Theorem reaplt 8773

Description: Real apartness in terms of less than. Part of Definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 1-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
reaplt	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))

Proof of Theorem reaplt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		apreap 8772	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐴 #ℝ 𝐵))
2		reapval 8761	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 #ℝ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
3	1, 2	bitrd 188	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715   ∈ wcel 2201   class class class wbr 4089  ℝcr 8036   < clt 8219   #_ℝ creap 8759   # cap 8766

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-br 4090  df-opab 4152  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-ltxr 8224  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767

This theorem is referenced by:  reapltxor  8774  1ap0  8775  reapmul1lem  8779  reapmul1  8780  reapadd1  8781  reapneg  8782  reapcotr  8783  remulext1  8784  apsqgt0  8786  apsym  8791  msqge0  8801  mulge0  8804  leltap  8810  gt0ap0  8811  ltleap  8817  ltap  8818  ap0gt0  8825  recexaplem2  8837  zapne  9559  qlttri2  9880  apbtwnz  10540  sq11ap  10975  nn0opthd  10990  recvguniq  11578  sqrt11ap  11621  ltabs  11670  sinltxirr  12345  reopnap  15299  dedekindeu  15376  dedekindicclemicc  15385  ivthinc  15396  reapef  15531  coseq0q4123  15587  cos11  15606  logrpap0b  15629  triap  16700  trirec0  16715  apdifflemf  16717  neapmkvlem  16739