![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > iscrngd | GIF version |
Description: Properties that determine a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
isringd.b | โข (๐ โ ๐ต = (Baseโ๐ )) |
isringd.p | โข (๐ โ + = (+gโ๐ )) |
isringd.t | โข (๐ โ ยท = (.rโ๐ )) |
isringd.g | โข (๐ โ ๐ โ Grp) |
isringd.c | โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ต โง ๐ฆ โ ๐ต) โ (๐ฅ ยท ๐ฆ) โ ๐ต) |
isringd.a | โข ((๐ โง (๐ฅ โ ๐ต โง ๐ฆ โ ๐ต โง ๐ง โ ๐ต)) โ ((๐ฅ ยท ๐ฆ) ยท ๐ง) = (๐ฅ ยท (๐ฆ ยท ๐ง))) |
isringd.d | โข ((๐ โง (๐ฅ โ ๐ต โง ๐ฆ โ ๐ต โง ๐ง โ ๐ต)) โ (๐ฅ ยท (๐ฆ + ๐ง)) = ((๐ฅ ยท ๐ฆ) + (๐ฅ ยท ๐ง))) |
isringd.e | โข ((๐ โง (๐ฅ โ ๐ต โง ๐ฆ โ ๐ต โง ๐ง โ ๐ต)) โ ((๐ฅ + ๐ฆ) ยท ๐ง) = ((๐ฅ ยท ๐ง) + (๐ฆ ยท ๐ง))) |
isringd.u | โข (๐ โ 1 โ ๐ต) |
isringd.i | โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ต) โ ( 1 ยท ๐ฅ) = ๐ฅ) |
isringd.h | โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ต) โ (๐ฅ ยท 1 ) = ๐ฅ) |
iscrngd.c | โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ต โง ๐ฆ โ ๐ต) โ (๐ฅ ยท ๐ฆ) = (๐ฆ ยท ๐ฅ)) |
Ref | Expression |
---|---|
iscrngd | โข (๐ โ ๐ โ CRing) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | isringd.b | . . 3 โข (๐ โ ๐ต = (Baseโ๐ )) | |
2 | isringd.p | . . 3 โข (๐ โ + = (+gโ๐ )) | |
3 | isringd.t | . . 3 โข (๐ โ ยท = (.rโ๐ )) | |
4 | isringd.g | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ Grp) | |
5 | isringd.c | . . 3 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ต โง ๐ฆ โ ๐ต) โ (๐ฅ ยท ๐ฆ) โ ๐ต) | |
6 | isringd.a | . . 3 โข ((๐ โง (๐ฅ โ ๐ต โง ๐ฆ โ ๐ต โง ๐ง โ ๐ต)) โ ((๐ฅ ยท ๐ฆ) ยท ๐ง) = (๐ฅ ยท (๐ฆ ยท ๐ง))) | |
7 | isringd.d | . . 3 โข ((๐ โง (๐ฅ โ ๐ต โง ๐ฆ โ ๐ต โง ๐ง โ ๐ต)) โ (๐ฅ ยท (๐ฆ + ๐ง)) = ((๐ฅ ยท ๐ฆ) + (๐ฅ ยท ๐ง))) | |
8 | isringd.e | . . 3 โข ((๐ โง (๐ฅ โ ๐ต โง ๐ฆ โ ๐ต โง ๐ง โ ๐ต)) โ ((๐ฅ + ๐ฆ) ยท ๐ง) = ((๐ฅ ยท ๐ง) + (๐ฆ ยท ๐ง))) | |
9 | isringd.u | . . 3 โข (๐ โ 1 โ ๐ต) | |
10 | isringd.i | . . 3 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ต) โ ( 1 ยท ๐ฅ) = ๐ฅ) | |
11 | isringd.h | . . 3 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ต) โ (๐ฅ ยท 1 ) = ๐ฅ) | |
12 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 | isringd 13225 | . 2 โข (๐ โ ๐ โ Ring) |
13 | eqid 2177 | . . . . . 6 โข (mulGrpโ๐ ) = (mulGrpโ๐ ) | |
