๐‘„ โˆˆ โ„š โ†’ (โˆšโ€˜2) # ๐‘„)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆจ wo 708   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆƒwrex 2456   class class class wbr 4005  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  โ„cr 7812  0cc0 7813  1c1 7814   ยท cmul 7818   < clt 7994   โ‰ค cle 7995   # cap 8540   / cdiv 8631  โ„•cn 8921  2c2 8972  โ„คcz 9255  โ„šcq 9621  โˆšcsqrt 11007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-1o 6419  df-2o 6420  df-er 6537  df-en 6743  df-sup 6985  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-fl 10272  df-mod 10325  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-dvds 11797  df-gcd 11946  df-prm 12110
This theorem is referenced by:  2irrexpqap  14481
  Copyright terms: Public domain W3C validator