Theorem sqrt2irrap 11858

Description: The square root of 2 is irrational. That is, for any rational number, (√‘2) is apart from it. In the absence of excluded middle, we can distinguish between this and "the square root of 2 is not rational" which is sqrt2irr 11840. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sqrt2irrap	⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (√‘2) # 𝑄)

Proof of Theorem sqrt2irrap

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9414	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℕ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏))
2	1	biimpi 119	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℕ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏))
3		simplrl 524	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) → 𝑎 ∈ ℤ)
4	3	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 𝑎 ∈ ℤ)
5		simplrr 525	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℕ)
6	5	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 𝑏 ∈ ℕ)
7		znq 9416	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝑎 / 𝑏) ∈ ℚ)
8		qre 9417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 / 𝑏) ∈ ℚ → (𝑎 / 𝑏) ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝑎 / 𝑏) ∈ ℝ)
10	4, 6, 9	syl2anc 408	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (𝑎 / 𝑏) ∈ ℝ)
11		sqrt2re 11841	. . . . . . . 8 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ
12	11	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (√‘2) ∈ ℝ)
13		0red 7767	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
14	4	zcnd 9174	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 𝑎 ∈ ℂ)
15	6	nncnd 8734	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 𝑏 ∈ ℂ)
16	6	nnap0d 8766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 𝑏 # 0)
17	14, 15, 16	divrecapd 8553	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (𝑎 / 𝑏) = (𝑎 · (1 / 𝑏)))
18	4	zred 9173	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
19	6	nnrecred 8767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (1 / 𝑏) ∈ ℝ)
20		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 𝑎 ≤ 0)
21		1red 7781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 1 ∈ ℝ)
22	6	nnrpd 9482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 𝑏 ∈ ℝ+)
23		0le1 8243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 1
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 0 ≤ 1)
25	21, 22, 24	divge0d 9524	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 0 ≤ (1 / 𝑏))
26		mulle0r 8702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑏) ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (1 / 𝑏))) → (𝑎 · (1 / 𝑏)) ≤ 0)
27	18, 19, 20, 25, 26	syl22anc 1217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (𝑎 · (1 / 𝑏)) ≤ 0)
28	17, 27	eqbrtrd 3950	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (𝑎 / 𝑏) ≤ 0)
29		2re 8790	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
30		2pos 8811	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
31	29, 30	sqrtgt0ii 10903	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < (√‘2)
32	31	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 0 < (√‘2))
33	10, 13, 12, 28, 32	lelttrd 7887	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (𝑎 / 𝑏) < (√‘2))
34	10, 12, 33	gtapd 8399	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (√‘2) # (𝑎 / 𝑏))
35	3	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 0 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℤ)
36		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 0 < 𝑎) → 0 < 𝑎)
37		elnnz 9064	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑎))
38	35, 36, 37	sylanbrc 413	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 0 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℕ)
39	5	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 0 < 𝑎) → 𝑏 ∈ ℕ)
40		sqrt2irraplemnn 11857	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (√‘2) # (𝑎 / 𝑏))
41	38, 39, 40	syl2anc 408	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 0 < 𝑎) → (√‘2) # (𝑎 / 𝑏))
42		0z 9065	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
43		zlelttric 9099	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑎 ≤ 0 ∨ 0 < 𝑎))
44	42, 43	mpan2 421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎 ≤ 0 ∨ 0 < 𝑎))
45	44	ad2antrl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) → (𝑎 ≤ 0 ∨ 0 < 𝑎))
46	45	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) → (𝑎 ≤ 0 ∨ 0 < 𝑎))
47	34, 41, 46	mpjaodan 787	. . . . 5 ⊢ (((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) → (√‘2) # (𝑎 / 𝑏))
48		simpr 109	. . . . 5 ⊢ (((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) → 𝑄 = (𝑎 / 𝑏))
49	47, 48	breqtrrd 3956	. . . 4 ⊢ (((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) → (√‘2) # 𝑄)
50	49	ex 114	. . 3 ⊢ ((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) → (𝑄 = (𝑎 / 𝑏) → (√‘2) # 𝑄))
51	50	rexlimdvva 2557	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℕ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏) → (√‘2) # 𝑄))
52	2, 51	mpd 13	1 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (√‘2) # 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 697   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∃wrex 2417   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℝcr 7619  0cc0 7620  1c1 7621   · cmul 7625   < clt 7800   ≤ cle 7801   # cap 8343   / cdiv 8432  ℕcn 8720  2c2 8771  ℤcz 9054  ℚcq 9411  √csqrt 10768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-xor 1354  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-1o 6313  df-2o 6314  df-er 6429  df-en 6635  df-sup 6871  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-fl 10043  df-mod 10096  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-dvds 11494  df-gcd 11636  df-prm 11789

This theorem is referenced by: (None)