ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reaplt GIF version

Theorem reaplt 8006
Description: Real apartness in terms of less than. Part of Definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 1-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
reaplt ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))

Proof of Theorem reaplt
StepHypRef Expression
1 apreap 8005 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵𝐴 # 𝐵))
2 reapval 7994 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
31, 2bitrd 186 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  wcel 1436   class class class wbr 3820  cr 7293   < clt 7466   # creap 7992   # cap 7999
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-1re 7383  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-mulrcl 7388  ax-addcom 7389  ax-mulcom 7390  ax-addass 7391  ax-mulass 7392  ax-distr 7393  ax-i2m1 7394  ax-0lt1 7395  ax-1rid 7396  ax-0id 7397  ax-rnegex 7398  ax-precex 7399  ax-cnre 7400  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-lttrn 7403  ax-pre-apti 7404  ax-pre-ltadd 7405  ax-pre-mulgt0 7406
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-br 3821  df-opab 3875  df-id 4094  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fv 4989  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-ltxr 7471  df-sub 7599  df-neg 7600  df-reap 7993  df-ap 8000
This theorem is referenced by:  reapltxor  8007  1ap0  8008  reapmul1lem  8012  reapmul1  8013  reapadd1  8014  reapneg  8015  reapcotr  8016  remulext1  8017  apsqgt0  8019  apsym  8024  msqge0  8034  mulge0  8037  leltap  8042  gt0ap0  8043  ltleap  8048  ltap  8049  ap0gt0  8056  recexaplem2  8060  zapne  8754  qlttri2  9058  apbtwnz  9609  sq11ap  10017  nn0opthd  10027  recvguniq  10324  sqrt11ap  10367  ltabs  10416
  Copyright terms: Public domain W3C validator