Theorem iscrngd 14186

Description: Properties that determine a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isringd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
isringd.p	⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝑅))
isringd.t	⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
isringd.g	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
isringd.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
isringd.a	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
isringd.d	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
isringd.e	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
isringd.u	⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
isringd.i	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
isringd.h	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 1 ) = 𝑥)
iscrngd.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
iscrngd	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Distinct variable groups:   𝑥, 1   𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   + (𝑥,𝑦,𝑧)   · (𝑥,𝑦,𝑧)   1 (𝑦,𝑧)

Proof of Theorem iscrngd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isringd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
2		isringd.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘𝑅))
3		isringd.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
4		isringd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
5		isringd.c	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐵)
6		isringd.a	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
7		isringd.d	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
8		isringd.e	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
9		isringd.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
10		isringd.i	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
11		isringd.h	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 1 ) = 𝑥)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	isringd 14185	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
13		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
14		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15	13, 14	mgpbasg 14070	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
16	12, 15	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
17	1, 16	eqtrd 2265	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
18		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19	13, 18	mgpplusgg 14068	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
20	12, 19	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
21	3, 20	eqtrd 2265	. . 3 ⊢ (𝜑 → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
22	17, 21, 5, 6, 9, 10, 11	ismndd 13650	. . 3 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
23		iscrngd.c	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
24	17, 21, 22, 23	iscmnd 14015	. 2 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
25	13	iscrng 14147	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd))
26	12, 24, 25	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  Basecbs 13212  +_gcplusg 13290  ._rcmulr 13291  Grpcgrp 13713  CMndccmn 14001  mulGrpcmgp 14064  Ringcrg 14140  CRingccrg 14141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-sets 13219  df-plusg 13303  df-mulr 13304  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630  df-cmn 14003  df-mgp 14065  df-ring 14142  df-cring 14143

This theorem is referenced by:  cncrng  14717