Theorem recclnq 7759

Description: Closure law for positive fraction reciprocal. (Contributed by NM, 6-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
recclnq	⊢ (𝐴 ∈ Q → (*Q‘𝐴) ∈ Q)

Proof of Theorem recclnq

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recexnq 7757	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑦(𝑦 ∈ Q ∧ (𝐴 ·Q 𝑦) = 1Q))
2		recmulnqg 7758	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((*Q‘𝐴) = 𝑦 ↔ (𝐴 ·Q 𝑦) = 1Q))
3	2	biimpar 297	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ (𝐴 ·Q 𝑦) = 1Q) → (*Q‘𝐴) = 𝑦)
4		eleq1a 2310	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ Q → ((*Q‘𝐴) = 𝑦 → (*Q‘𝐴) ∈ Q))
5	4	ad2antlr 493	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ (𝐴 ·Q 𝑦) = 1Q) → ((*Q‘𝐴) = 𝑦 → (*Q‘𝐴) ∈ Q))
6	3, 5	mpd 13	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ (𝐴 ·Q 𝑦) = 1Q) → (*Q‘𝐴) ∈ Q)
7	6	expl 378	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ((𝑦 ∈ Q ∧ (𝐴 ·Q 𝑦) = 1Q) → (*Q‘𝐴) ∈ Q))
8	7	exlimdv 1872	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (∃𝑦(𝑦 ∈ Q ∧ (𝐴 ·Q 𝑦) = 1Q) → (*Q‘𝐴) ∈ Q))
9	1, 8	mpd 13	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (*Q‘𝐴) ∈ Q)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Qcnq 7647  1_Qc1q 7648   ·_Q cmq 7650  *_Qcrq 7651

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-er 6807  df-ec 6809  df-qs 6813  df-ni 7671  df-mi 7673  df-mpq 7712  df-enq 7714  df-nqqs 7715  df-mqqs 7717  df-1nqqs 7718  df-rq 7719

This theorem is used by:  recidnq  7760  recrecnq  7761  rec1nq  7762  halfnqq  7777  prarloclemarch  7785  ltrnqg  7787  addnqprllem  7894  addnqprulem  7895  addnqprl  7896  addnqpru  7897  recnnpr  7915  appdivnq  7930  mulnqprl  7935  mulnqpru  7936  1idprl  7957  1idpru  7958  recexprlemm  7991  recexprlemloc  7998  recexprlem1ssl  8000  recexprlem1ssu  8001  archrecnq  8030  archrecpr  8031  caucvgprlemnkj  8033  caucvgprlemnbj  8034  caucvgprlemm  8035  caucvgprlemopl  8036  caucvgprlemlol  8037  caucvgprlemloc  8042  caucvgprlemladdfu  8044  caucvgprlemladdrl  8045  caucvgprprlemloccalc  8051  caucvgprprlemnkltj  8056  caucvgprprlemnkeqj  8057  caucvgprprlemnjltk  8058  caucvgprprlemml  8061  caucvgprprlemopl  8064  caucvgprprlemlol  8065  caucvgprprlemloc  8070  caucvgprprlemexb  8074  caucvgprprlem1  8076  caucvgprprlem2  8077  recidpipr  8223