14 | eqid 2177 | . . . . . 6 โข (Baseโ๐ ) = (Baseโ๐ ) | |
15 | 13, 14 | mgpbasg 13141 | . . . . 5 โข (๐ โ Ring โ (Baseโ๐ ) = (Baseโ(mulGrpโ๐ ))) |
16 | 12, 15 | syl 14 | . . . 4 โข (๐ โ (Baseโ๐ ) = (Baseโ(mulGrpโ๐ ))) |
17 | 1, 16 | eqtrd 2210 | . . 3 โข (๐ โ ๐ต = (Baseโ(mulGrpโ๐ ))) |
18 | eqid 2177 | . . . . . 6 โข (.rโ๐ ) = (.rโ๐ ) | |
19 | 13, 18 | mgpplusgg 13139 | . . . . 5 โข (๐ โ Ring โ (.rโ๐ ) = (+gโ(mulGrpโ๐ ))) |
20 | 12, 19 | syl 14 | . . . 4 โข (๐ โ (.rโ๐ ) = (+gโ(mulGrpโ๐ ))) |
21 | 3, 20 | eqtrd 2210 | . . 3 โข (๐ โ ยท = (+gโ(mulGrpโ๐ ))) |
22 | 17, 21, 5, 6, 9, 10, 11 | ismndd 12843 | . . 3 โข (๐ โ (mulGrpโ๐ ) โ Mnd) |
23 | iscrngd.c | . . 3 โข ((๐ โง ๐ฅ โ ๐ต โง ๐ฆ โ ๐ต) โ (๐ฅ ยท ๐ฆ) = (๐ฆ ยท ๐ฅ)) | |
24 | 17, 21, 22, 23 | iscmnd 13106 | . 2 โข (๐ โ (mulGrpโ๐ ) โ CMnd) |
25 | 13 | iscrng 13191 | . 2 โข (๐ โ CRing โ (๐ โ Ring โง (mulGrpโ๐ ) โ CMnd)) |
26 | 12, 24, 25 | sylanbrc 417 | 1 โข (๐ โ ๐ โ CRing) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 104 โง w3a 978 = wceq 1353 โ wcel 2148 โcfv 5218 (class class class)co 5877 Basecbs 12464 +gcplusg 12538 .rcmulr 12539 Grpcgrp 12882 CMndccmn 13093 mulGrpcmgp 13135 Ringcrg 13184 CRingccrg 13185 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4123 ax-pow 4176 ax-pr 4211 ax-un 4435 ax-setind 4538 ax-cnex 7904 ax-resscn 7905 ax-1cn 7906 ax-1re 7907 ax-icn 7908 ax-addcl 7909 ax-addrcl 7910 ax-mulcl 7911 ax-addcom 7913 ax-addass 7915 ax-i2m1 7918 ax-0lt1 7919 ax-0id 7921 ax-rnegex 7922 ax-pre-ltirr 7925 ax-pre-ltadd 7929 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-rab 2464 df-v 2741 df-sbc 2965 df-csb 3060 df-dif 3133 df-un 3135 df-in 3137 df-ss 3144 df-nul 3425 df-pw 3579 df-sn 3600 df-pr 3601 df-op 3603 df-uni 3812 df-int 3847 df-br 4006 df-opab 4067 df-mpt 4068 df-id 4295 df-xp 4634 df-rel 4635 df-cnv 4636 df-co 4637 df-dm 4638 df-rn 4639 df-res 4640 df-iota 5180 df-fun 5220 df-fn 5221 df-fv 5226 df-ov 5880 df-oprab 5881 df-mpo 5882 df-pnf 7996 df-mnf 7997 df-ltxr 7999 df-inn 8922 df-2 8980 df-3 8981 df-ndx 12467 df-slot 12468 df-base 12470 df-sets 12471 df-plusg 12551 df-mulr 12552 df-mgm 12780 df-sgrp 12813 df-mnd 12823 df-cmn 13095 df-mgp 13136 df-ring 13186 df-cring 13187 |
This theorem is referenced by: cncrng 13548 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |