ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  remulext1 GIF version

Theorem remulext1 8556
Description: Left extensionality for multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
remulext1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) # (๐ต ยท ๐ถ) โ†’ ๐ด # ๐ต))

Proof of Theorem remulext1
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2 simp3 999 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
31, 2remulcld 7988 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
4 simp2 998 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
54, 2remulcld 7988 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
6 reaplt 8545 . . 3 (((๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) # (๐ต ยท ๐ถ) โ†” ((๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ) โˆจ (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ด ยท ๐ถ))))
73, 5, 6syl2anc 411 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) # (๐ต ยท ๐ถ) โ†” ((๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ) โˆจ (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ด ยท ๐ถ))))
8 ax-pre-mulext 7929 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) <โ„ (๐ต ยท ๐ถ) โ†’ (๐ด <โ„ ๐ต โˆจ ๐ต <โ„ ๐ด)))
9 ltxrlt 8023 . . . . 5 (((๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ) โ†” (๐ด ยท ๐ถ) <โ„ (๐ต ยท ๐ถ)))
103, 5, 9syl2anc 411 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ) โ†” (๐ด ยท ๐ถ) <โ„ (๐ต ยท ๐ถ)))
11 reaplt 8545 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” (๐ด < ๐ต โˆจ ๐ต < ๐ด)))
121, 4, 11syl2anc 411 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” (๐ด < ๐ต โˆจ ๐ต < ๐ด)))
13 ltxrlt 8023 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” ๐ด <โ„ ๐ต))
141, 4, 13syl2anc 411 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” ๐ด <โ„ ๐ต))
15 ltxrlt 8023 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต < ๐ด โ†” ๐ต <โ„ ๐ด))
164, 1, 15syl2anc 411 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต < ๐ด โ†” ๐ต <โ„ ๐ด))
1714, 16orbi12d 793 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด < ๐ต โˆจ ๐ต < ๐ด) โ†” (๐ด <โ„ ๐ต โˆจ ๐ต <โ„ ๐ด)))
1812, 17bitrd 188 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” (๐ด <โ„ ๐ต โˆจ ๐ต <โ„ ๐ด)))
198, 10, 183imtr4d 203 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ) โ†’ ๐ด # ๐ต))
20 ax-pre-mulext 7929 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) <โ„ (๐ด ยท ๐ถ) โ†’ (๐ต <โ„ ๐ด โˆจ ๐ด <โ„ ๐ต)))
21203com12 1207 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) <โ„ (๐ด ยท ๐ถ) โ†’ (๐ต <โ„ ๐ด โˆจ ๐ด <โ„ ๐ต)))
22 ltxrlt 8023 . . . . 5 (((๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) < (๐ด ยท ๐ถ) โ†” (๐ต ยท ๐ถ) <โ„ (๐ด ยท ๐ถ)))
235, 3, 22syl2anc 411 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) < (๐ด ยท ๐ถ) โ†” (๐ต ยท ๐ถ) <โ„ (๐ด ยท ๐ถ)))
24 orcom 728 . . . . 5 ((๐ด <โ„ ๐ต โˆจ ๐ต <โ„ ๐ด) โ†” (๐ต <โ„ ๐ด โˆจ ๐ด <โ„ ๐ต))
2518, 24bitrdi 196 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” (๐ต <โ„ ๐ด โˆจ ๐ด <โ„ ๐ต)))
2621, 23, 253imtr4d 203 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) < (๐ด ยท ๐ถ) โ†’ ๐ด # ๐ต))
2719, 26jaod 717 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ) โˆจ (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ด ยท ๐ถ)) โ†’ ๐ด # ๐ต))
287, 27sylbid 150 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) # (๐ต ยท ๐ถ) โ†’ ๐ด # ๐ต))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 105   โˆจ wo 708   โˆง w3a 978   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875  โ„cr 7810   <โ„ cltrr 7815   ยท cmul 7816   < clt 7992   # cap 8538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-ltxr 7997  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539
This theorem is referenced by:  remulext2  8557  mulext1  8569
  Copyright terms: Public domain W3C validator