Theorem divsubdivap 8704

Description: Subtraction of two ratios. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
divsubdivap	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶)) / (𝐶 · 𝐷)))

Proof of Theorem divsubdivap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 8176	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
2		divadddivap 8703	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐶) + (-𝐵 / 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐷) + (-𝐵 · 𝐶)) / (𝐶 · 𝐷)))
3	1, 2	sylanl2 403	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐶) + (-𝐵 / 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐷) + (-𝐵 · 𝐶)) / (𝐶 · 𝐷)))
4		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		simprrl 539	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → 𝐷 ∈ ℂ)
6		simprrr 540	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → 𝐷 # 0)
7		divnegap 8682	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0) → -(𝐵 / 𝐷) = (-𝐵 / 𝐷))
8	4, 5, 6, 7	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → -(𝐵 / 𝐷) = (-𝐵 / 𝐷))
9	8	oveq2d 5907	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐶) + -(𝐵 / 𝐷)) = ((𝐴 / 𝐶) + (-𝐵 / 𝐷)))
10		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		simprll 537	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → 𝐶 ∈ ℂ)
12		simprlr 538	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → 𝐶 # 0)
13		divclap 8654	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
15		divclap 8654	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℂ)
16	4, 5, 6, 15	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℂ)
17	14, 16	negsubd 8293	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐶) + -(𝐵 / 𝐷)) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐷)))
18	9, 17	eqtr3d 2224	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐶) + (-𝐵 / 𝐷)) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐷)))
19	3, 18	eqtr3d 2224	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (((𝐴 · 𝐷) + (-𝐵 · 𝐶)) / (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐷)))
20	4, 11	mulneg1d 8387	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (-𝐵 · 𝐶) = -(𝐵 · 𝐶))
21	20	oveq2d 5907	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 · 𝐷) + (-𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐷) + -(𝐵 · 𝐶)))
22	10, 5	mulcld 7997	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
23	4, 11	mulcld 7997	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
24	22, 23	negsubd 8293	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 · 𝐷) + -(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶)))
25	21, 24	eqtrd 2222	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 · 𝐷) + (-𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶)))
26	25	oveq1d 5906	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (((𝐴 · 𝐷) + (-𝐵 · 𝐶)) / (𝐶 · 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶)) / (𝐶 · 𝐷)))
27	19, 26	eqtr3d 2224	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶)) / (𝐶 · 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891  ℂcc 7828  0cc0 7830   + caddc 7833   · cmul 7835   − cmin 8147  -cneg 8148   # cap 8557   / cdiv 8648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649

This theorem is referenced by:  subrecap  8815