Theorem divsubdivap 8908

Description: Subtraction of two ratios. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
divsubdivap	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶)) / (𝐶 · 𝐷)))

Proof of Theorem divsubdivap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 8379	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
2		divadddivap 8907	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐶) + (-𝐵 / 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐷) + (-𝐵 · 𝐶)) / (𝐶 · 𝐷)))
3	1, 2	sylanl2 403	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐶) + (-𝐵 / 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐷) + (-𝐵 · 𝐶)) / (𝐶 · 𝐷)))
4		simplr 529	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		simprrl 541	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → 𝐷 ∈ ℂ)
6		simprrr 542	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → 𝐷 # 0)
7		divnegap 8886	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0) → -(𝐵 / 𝐷) = (-𝐵 / 𝐷))
8	4, 5, 6, 7	syl3anc 1273	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → -(𝐵 / 𝐷) = (-𝐵 / 𝐷))
9	8	oveq2d 6034	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐶) + -(𝐵 / 𝐷)) = ((𝐴 / 𝐶) + (-𝐵 / 𝐷)))
10		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		simprll 539	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → 𝐶 ∈ ℂ)
12		simprlr 540	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → 𝐶 # 0)
13		divclap 8858	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1273	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
15		divclap 8858	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℂ)
16	4, 5, 6, 15	syl3anc 1273	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐵 / 𝐷) ∈ ℂ)
17	14, 16	negsubd 8496	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐶) + -(𝐵 / 𝐷)) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐷)))
18	9, 17	eqtr3d 2266	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐶) + (-𝐵 / 𝐷)) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐷)))
19	3, 18	eqtr3d 2266	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (((𝐴 · 𝐷) + (-𝐵 · 𝐶)) / (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐷)))
20	4, 11	mulneg1d 8590	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (-𝐵 · 𝐶) = -(𝐵 · 𝐶))
21	20	oveq2d 6034	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 · 𝐷) + (-𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐷) + -(𝐵 · 𝐶)))
22	10, 5	mulcld 8200	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
23	4, 11	mulcld 8200	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
24	22, 23	negsubd 8496	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 · 𝐷) + -(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶)))
25	21, 24	eqtrd 2264	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 · 𝐷) + (-𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶)))
26	25	oveq1d 6033	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (((𝐴 · 𝐷) + (-𝐵 · 𝐶)) / (𝐶 · 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶)) / (𝐶 · 𝐷)))
27	19, 26	eqtr3d 2266	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐶) − (𝐵 / 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶)) / (𝐶 · 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018  ℂcc 8030  0cc0 8032   + caddc 8035   · cmul 8037   − cmin 8350  -cneg 8351   # cap 8761   / cdiv 8852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853

This theorem is referenced by:  subrecap  9019