Theorem reaplt 8615

Description: Real apartness in terms of less than. Part of Definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 1-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
reaplt	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))

Proof of Theorem reaplt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		apreap 8614	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ 𝐴 #ℝ 𝐵))
2		reapval 8603	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 #ℝ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
3	1, 2	bitrd 188	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033  ℝcr 7878   < clt 8061   #_ℝ creap 8601   # cap 8608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609

This theorem is referenced by:  reapltxor  8616  1ap0  8617  reapmul1lem  8621  reapmul1  8622  reapadd1  8623  reapneg  8624  reapcotr  8625  remulext1  8626  apsqgt0  8628  apsym  8633  msqge0  8643  mulge0  8646  leltap  8652  gt0ap0  8653  ltleap  8659  ltap  8660  ap0gt0  8667  recexaplem2  8679  zapne  9400  qlttri2  9715  apbtwnz  10364  sq11ap  10799  nn0opthd  10814  recvguniq  11160  sqrt11ap  11203  ltabs  11252  sinltxirr  11926  reopnap  14782  dedekindeu  14859  dedekindicclemicc  14868  ivthinc  14879  reapef  15014  coseq0q4123  15070  cos11  15089  logrpap0b  15112  triap  15673  trirec0  15688  apdifflemf  15690  neapmkvlem  15711