Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2atmat0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2atmat0 37540
Description: The meet of two unequal lines (expressed as joins of atoms) is an atom or zero. (Contributed by NM, 2-Dec-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2atmatz.j = (join‘𝐾)
2atmatz.m = (meet‘𝐾)
2atmatz.z 0 = (0.‘𝐾)
2atmatz.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2atmat0 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ))

Proof of Theorem 2atmat0
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
2 simpr1 1193 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → 𝑅𝐴)
3 simpr2 1194 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → 𝑆𝐴)
43orcd 870 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (𝑆𝐴𝑆 = 0 ))
5 simpr3 1195 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))
6 2atmatz.j . . 3 = (join‘𝐾)
7 2atmatz.m . . 3 = (meet‘𝐾)
8 2atmatz.z . . 3 0 = (0.‘𝐾)
9 2atmatz.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
106, 7, 8, 92at0mat0 37539 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴 ∧ (𝑆𝐴𝑆 = 0 ) ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ))
111, 2, 4, 5, 10syl13anc 1371 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ (𝑅 𝑆))) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 844  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  cfv 6433  (class class class)co 7275  joincjn 18029  meetcmee 18030  0.cp0 18141  Atomscatm 37277  HLchlt 37364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-lat 18150  df-clat 18217  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-llines 37512
This theorem is referenced by:  2atm  37541  trlval3  38201  cdleme22b  38355  cdlemg31b0N  38708  cdlemh  38831
  Copyright terms: Public domain W3C validator