Theorem recclnq 7575

Description: Closure law for positive fraction reciprocal. (Contributed by NM, 6-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
recclnq	⊢ (𝐴 ∈ Q → (*Q‘𝐴) ∈ Q)

Proof of Theorem recclnq

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recexnq 7573	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑦(𝑦 ∈ Q ∧ (𝐴 ·Q 𝑦) = 1Q))
2		recmulnqg 7574	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((*Q‘𝐴) = 𝑦 ↔ (𝐴 ·Q 𝑦) = 1Q))
3	2	biimpar 297	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ (𝐴 ·Q 𝑦) = 1Q) → (*Q‘𝐴) = 𝑦)
4		eleq1a 2301	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ Q → ((*Q‘𝐴) = 𝑦 → (*Q‘𝐴) ∈ Q))
5	4	ad2antlr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ (𝐴 ·Q 𝑦) = 1Q) → ((*Q‘𝐴) = 𝑦 → (*Q‘𝐴) ∈ Q))
6	3, 5	mpd 13	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ (𝐴 ·Q 𝑦) = 1Q) → (*Q‘𝐴) ∈ Q)
7	6	expl 378	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ((𝑦 ∈ Q ∧ (𝐴 ·Q 𝑦) = 1Q) → (*Q‘𝐴) ∈ Q))
8	7	exlimdv 1865	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (∃𝑦(𝑦 ∈ Q ∧ (𝐴 ·Q 𝑦) = 1Q) → (*Q‘𝐴) ∈ Q))
9	1, 8	mpd 13	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (*Q‘𝐴) ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  Qcnq 7463  1_Qc1q 7464   ·_Q cmq 7466  *_Qcrq 7467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-irdg 6514  df-1o 6560  df-oadd 6564  df-omul 6565  df-er 6678  df-ec 6680  df-qs 6684  df-ni 7487  df-mi 7489  df-mpq 7528  df-enq 7530  df-nqqs 7531  df-mqqs 7533  df-1nqqs 7534  df-rq 7535

This theorem is referenced by:  recidnq  7576  recrecnq  7577  rec1nq  7578  halfnqq  7593  prarloclemarch  7601  ltrnqg  7603  addnqprllem  7710  addnqprulem  7711  addnqprl  7712  addnqpru  7713  recnnpr  7731  appdivnq  7746  mulnqprl  7751  mulnqpru  7752  1idprl  7773  1idpru  7774  recexprlemm  7807  recexprlemloc  7814  recexprlem1ssl  7816  recexprlem1ssu  7817  archrecnq  7846  archrecpr  7847  caucvgprlemnkj  7849  caucvgprlemnbj  7850  caucvgprlemm  7851  caucvgprlemopl  7852  caucvgprlemlol  7853  caucvgprlemloc  7858  caucvgprlemladdfu  7860  caucvgprlemladdrl  7861  caucvgprprlemloccalc  7867  caucvgprprlemnkltj  7872  caucvgprprlemnkeqj  7873  caucvgprprlemnjltk  7874  caucvgprprlemml  7877  caucvgprprlemopl  7880  caucvgprprlemlol  7881  caucvgprprlemloc  7886  caucvgprprlemexb  7890  caucvgprprlem1  7892  caucvgprprlem2  7893  recidpipr  8039