ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divsubdivap GIF version

Theorem divsubdivap 8698
Description: Subtraction of two ratios. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
divsubdivap (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) โˆ’ (๐ต / ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) / (๐ถ ยท ๐ท)))

Proof of Theorem divsubdivap
StepHypRef Expression
1 negcl 8170 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ -๐ต โˆˆ โ„‚)
2 divadddivap 8697 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง -๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) + (-๐ต / ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ท) + (-๐ต ยท ๐ถ)) / (๐ถ ยท ๐ท)))
31, 2sylanl2 403 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) + (-๐ต / ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ท) + (-๐ต ยท ๐ถ)) / (๐ถ ยท ๐ท)))
4 simplr 528 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
5 simprrl 539 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
6 simprrr 540 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ๐ท # 0)
7 divnegap 8676 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0) โ†’ -(๐ต / ๐ท) = (-๐ต / ๐ท))
84, 5, 6, 7syl3anc 1248 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ -(๐ต / ๐ท) = (-๐ต / ๐ท))
98oveq2d 5904 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) + -(๐ต / ๐ท)) = ((๐ด / ๐ถ) + (-๐ต / ๐ท)))
10 simpll 527 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
11 simprll 537 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
12 simprlr 538 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ๐ถ # 0)
13 divclap 8648 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โ†’ (๐ด / ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
1410, 11, 12, 13syl3anc 1248 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ (๐ด / ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
15 divclap 8648 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0) โ†’ (๐ต / ๐ท) โˆˆ โ„‚)
164, 5, 6, 15syl3anc 1248 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ (๐ต / ๐ท) โˆˆ โ„‚)
1714, 16negsubd 8287 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) + -(๐ต / ๐ท)) = ((๐ด / ๐ถ) โˆ’ (๐ต / ๐ท)))
189, 17eqtr3d 2222 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) + (-๐ต / ๐ท)) = ((๐ด / ๐ถ) โˆ’ (๐ต / ๐ท)))
193, 18eqtr3d 2222 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ (((๐ด ยท ๐ท) + (-๐ต ยท ๐ถ)) / (๐ถ ยท ๐ท)) = ((๐ด / ๐ถ) โˆ’ (๐ต / ๐ท)))
204, 11mulneg1d 8381 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ (-๐ต ยท ๐ถ) = -(๐ต ยท ๐ถ))
2120oveq2d 5904 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) + (-๐ต ยท ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ท) + -(๐ต ยท ๐ถ)))
2210, 5mulcld 7991 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ (๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
234, 11mulcld 7991 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
2422, 23negsubd 8287 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) + -(๐ต ยท ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)))
2521, 24eqtrd 2220 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) + (-๐ต ยท ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)))
2625oveq1d 5903 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ (((๐ด ยท ๐ท) + (-๐ต ยท ๐ถ)) / (๐ถ ยท ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) / (๐ถ ยท ๐ท)))
2719, 26eqtr3d 2222 1 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) โˆ’ (๐ต / ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) / (๐ถ ยท ๐ท)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  โ„‚cc 7822  0cc0 7824   + caddc 7827   ยท cmul 7829   โˆ’ cmin 8141  -cneg 8142   # cap 8551   / cdiv 8642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643
This theorem is referenced by:  subrecap  8809
  Copyright terms: Public domain W3C validator