Theorem xrmin1inf 11164

Description: The minimum of two extended reals is less than or equal to the first. (Contributed by Jim Kingdon, 3-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xrmin1inf	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem xrmin1inf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrminmax 11162	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
2		xnegcl 9736	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
3		xnegcl 9736	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
4		xrmax1sup 11150	. . . 4 ⊢ ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒𝐴 ≤ sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
5	2, 3, 4	syl2an 287	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒𝐴 ≤ sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
6		xrmaxcl 11149	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ∈ ℝ*) → sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
7	2, 3, 6	syl2an 287	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8		xleneg 9741	. . . . 5 ⊢ ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 ≤ sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ↔ -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ≤ -𝑒-𝑒𝐴))
9	2, 7, 8	syl2an2r 585	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 ≤ sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ↔ -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ≤ -𝑒-𝑒𝐴))
10		xnegneg 9737	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
11	10	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
12	11	breq2d 3977	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ≤ -𝑒-𝑒𝐴 ↔ -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴))
13	9, 12	bitrd 187	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝐴 ≤ sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ↔ -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴))
14	5, 13	mpbid 146	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴)
15	1, 14	eqbrtrd 3986	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  {cpr 3561   class class class wbr 3965  supcsup 6926  infcinf 6927  ℝ^*cxr 7911   < clt 7912   ≤ cle 7913  -_𝑒cxne 9676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850  ax-arch 7851  ax-caucvg 7852

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-isom 5179  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-frec 6338  df-sup 6928  df-inf 6929  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-2 8892  df-3 8893  df-4 8894  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-rp 9561  df-xneg 9679  df-seqfrec 10345  df-exp 10419  df-cj 10742  df-re 10743  df-im 10744  df-rsqrt 10898  df-abs 10899

This theorem is referenced by:  bdxmet  12901  bdmopn  12904  xmettx  12910