Theorem elfz0add 10505

Description: An element of a finite set of sequential nonnegative integers is an element of an extended finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 28-Mar-2018.) (Proof shortened by OpenAI, 25-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elfz0add	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝑁 ∈ (0...(𝐴 + 𝐵))))

Proof of Theorem elfz0add

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 9643	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		uzid 9915	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
4		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℕ0)
5	3, 4	anim12i 338	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0))
6		uzaddcl 9965	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
7	5, 6	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
8		fzss2 10448	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (0...𝐴) ⊆ (0...(𝐴 + 𝐵)))
9	7, 8	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (0...𝐴) ⊆ (0...(𝐴 + 𝐵)))
10	9	sseld 3247	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝑁 ∈ (0...(𝐴 + 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  0cc0 8169   + caddc 8172  ℕ₀cn0 9542  ℤcz 9623  ℤ_≥cuz 9900  ...cfz 10390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391

This theorem is referenced by:  elfzelfzccat  11346  pfxccat1  11452