Theorem gcdn0gt0 12682

Description: The gcd of two integers is positive (nonzero) iff they are not both zero. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
gcdn0gt0	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ↔ 0 < (𝑀 gcd 𝑁)))

Proof of Theorem gcdn0gt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdcl 12670	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
2		0re 8279	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		nn0re 9510	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0 → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
4		nn0ge0 9526	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑀 gcd 𝑁))
5		leltap 8904	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑀 gcd 𝑁)) → (0 < (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (𝑀 gcd 𝑁) # 0))
6	2, 3, 4, 5	mp3an2i 1379	. . . 4 ⊢ ((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0 → (0 < (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (𝑀 gcd 𝑁) # 0))
7		nn0z 9602	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0 → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
8		0zd 9594	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℤ)
9		zapne 9657	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) # 0 ↔ (𝑀 gcd 𝑁) ≠ 0))
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝑀 gcd 𝑁) # 0 ↔ (𝑀 gcd 𝑁) ≠ 0))
11	6, 10	bitrd 188	. . 3 ⊢ ((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0 → (0 < (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (𝑀 gcd 𝑁) ≠ 0))
12	1, 11	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 < (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (𝑀 gcd 𝑁) ≠ 0))
13		gcdeq0 12681	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) = 0 ↔ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
14	13	necon3abid 2453	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
15	12, 14	bitr2d 189	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ↔ 0 < (𝑀 gcd 𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052  ℝcr 8131  0cc0 8132   < clt 8313   ≤ cle 8314   # cap 8860  ℕ₀cn0 9501  ℤcz 9582   gcd cgcd 12657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-pre-mulext 8250  ax-arch 8251  ax-caucvg 8252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-sup 7277  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-div 8952  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-n0 9502  df-z 9583  df-uz 9860  df-q 9958  df-rp 9993  df-fz 10349  df-fzo 10484  df-fl 10637  df-mod 10692  df-seqfrec 10817  df-exp 10908  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-rsqrt 11691  df-abs 11692  df-dvds 12482  df-gcd 12658

This theorem is referenced by: (None)