![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > subrecap | GIF version |
Description: Subtraction of reciprocals. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jul-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
subrecap | โข (((๐ด โ โ โง ๐ด # 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต # 0)) โ ((1 / ๐ด) โ (1 / ๐ต)) = ((๐ต โ ๐ด) / (๐ด ยท ๐ต))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 1cnd 7992 | . . 3 โข (((๐ด โ โ โง ๐ด # 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต # 0)) โ 1 โ โ) | |
2 | id 19 | . . 3 โข (((๐ด โ โ โง ๐ด # 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต # 0)) โ ((๐ด โ โ โง ๐ด # 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต # 0))) | |
3 | divsubdivap 8704 | . . 3 โข (((1 โ โ โง 1 โ โ) โง ((๐ด โ โ โง ๐ด # 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต # 0))) โ ((1 / ๐ด) โ (1 / ๐ต)) = (((1 ยท ๐ต) โ (1 ยท ๐ด)) / (๐ด ยท ๐ต))) | |
4 | 1, 1, 2, 3 | syl21anc 1248 | . 2 โข (((๐ด โ โ โง ๐ด # 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต # 0)) โ ((1 / ๐ด) โ (1 / ๐ต)) = (((1 ยท ๐ต) โ (1 ยท ๐ด)) / (๐ด ยท ๐ต))) |
5 | simprl 529 | . . . . 5 โข (((๐ด โ โ โง ๐ด # 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต # 0)) โ ๐ต โ โ) | |
6 | 5 | mulid2d 7995 | . . . 4 โข (((๐ด โ โ โง ๐ด # 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต # 0)) โ (1 ยท ๐ต) = ๐ต) |
7 | simpll 527 | . . . . 5 โข (((๐ด โ โ โง ๐ด # 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต # 0)) โ ๐ด โ โ) | |
8 | 7 | mulid2d 7995 | . . . 4 โข (((๐ด โ โ โง ๐ด # 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต # 0)) โ (1 ยท ๐ด) = ๐ด) |
9 | 6, 8 | oveq12d 5909 | . . 3 โข (((๐ด โ โ โง ๐ด # 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต # 0)) โ ((1 ยท ๐ต) โ (1 ยท ๐ด)) = (๐ต โ ๐ด)) |
10 | 9 | oveq1d 5906 | . 2 โข (((๐ด โ โ โง ๐ด # 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต # 0)) โ (((1 ยท ๐ต) โ (1 ยท ๐ด)) / (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐ต โ ๐ด) / (๐ด ยท ๐ต))) |
11 | 4, 10 | eqtrd 2222 | 1 โข (((๐ด โ โ โง ๐ด # 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต # 0)) โ ((1 / ๐ด) โ (1 / ๐ต)) = ((๐ต โ ๐ด) / (๐ด ยท ๐ต))) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 104 = wceq 1364 โ wcel 2160 class class class wbr 4018 (class class class)co 5891 โcc 7828 0cc0 7830 1c1 7831 ยท cmul 7835 โ cmin 8147 # cap 8557 / cdiv 8648 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-sep 4136 ax-pow 4189 ax-pr 4224 ax-un 4448 ax-setind 4551 ax-cnex 7921 ax-resscn 7922 ax-1cn 7923 ax-1re 7924 ax-icn 7925 ax-addcl 7926 ax-addrcl 7927 ax-mulcl 7928 ax-mulrcl 7929 ax-addcom 7930 ax-mulcom 7931 ax-addass 7932 ax-mulass 7933 ax-distr 7934 ax-i2m1 7935 ax-0lt1 7936 ax-1rid 7937 ax-0id 7938 ax-rnegex 7939 ax-precex 7940 ax-cnre 7941 ax-pre-ltirr 7942 ax-pre-ltwlin 7943 ax-pre-lttrn 7944 ax-pre-apti 7945 ax-pre-ltadd 7946 ax-pre-mulgt0 7947 ax-pre-mulext 7948 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-br 4019 df-opab 4080 df-id 4308 df-po 4311 df-iso 4312 df-xp 4647 df-rel 4648 df-cnv 4649 df-co 4650 df-dm 4651 df-iota 5193 df-fun 5233 df-fv 5239 df-riota 5847 df-ov 5894 df-oprab 5895 df-mpo 5896 df-pnf 8013 df-mnf 8014 df-xr 8015 df-ltxr 8016 df-le 8017 df-sub 8149 df-neg 8150 df-reap 8551 df-ap 8558 df-div 8649 |
This theorem is referenced by: subrecapi 8816 subrecapd 8817 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |