Theorem reumodprminv 12951

Description: For any prime number and for any positive integer less than this prime number, there is a unique modular inverse of this positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
reumodprminv	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃!𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = 1)

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖

Proof of Theorem reumodprminv

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		elfzoelz 10481	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (1..^𝑃) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		prmnn 12807	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
5		prmz 12808	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
6		fzoval 10482	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (1..^𝑃) = (1...(𝑃 − 1)))
7	5, 6	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (1..^𝑃) = (1...(𝑃 − 1)))
8	7	eleq2d 2302	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑁 ∈ (1..^𝑃) ↔ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))))
9	8	biimpa 296	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
10		fzm1ndvds 12542	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑁)
11	4, 9, 10	syl2an2r 599	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑁)
12		eqid 2232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
13	12	modprminv 12947	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁) → (((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1))
14	13	simpld 112	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁) → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)))
15	13	simprd 114	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁) → ((𝑁 · ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1)
16		1eluzge0 9906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ (ℤ≥‘0)
17		fzss1 10397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘0) → (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (0...(𝑃 − 1)))
18	16, 17	mp1i 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (0...(𝑃 − 1)))
19	18	sseld 3237	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑠 ∈ (0...(𝑃 − 1))))
20	19	3ad2ant1 1045	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁) → (𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑠 ∈ (0...(𝑃 − 1))))
21	20	imdistani 445	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (0...(𝑃 − 1))))
22	12	modprminveq 12948	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁) → ((𝑠 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1) ↔ 𝑠 = ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
23	22	biimpa 296	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁) ∧ (𝑠 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1)) → 𝑠 = ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
24	23	eqcomd 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁) ∧ (𝑠 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1)) → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠)
25	24	expr 375	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠))
26	21, 25	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠))
27	26	ralrimiva 2615	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁) → ∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠))
28	14, 15, 27	jca32 310	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁) → (((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ (((𝑁 · ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1 ∧ ∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠))))
29	1, 3, 11, 28	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → (((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ (((𝑁 · ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1 ∧ ∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠))))
30		oveq2 6058	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → (𝑁 · 𝑖) = (𝑁 · ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
31	30	oveq1d 6065	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → ((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = ((𝑁 · ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
32	31	eqeq1d 2241	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → (((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = 1 ↔ ((𝑁 · ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1))
33		eqeq1 2239	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → (𝑖 = 𝑠 ↔ ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠))
34	33	imbi2d 230	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → ((((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → 𝑖 = 𝑠) ↔ (((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠)))
35	34	ralbidv 2542	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → (∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → 𝑖 = 𝑠) ↔ ∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠)))
36	32, 35	anbi12d 473	. . . 4 ⊢ (𝑖 = ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) → ((((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = 1 ∧ ∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → 𝑖 = 𝑠)) ↔ (((𝑁 · ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1 ∧ ∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠))))
37	36	rspcev 2921	. . 3 ⊢ ((((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ (((𝑁 · ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1 ∧ ∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → ((𝑁↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 𝑠))) → ∃𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = 1 ∧ ∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → 𝑖 = 𝑠)))
38	29, 37	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = 1 ∧ ∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → 𝑖 = 𝑠)))
39		oveq2 6058	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑠 → (𝑁 · 𝑖) = (𝑁 · 𝑠))
40	39	oveq1d 6065	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑠 → ((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = ((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃))
41	40	eqeq1d 2241	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝑠 → (((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = 1 ↔ ((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1))
42	41	reu8 3013	. 2 ⊢ (∃!𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = 1 ↔ ∃𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = 1 ∧ ∀𝑠 ∈ (1...(𝑃 − 1))(((𝑁 · 𝑠) mod 𝑃) = 1 → 𝑖 = 𝑠)))
43	38, 42	sylibr 134	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ (1..^𝑃)) → ∃!𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑁 · 𝑖) mod 𝑃) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  ∃wrex 2521  ∃!wreu 2522   ⊆ wss 3211   class class class wbr 4109  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  0cc0 8127  1c1 8128   · cmul 8132   − cmin 8444  ℕcn 9237  2c2 9288  ℤcz 9577  ℤ_≥cuz 9853  ...cfz 10342  ..^cfzo 10476   mod cmo 10684  ↑cexp 10900   ∥ cdvds 12473  ℙcprime 12804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-frec 6622  df-1o 6647  df-2o 6648  df-oadd 6651  df-er 6767  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-sup 7275  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-fl 10630  df-mod 10685  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-ihash 11139  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-clim 11964  df-proddc 12237  df-dvds 12474  df-gcd 12650  df-prm 12805  df-phi 12908

This theorem is referenced by:  modprm0  12952