Theorem lemul12ad 8899

Description: Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
divgt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lemul1ad.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltmul12ad.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
lemul12ad.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
lemul12ad.5	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
lemul12ad.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
lemul12ad.7	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
lemul12ad	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷))

Proof of Theorem lemul12ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lemul12ad.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		lemul12ad.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐷)
3		ltp1d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		lemul12ad.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
5	3, 4	jca 306	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
6		divgt0d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7		lemul1ad.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
8		lemul12ad.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
9	7, 8	jca 306	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
10		ltmul12ad.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
11		lemul12a 8819	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷)))
12	5, 6, 9, 10, 11	syl22anc 1239	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷)))
13	1, 2, 12	mp2and 433	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875  ℝcr 7810  0cc0 7811   · cmul 7816   ≤ cle 7993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539

This theorem is referenced by:  faclbnd  10721  fprodge1  11647  fprodle  11648