Theorem sqrt2irrap 12179

Description: The square root of 2 is irrational. That is, for any rational number, (√‘2) is apart from it. In the absence of excluded middle, we can distinguish between this and "the square root of 2 is not rational" which is sqrt2irr 12161. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sqrt2irrap	⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (√‘2) # 𝑄)

Proof of Theorem sqrt2irrap

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9621	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℕ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏))
2	1	biimpi 120	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℕ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏))
3		simplrl 535	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) → 𝑎 ∈ ℤ)
4	3	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 𝑎 ∈ ℤ)
5		simplrr 536	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℕ)
6	5	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 𝑏 ∈ ℕ)
7		znq 9623	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝑎 / 𝑏) ∈ ℚ)
8		qre 9624	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 / 𝑏) ∈ ℚ → (𝑎 / 𝑏) ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝑎 / 𝑏) ∈ ℝ)
10	4, 6, 9	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (𝑎 / 𝑏) ∈ ℝ)
11		sqrt2re 12162	. . . . . . . 8 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ
12	11	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (√‘2) ∈ ℝ)
13		0red 7957	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
14	4	zcnd 9375	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 𝑎 ∈ ℂ)
15	6	nncnd 8932	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 𝑏 ∈ ℂ)
16	6	nnap0d 8964	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 𝑏 # 0)
17	14, 15, 16	divrecapd 8749	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (𝑎 / 𝑏) = (𝑎 · (1 / 𝑏)))
18	4	zred 9374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
19	6	nnrecred 8965	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (1 / 𝑏) ∈ ℝ)
20		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 𝑎 ≤ 0)
21		1red 7971	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 1 ∈ ℝ)
22	6	nnrpd 9693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 𝑏 ∈ ℝ+)
23		0le1 8437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 1
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 0 ≤ 1)
25	21, 22, 24	divge0d 9736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 0 ≤ (1 / 𝑏))
26		mulle0r 8900	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑏) ∈ ℝ) ∧ (𝑎 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (1 / 𝑏))) → (𝑎 · (1 / 𝑏)) ≤ 0)
27	18, 19, 20, 25, 26	syl22anc 1239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (𝑎 · (1 / 𝑏)) ≤ 0)
28	17, 27	eqbrtrd 4025	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (𝑎 / 𝑏) ≤ 0)
29		2re 8988	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
30		2pos 9009	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
31	29, 30	sqrtgt0ii 11139	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < (√‘2)
32	31	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 0 < (√‘2))
33	10, 13, 12, 28, 32	lelttrd 8081	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (𝑎 / 𝑏) < (√‘2))
34	10, 12, 33	gtapd 8593	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (√‘2) # (𝑎 / 𝑏))
35	3	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 0 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℤ)
36		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 0 < 𝑎) → 0 < 𝑎)
37		elnnz 9262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑎))
38	35, 36, 37	sylanbrc 417	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 0 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℕ)
39	5	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 0 < 𝑎) → 𝑏 ∈ ℕ)
40		sqrt2irraplemnn 12178	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (√‘2) # (𝑎 / 𝑏))
41	38, 39, 40	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) ∧ 0 < 𝑎) → (√‘2) # (𝑎 / 𝑏))
42		0z 9263	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
43		zlelttric 9297	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑎 ≤ 0 ∨ 0 < 𝑎))
44	42, 43	mpan2 425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎 ≤ 0 ∨ 0 < 𝑎))
45	44	ad2antrl 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) → (𝑎 ≤ 0 ∨ 0 < 𝑎))
46	45	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) → (𝑎 ≤ 0 ∨ 0 < 𝑎))
47	34, 41, 46	mpjaodan 798	. . . . 5 ⊢ (((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) → (√‘2) # (𝑎 / 𝑏))
48		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) → 𝑄 = (𝑎 / 𝑏))
49	47, 48	breqtrrd 4031	. . . 4 ⊢ (((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) ∧ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏)) → (√‘2) # 𝑄)
50	49	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝑄 ∈ ℚ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ)) → (𝑄 = (𝑎 / 𝑏) → (√‘2) # 𝑄))
51	50	rexlimdvva 2602	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℕ 𝑄 = (𝑎 / 𝑏) → (√‘2) # 𝑄))
52	2, 51	mpd 13	1 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (√‘2) # 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∃wrex 2456   class class class wbr 4003  ‘cfv 5216  (class class class)co 5874  ℝcr 7809  0cc0 7810  1c1 7811   · cmul 7815   < clt 7991   ≤ cle 7992   # cap 8537   / cdiv 8628  ℕcn 8918  2c2 8969  ℤcz 9252  ℚcq 9618  √csqrt 11004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-1o 6416  df-2o 6417  df-er 6534  df-en 6740  df-sup 6982  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-fl 10269  df-mod 10322  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-dvds 11794  df-gcd 11943  df-prm 12107

This theorem is referenced by:  2irrexpqap  14332