Theorem recclnq 7333

Description: Closure law for positive fraction reciprocal. (Contributed by NM, 6-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
recclnq	⊢ (𝐴 ∈ Q → (*Q‘𝐴) ∈ Q)

Proof of Theorem recclnq

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recexnq 7331	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑦(𝑦 ∈ Q ∧ (𝐴 ·Q 𝑦) = 1Q))
2		recmulnqg 7332	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((*Q‘𝐴) = 𝑦 ↔ (𝐴 ·Q 𝑦) = 1Q))
3	2	biimpar 295	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ (𝐴 ·Q 𝑦) = 1Q) → (*Q‘𝐴) = 𝑦)
4		eleq1a 2238	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ Q → ((*Q‘𝐴) = 𝑦 → (*Q‘𝐴) ∈ Q))
5	4	ad2antlr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ (𝐴 ·Q 𝑦) = 1Q) → ((*Q‘𝐴) = 𝑦 → (*Q‘𝐴) ∈ Q))
6	3, 5	mpd 13	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ (𝐴 ·Q 𝑦) = 1Q) → (*Q‘𝐴) ∈ Q)
7	6	expl 376	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ((𝑦 ∈ Q ∧ (𝐴 ·Q 𝑦) = 1Q) → (*Q‘𝐴) ∈ Q))
8	7	exlimdv 1807	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (∃𝑦(𝑦 ∈ Q ∧ (𝐴 ·Q 𝑦) = 1Q) → (*Q‘𝐴) ∈ Q))
9	1, 8	mpd 13	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (*Q‘𝐴) ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1343  ∃wex 1480   ∈ wcel 2136  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  Qcnq 7221  1_Qc1q 7222   ·_Q cmq 7224  *_Qcrq 7225

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-er 6501  df-ec 6503  df-qs 6507  df-ni 7245  df-mi 7247  df-mpq 7286  df-enq 7288  df-nqqs 7289  df-mqqs 7291  df-1nqqs 7292  df-rq 7293

This theorem is referenced by:  recidnq  7334  recrecnq  7335  rec1nq  7336  halfnqq  7351  prarloclemarch  7359  ltrnqg  7361  addnqprllem  7468  addnqprulem  7469  addnqprl  7470  addnqpru  7471  recnnpr  7489  appdivnq  7504  mulnqprl  7509  mulnqpru  7510  1idprl  7531  1idpru  7532  recexprlemm  7565  recexprlemloc  7572  recexprlem1ssl  7574  recexprlem1ssu  7575  archrecnq  7604  archrecpr  7605  caucvgprlemnkj  7607  caucvgprlemnbj  7608  caucvgprlemm  7609  caucvgprlemopl  7610  caucvgprlemlol  7611  caucvgprlemloc  7616  caucvgprlemladdfu  7618  caucvgprlemladdrl  7619  caucvgprprlemloccalc  7625  caucvgprprlemnkltj  7630  caucvgprprlemnkeqj  7631  caucvgprprlemnjltk  7632  caucvgprprlemml  7635  caucvgprprlemopl  7638  caucvgprprlemlol  7639  caucvgprprlemloc  7644  caucvgprprlemexb  7648  caucvgprprlem1  7650  caucvgprprlem2  7651  recidpipr  7797