ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iscrngd GIF version

Theorem iscrngd 13226
Description: Properties that determine a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isringd.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…))
isringd.p (๐œ‘ โ†’ + = (+gโ€˜๐‘…))
isringd.t (๐œ‘ โ†’ ยท = (.rโ€˜๐‘…))
isringd.g (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
isringd.c ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
isringd.a ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
isringd.d ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)))
isringd.e ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
isringd.u (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ ๐ต)
isringd.i ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 1 ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
isringd.h ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท 1 ) = ๐‘ฅ)
iscrngd.c ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ))
Assertion
Ref Expression
iscrngd (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ, 1   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐ต   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฅ,๐‘…,๐‘ฆ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   + (๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง)   ยท (๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง)   1 (๐‘ฆ,๐‘ง)

Proof of Theorem iscrngd
StepHypRef Expression
1 isringd.b . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…))
2 isringd.p . . 3 (๐œ‘ โ†’ + = (+gโ€˜๐‘…))
3 isringd.t . . 3 (๐œ‘ โ†’ ยท = (.rโ€˜๐‘…))
4 isringd.g . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
5 isringd.c . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
6 isringd.a . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
7 isringd.d . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘ฆ + ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) + (๐‘ฅ ยท ๐‘ง)))
8 isringd.e . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ + ๐‘ฆ) ยท ๐‘ง) = ((๐‘ฅ ยท ๐‘ง) + (๐‘ฆ ยท ๐‘ง)))
9 isringd.u . . 3 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ ๐ต)
10 isringd.i . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 1 ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
11 isringd.h . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท 1 ) = ๐‘ฅ)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11isringd 13225 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
13 eqid 2177 . . . . . 6 (mulGrpโ€˜๐‘…) = (mulGrpโ€˜๐‘…)
14 eqid 2177 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
1513, 14mgpbasg 13141 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))
1612, 15syl 14 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))
171, 16eqtrd 2210 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))
18 eqid 2177 . . . . . 6 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
1913, 18mgpplusgg 13139 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (.rโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))
2012, 19syl 14 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (.rโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))
213, 20eqtrd 2210 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ยท = (+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))
2217, 21, 5, 6, 9, 10, 11ismndd 12843 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Mnd)
23 iscrngd.c . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ))
2417, 21, 22, 23iscmnd 13106 . 2 (๐œ‘ โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ CMnd)
2513iscrng 13191 . 2 (๐‘… โˆˆ CRing โ†” (๐‘… โˆˆ Ring โˆง (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ CMnd))
2612, 24, 25sylanbrc 417 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  Basecbs 12464  +gcplusg 12538  .rcmulr 12539  Grpcgrp 12882  CMndccmn 13093  mulGrpcmgp 13135  Ringcrg 13184  CRingccrg 13185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-cmn 13095  df-mgp 13136  df-ring 13186  df-cring 13187
This theorem is referenced by:  cncrng  13548
  Copyright terms: Public domain W3C validator