Theorem resgrpisgrp 13912

Description: If the base set of a group is contained in the base set of another group, and the group operation of the group is the restriction of the group operation of the other group to its base set, then the other group restricted to the base set of the group is a group. (Contributed by AV, 14-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpissubg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpissubg.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
resgrpisgrp	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) → ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))

Proof of Theorem resgrpisgrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpissubg.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpissubg.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐻)
3	1, 2	grpissubg 13911	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) → ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
4	3	imp 124	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5		ibar 301	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)))
6	5	ad2ant2r 509	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → ((𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)))
7		df-3an 1007	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
8	6, 7	bitr4di 198	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → ((𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)))
9	1	issubg 13890	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
10	8, 9	bitr4di 198	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → ((𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp ↔ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
11	4, 10	mpbird 167	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
12	11	ex 115	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) → ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ⊆ wss 3211   × cxp 4747   ↾ cres 4751  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  Basecbs 13212   ↾_s cress 13213  +_gcplusg 13290  Grpcgrp 13713  SubGrpcsubg 13884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-inn 9238  df-2 9296  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-sets 13219  df-iress 13220  df-plusg 13303  df-0g 13471  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630  df-grp 13716  df-minusg 13717  df-subg 13887

This theorem is referenced by: (None)