Theorem cnfldms 15639

Description: The complex number field is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldms	⊢ ℂfld ∈ MetSp

Proof of Theorem cnfldms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmet 15633	. 2 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
2		eqid 2238	. 2 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
3		cnxmet 15634	. . . 4 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
4	2	mopntopon 15546	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ))
5		cnfldbas 14899	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
6		cnfldtset 14905	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (TopSet‘ℂfld)
7	5, 6	topontopn 15140	. . . 4 ⊢ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ) → (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (TopOpen‘ℂfld))
8	3, 4, 7	mp2b 8	. . 3 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (TopOpen‘ℂfld)
9		absf 11878	. . . . . 6 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
10		subf 8528	. . . . . 6 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
11		fco 5552	. . . . . 6 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
12	9, 10, 11	mp2an 430	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ
13		ffn 5533	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ → (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ))
14		fnresdm 5492	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − ))
15	12, 13, 14	mp2b 8	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − )
16		cnfldds 14907	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
17	16	reseq1i 5059	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = ((dist‘ℂfld) ↾ (ℂ × ℂ))
18	15, 17	eqtr3i 2261	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) = ((dist‘ℂfld) ↾ (ℂ × ℂ))
19	8, 5, 18	isms2 15557	. 2 ⊢ (ℂfld ∈ MetSp ↔ ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))))
20	1, 2, 19	mpbir2an 955	1 ⊢ ℂfld ∈ MetSp

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   × cxp 4772   ↾ cres 4776   ∘ ccom 4778   Fn wfn 5372  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  ℂcc 8177  ℝcr 8178   − cmin 8497  abscabs 11765  distcds 13442  TopOpenctopn 13596  ∞Metcxmet 14875  Metcmet 14876  MetOpencmopn 14880  ℂ_fldccnfld 14895  TopOnctopon 15113  MetSpcms 15440

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-map 6924  df-sup 7324  df-inf 7325  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-9 9371  df-n0 9566  df-z 9647  df-dec 9780  df-uz 9924  df-q 10022  df-rp 10057  df-xneg 10176  df-xadd 10177  df-fz 10414  df-seqfrec 10887  df-exp 10978  df-cj 11609  df-re 11610  df-im 11611  df-rsqrt 11766  df-abs 11767  df-struct 13356  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-plusg 13446  df-mulr 13447  df-starv 13448  df-tset 13452  df-ple 13453  df-ds 13455  df-unif 13456  df-rest 13597  df-topn 13598  df-topgen 13616  df-psmet 14882  df-xmet 14883  df-met 14884  df-bl 14885  df-mopn 14886  df-fg 14888  df-metu 14889  df-cnfld 14896  df-top 15101  df-topon 15114  df-topsp 15134  df-bases 15146  df-xms 15442  df-ms 15443

This theorem is used by:  cnfldxms  15640  cnfldtps  15641