Theorem recclnq 7707

Description: Closure law for positive fraction reciprocal. (Contributed by NM, 6-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
recclnq	⊢ (𝐴 ∈ Q → (*Q‘𝐴) ∈ Q)

Proof of Theorem recclnq

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recexnq 7705	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑦(𝑦 ∈ Q ∧ (𝐴 ·Q 𝑦) = 1Q))
2		recmulnqg 7706	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((*Q‘𝐴) = 𝑦 ↔ (𝐴 ·Q 𝑦) = 1Q))
3	2	biimpar 297	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ (𝐴 ·Q 𝑦) = 1Q) → (*Q‘𝐴) = 𝑦)
4		eleq1a 2304	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ Q → ((*Q‘𝐴) = 𝑦 → (*Q‘𝐴) ∈ Q))
5	4	ad2antlr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ (𝐴 ·Q 𝑦) = 1Q) → ((*Q‘𝐴) = 𝑦 → (*Q‘𝐴) ∈ Q))
6	3, 5	mpd 13	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ (𝐴 ·Q 𝑦) = 1Q) → (*Q‘𝐴) ∈ Q)
7	6	expl 378	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ((𝑦 ∈ Q ∧ (𝐴 ·Q 𝑦) = 1Q) → (*Q‘𝐴) ∈ Q))
8	7	exlimdv 1868	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (∃𝑦(𝑦 ∈ Q ∧ (𝐴 ·Q 𝑦) = 1Q) → (*Q‘𝐴) ∈ Q))
9	1, 8	mpd 13	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (*Q‘𝐴) ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2203  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  Qcnq 7595  1_Qc1q 7596   ·_Q cmq 7598  *_Qcrq 7599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-1o 6647  df-oadd 6651  df-omul 6652  df-er 6767  df-ec 6769  df-qs 6773  df-ni 7619  df-mi 7621  df-mpq 7660  df-enq 7662  df-nqqs 7663  df-mqqs 7665  df-1nqqs 7666  df-rq 7667

This theorem is referenced by:  recidnq  7708  recrecnq  7709  rec1nq  7710  halfnqq  7725  prarloclemarch  7733  ltrnqg  7735  addnqprllem  7842  addnqprulem  7843  addnqprl  7844  addnqpru  7845  recnnpr  7863  appdivnq  7878  mulnqprl  7883  mulnqpru  7884  1idprl  7905  1idpru  7906  recexprlemm  7939  recexprlemloc  7946  recexprlem1ssl  7948  recexprlem1ssu  7949  archrecnq  7978  archrecpr  7979  caucvgprlemnkj  7981  caucvgprlemnbj  7982  caucvgprlemm  7983  caucvgprlemopl  7984  caucvgprlemlol  7985  caucvgprlemloc  7990  caucvgprlemladdfu  7992  caucvgprlemladdrl  7993  caucvgprprlemloccalc  7999  caucvgprprlemnkltj  8004  caucvgprprlemnkeqj  8005  caucvgprprlemnjltk  8006  caucvgprprlemml  8009  caucvgprprlemopl  8012  caucvgprprlemlol  8013  caucvgprprlemloc  8018  caucvgprprlemexb  8022  caucvgprprlem1  8024  caucvgprprlem2  8025  recidpipr  8171