Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2atm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2atm 38019
Description: An atom majorized by two different atom joins (which could be atoms or lines) is equal to their intersection. (Contributed by NM, 30-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
2atm.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
2atm.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2atm.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
2atm.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
2atm (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ 𝑇 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)))

Proof of Theorem 2atm
StepHypRef Expression
1 simp31 1210 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
2 simp32 1211 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ 𝑇 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆))
3 simp11 1204 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
43hllatd 37855 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5 simp23 1209 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
6 eqid 2737 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
7 2atm.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
86, 7atbase 37780 . . . . 5 (𝑇 ∈ 𝐴 β†’ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
95, 8syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
10 simp12 1205 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
116, 7atbase 37780 . . . . . 6 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1210, 11syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
13 simp13 1206 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
146, 7atbase 37780 . . . . . 6 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1513, 14syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
16 2atm.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
176, 16latjcl 18335 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
184, 12, 15, 17syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
19 simp21 1207 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
20 simp22 1208 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
216, 16, 7hlatjcl 37858 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
223, 19, 20, 21syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
23 2atm.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
24 2atm.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
256, 23, 24latlem12 18362 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆)) ↔ 𝑇 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆))))
264, 9, 18, 22, 25syl13anc 1373 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ ((𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆)) ↔ 𝑇 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆))))
271, 2, 26mpbi2and 711 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ 𝑇 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)))
28 hlatl 37851 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
293, 28syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
306, 24latmcl 18336 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
314, 18, 22, 30syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
32 eqid 2737 . . . . . . 7 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
336, 23, 32, 7atlen0 37801 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ 𝑇 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) β‰  (0.β€˜πΎ))
3429, 31, 5, 27, 33syl31anc 1374 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) β‰  (0.β€˜πΎ))
3534neneqd 2949 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = (0.β€˜πΎ))
36 simp33 1212 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))
3716, 24, 32, 72atmat0 38018 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = (0.β€˜πΎ)))
383, 10, 13, 19, 20, 36, 37syl33anc 1386 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = (0.β€˜πΎ)))
3938ord 863 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) = (0.β€˜πΎ)))
4035, 39mt3d 148 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴)
4123, 7atcmp 37802 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴) β†’ (𝑇 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ↔ 𝑇 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆))))
4229, 5, 40, 41syl3anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ (𝑇 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ↔ 𝑇 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆))))
4327, 42mpbid 231 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑇 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) β‰  (𝑅 ∨ 𝑆))) β†’ 𝑇 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  lecple 17147  joincjn 18207  meetcmee 18208  0.cp0 18319  Latclat 18327  Atomscatm 37754  AtLatcal 37755  HLchlt 37841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-proset 18191  df-poset 18209  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-lat 18328  df-clat 18395  df-oposet 37667  df-ol 37669  df-oml 37670  df-covers 37757  df-ats 37758  df-atl 37789  df-cvlat 37813  df-hlat 37842  df-llines 37990
This theorem is referenced by:  cdlemk12  39342  cdlemk12u  39364  cdlemk47  39441
  Copyright terms: Public domain W3C validator