ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcomnqg GIF version

Theorem mulcomnqg 6845
Description: Multiplication of positive fractions is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulcomnqg ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐴))

Proof of Theorem mulcomnqg
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6810 . 2 Q = ((N × N) / ~Q )
2 mulpipqqs 6835 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = [⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q )
3 mulpipqqs 6835 . 2 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑥N𝑦N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ·Q [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) = [⟨(𝑧 ·N 𝑥), (𝑤 ·N 𝑦)⟩] ~Q )
4 mulcompig 6793 . . 3 ((𝑥N𝑧N) → (𝑥 ·N 𝑧) = (𝑧 ·N 𝑥))
54ad2ant2r 493 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → (𝑥 ·N 𝑧) = (𝑧 ·N 𝑥))
6 mulcompig 6793 . . 3 ((𝑦N𝑤N) → (𝑦 ·N 𝑤) = (𝑤 ·N 𝑦))
76ad2ant2l 492 . 2 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → (𝑦 ·N 𝑤) = (𝑤 ·N 𝑦))
81, 2, 3, 5, 7ecovicom 6330 1 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1285  wcel 1434  (class class class)co 5591  Ncnpi 6734   ·N cmi 6736   ~Q ceq 6741  Qcnq 6742   ·Q cmq 6745
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4084  df-iord 4157  df-on 4159  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-recs 6002  df-irdg 6067  df-oadd 6117  df-omul 6118  df-er 6222  df-ec 6224  df-qs 6228  df-ni 6766  df-mi 6768  df-mpq 6807  df-enq 6809  df-nqqs 6810  df-mqqs 6812
This theorem is referenced by:  recmulnqg  6853  recrecnq  6856  rec1nq  6857  lt2mulnq  6867  halfnqq  6872  prarloclemarch  6880  prarloclemarch2  6881  ltrnqg  6882  prarloclemlt  6955  addnqprllem  6989  addnqprulem  6990  addnqprl  6991  addnqpru  6992  appdivnq  7025  prmuloclemcalc  7027  mulnqprl  7030  mulnqpru  7031  mullocprlem  7032  mulclpr  7034  mulcomprg  7042  distrlem4prl  7046  distrlem4pru  7047  1idprl  7052  1idpru  7053  recexprlem1ssl  7095  recexprlem1ssu  7096  recexprlemss1l  7097  recexprlemss1u  7098
  Copyright terms: Public domain W3C validator