ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrltmininf GIF version

Theorem xrltmininf 11277
Description: Two ways of saying an extended real is less than the minimum of two others. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Jim Kingdon, 3-May-2023.)
Assertion
Ref Expression
xrltmininf ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < inf({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶)))

Proof of Theorem xrltmininf
StepHypRef Expression
1 xrminmax 11272 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → inf({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < ))
213adant1 1015 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → inf({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < ))
32breq2d 4015 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < inf({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ↔ 𝐴 < -𝑒sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < )))
4 simp2 998 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐵 ∈ ℝ*)
54xnegcld 9854 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
6 simp3 999 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ*)
76xnegcld 9854 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → -𝑒𝐶 ∈ ℝ*)
8 simp1 997 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
98xnegcld 9854 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
10 xrmaxltsup 11265 . . . 4 ((-𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐶 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ∈ ℝ*) → (sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < ) < -𝑒𝐴 ↔ (-𝑒𝐵 < -𝑒𝐴 ∧ -𝑒𝐶 < -𝑒𝐴)))
115, 7, 9, 10syl3anc 1238 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < ) < -𝑒𝐴 ↔ (-𝑒𝐵 < -𝑒𝐴 ∧ -𝑒𝐶 < -𝑒𝐴)))
12 xrmaxcl 11259 . . . . . . 7 ((-𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐶 ∈ ℝ*) → sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
135, 7, 12syl2anc 411 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
1413xnegcld 9854 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → -𝑒sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
15 xltneg 9835 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (𝐴 < -𝑒sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < ) ↔ -𝑒-𝑒sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < ) < -𝑒𝐴))
168, 14, 15syl2anc 411 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < -𝑒sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < ) ↔ -𝑒-𝑒sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < ) < -𝑒𝐴))
17 xnegneg 9832 . . . . . 6 (sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < ) = sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < ))
1813, 17syl 14 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → -𝑒-𝑒sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < ) = sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < ))
1918breq1d 4013 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (-𝑒-𝑒sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < ) < -𝑒𝐴 ↔ sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < ) < -𝑒𝐴))
2016, 19bitrd 188 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < -𝑒sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < ) ↔ sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < ) < -𝑒𝐴))
21 xltneg 9835 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
22213adant3 1017 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
23 xltneg 9835 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐶 ↔ -𝑒𝐶 < -𝑒𝐴))
24233adant2 1016 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐶 ↔ -𝑒𝐶 < -𝑒𝐴))
2522, 24anbi12d 473 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶) ↔ (-𝑒𝐵 < -𝑒𝐴 ∧ -𝑒𝐶 < -𝑒𝐴)))
2611, 20, 253bitr4d 220 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < -𝑒sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < ) ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶)))
273, 26bitrd 188 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < inf({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  {cpr 3593   class class class wbr 4003  supcsup 6980  infcinf 6981  *cxr 7990   < clt 7991  -𝑒cxne 9768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-rp 9653  df-xneg 9771  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007
This theorem is referenced by:  xrminrpcl  11281  iooinsup  11284  blininf  13860  bdxmet  13937  bdmopn  13940
  Copyright terms: Public domain W3C validator