Theorem mulcomnqg 7697

Description: Multiplication of positive fractions is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulcomnqg	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐴))

Proof of Theorem mulcomnqg

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7662	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		mulpipqqs 7687	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = [⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q )
3		mulpipqqs 7687	. 2 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ·Q [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ) = [⟨(𝑧 ·N 𝑥), (𝑤 ·N 𝑦)⟩] ~Q )
4		mulcompig 7645	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑧) = (𝑧 ·N 𝑥))
5	4	ad2ant2r 509	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → (𝑥 ·N 𝑧) = (𝑧 ·N 𝑥))
6		mulcompig 7645	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑤) = (𝑤 ·N 𝑦))
7	6	ad2ant2l 508	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → (𝑦 ·N 𝑤) = (𝑤 ·N 𝑦))
8	1, 2, 3, 5, 7	ecovicom 6876	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  (class class class)co 6049  Ncnpi 7586   ·_N cmi 7588   ~_Q ceq 7593  Qcnq 7594   ·_Q cmq 7597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-irdg 6600  df-oadd 6650  df-omul 6651  df-er 6766  df-ec 6768  df-qs 6772  df-ni 7618  df-mi 7620  df-mpq 7659  df-enq 7661  df-nqqs 7662  df-mqqs 7664

This theorem is referenced by:  recmulnqg  7705  recrecnq  7708  rec1nq  7709  lt2mulnq  7719  halfnqq  7724  prarloclemarch  7732  prarloclemarch2  7733  ltrnqg  7734  prarloclemlt  7807  addnqprllem  7841  addnqprulem  7842  addnqprl  7843  addnqpru  7844  appdivnq  7877  prmuloclemcalc  7879  mulnqprl  7882  mulnqpru  7883  mullocprlem  7884  mulclpr  7886  mulcomprg  7894  distrlem4prl  7898  distrlem4pru  7899  1idprl  7904  1idpru  7905  recexprlem1ssl  7947  recexprlem1ssu  7948  recexprlemss1l  7949  recexprlemss1u  7950