Theorem iscrngd 14074

Description: Properties that determine a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isringd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
isringd.p	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝑅))
isringd.t	⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
isringd.g	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
isringd.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
isringd.a	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
isringd.d	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
isringd.e	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
isringd.u	⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
isringd.i	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
isringd.h	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 1 ) = 𝑥)
iscrngd.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
iscrngd	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Distinct variable groups:   𝑥, 1   𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   + (𝑥,𝑦,𝑧)   · (𝑥,𝑦,𝑧)   1 (𝑦,𝑧)

Proof of Theorem iscrngd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isringd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
2		isringd.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝑅))
3		isringd.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
4		isringd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
5		isringd.c	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
6		isringd.a	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
7		isringd.d	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
8		isringd.e	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
9		isringd.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
10		isringd.i	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
11		isringd.h	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 1 ) = 𝑥)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	isringd 14073	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
13		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
14		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15	13, 14	mgpbasg 13958	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
16	12, 15	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
17	1, 16	eqtrd 2264	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
18		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19	13, 18	mgpplusgg 13956	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
20	12, 19	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
21	3, 20	eqtrd 2264	. . 3 ⊢ (𝜑 → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
22	17, 21, 5, 6, 9, 10, 11	ismndd 13538	. . 3 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
23		iscrngd.c	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
24	17, 21, 22, 23	iscmnd 13903	. 2 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
25	13	iscrng 14035	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd))
26	12, 24, 25	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  Basecbs 13100  +_gcplusg 13178  ._rcmulr 13179  Grpcgrp 13601  CMndccmn 13889  mulGrpcmgp 13952  Ringcrg 14028  CRingccrg 14029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-sets 13107  df-plusg 13191  df-mulr 13192  df-mgm 13457  df-sgrp 13503  df-mnd 13518  df-cmn 13891  df-mgp 13953  df-ring 14030  df-cring 14031

This theorem is referenced by:  cncrng  14602