ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recclnq GIF version

Theorem recclnq 7212
Description: Closure law for positive fraction reciprocal. (Contributed by NM, 6-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.)
Assertion
Ref Expression
recclnq (𝐴Q → (*Q𝐴) ∈ Q)

Proof of Theorem recclnq
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 recexnq 7210 . 2 (𝐴Q → ∃𝑦(𝑦Q ∧ (𝐴 ·Q 𝑦) = 1Q))
2 recmulnqg 7211 . . . . . 6 ((𝐴Q𝑦Q) → ((*Q𝐴) = 𝑦 ↔ (𝐴 ·Q 𝑦) = 1Q))
32biimpar 295 . . . . 5 (((𝐴Q𝑦Q) ∧ (𝐴 ·Q 𝑦) = 1Q) → (*Q𝐴) = 𝑦)
4 eleq1a 2211 . . . . . 6 (𝑦Q → ((*Q𝐴) = 𝑦 → (*Q𝐴) ∈ Q))
54ad2antlr 480 . . . . 5 (((𝐴Q𝑦Q) ∧ (𝐴 ·Q 𝑦) = 1Q) → ((*Q𝐴) = 𝑦 → (*Q𝐴) ∈ Q))
63, 5mpd 13 . . . 4 (((𝐴Q𝑦Q) ∧ (𝐴 ·Q 𝑦) = 1Q) → (*Q𝐴) ∈ Q)
76expl 375 . . 3 (𝐴Q → ((𝑦Q ∧ (𝐴 ·Q 𝑦) = 1Q) → (*Q𝐴) ∈ Q))
87exlimdv 1791 . 2 (𝐴Q → (∃𝑦(𝑦Q ∧ (𝐴 ·Q 𝑦) = 1Q) → (*Q𝐴) ∈ Q))
91, 8mpd 13 1 (𝐴Q → (*Q𝐴) ∈ Q)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wex 1468  wcel 1480  cfv 5123  (class class class)co 5774  Qcnq 7100  1Qc1q 7101   ·Q cmq 7103  *Qcrq 7104
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7124  df-mi 7126  df-mpq 7165  df-enq 7167  df-nqqs 7168  df-mqqs 7170  df-1nqqs 7171  df-rq 7172
This theorem is referenced by:  recidnq  7213  recrecnq  7214  rec1nq  7215  halfnqq  7230  prarloclemarch  7238  ltrnqg  7240  addnqprllem  7347  addnqprulem  7348  addnqprl  7349  addnqpru  7350  recnnpr  7368  appdivnq  7383  mulnqprl  7388  mulnqpru  7389  1idprl  7410  1idpru  7411  recexprlemm  7444  recexprlemloc  7451  recexprlem1ssl  7453  recexprlem1ssu  7454  archrecnq  7483  archrecpr  7484  caucvgprlemnkj  7486  caucvgprlemnbj  7487  caucvgprlemm  7488  caucvgprlemopl  7489  caucvgprlemlol  7490  caucvgprlemloc  7495  caucvgprlemladdfu  7497  caucvgprlemladdrl  7498  caucvgprprlemloccalc  7504  caucvgprprlemnkltj  7509  caucvgprprlemnkeqj  7510  caucvgprprlemnjltk  7511  caucvgprprlemml  7514  caucvgprprlemopl  7517  caucvgprprlemlol  7518  caucvgprprlemloc  7523  caucvgprprlemexb  7527  caucvgprprlem1  7529  caucvgprprlem2  7530  recidpipr  7676
  Copyright terms: Public domain W3C validator