Theorem elfz0add 10138

Description: An element of a finite set of sequential nonnegative integers is an element of an extended finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 28-Mar-2018.) (Proof shortened by OpenAI, 25-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elfz0add	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝑁 ∈ (0...(𝐴 + 𝐵))))

Proof of Theorem elfz0add

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 9291	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		uzid 9560	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
4		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℕ0)
5	3, 4	anim12i 338	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0))
6		uzaddcl 9604	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
7	5, 6	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
8		fzss2 10082	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (0...𝐴) ⊆ (0...(𝐴 + 𝐵)))
9	7, 8	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (0...𝐴) ⊆ (0...(𝐴 + 𝐵)))
10	9	sseld 3169	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝑁 ∈ (0...(𝐴 + 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2160   ⊆ wss 3144  ‘cfv 5231  (class class class)co 5891  0cc0 7829   + caddc 7832  ℕ₀cn0 9194  ℤcz 9271  ℤ_≥cuz 9546  ...cfz 10026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-addcom 7929  ax-addass 7931  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-ltadd 7945

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-inn 8938  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-fz 10027

This theorem is referenced by: (None)