Theorem uspgrun 16173

Description: The union 𝑈 of two simple pseudographs 𝐺 and 𝐻 with the same vertex set 𝑉 is a pseudograph with the vertex 𝑉 and the union (𝐸 ∪ 𝐹) of the (indexed) edges. (Contributed by AV, 16-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgrun.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
uspgrun.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
uspgrun.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
uspgrun.f	⊢ 𝐹 = (iEdg‘𝐻)
uspgrun.vg	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uspgrun.vh	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
uspgrun.i	⊢ (𝜑 → (dom 𝐸 ∩ dom 𝐹) = ∅)
uspgrun.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑊)
uspgrun.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑈) = 𝑉)
uspgrun.un	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑈) = (𝐸 ∪ 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
uspgrun	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ UPGraph)

Proof of Theorem uspgrun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uspgrun.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
2		uspgrupgr 16163	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
4		uspgrun.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ USPGraph)
5		uspgrupgr 16163	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ USPGraph → 𝐻 ∈ UPGraph)
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ UPGraph)
7		uspgrun.e	. 2 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
8		uspgrun.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (iEdg‘𝐻)
9		uspgrun.vg	. 2 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
10		uspgrun.vh	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
11		uspgrun.i	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐸 ∩ dom 𝐹) = ∅)
12		uspgrun.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑊)
13		uspgrun.v	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑈) = 𝑉)
14		uspgrun.un	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑈) = (𝐸 ∪ 𝐹))
15	3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	upgrun 16108	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ UPGraph)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ∪ cun 3208   ∩ cin 3209  ∅c0 3507  dom cdm 4748  ‘cfv 5351  Vtxcvtx 15994  iEdgciedg 15995  UPGraphcupgr 16073  USPGraphcuspgr 16135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-cnre 8234

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-sub 8442  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-9 9299  df-n0 9493  df-dec 9706  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-edgf 15987  df-vtx 15996  df-iedg 15997  df-upgren 16075  df-uspgren 16137

This theorem is referenced by: (None)