Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp31 1210 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π
β¨ π) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β π β€ (π β¨ π)) |
2 | | simp32 1211 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π
β¨ π) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β π β€ (π
β¨ π)) |
3 | | simp11 1204 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π
β¨ π) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β πΎ β HL) |
4 | 3 | hllatd 37855 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π
β¨ π) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β πΎ β Lat) |
5 | | simp23 1209 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π
β¨ π) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β π β π΄) |
6 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
7 | | 2atm.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
8 | 6, 7 | atbase 37780 |
. . . . 5
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
9 | 5, 8 | syl 17 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π
β¨ π) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
10 | | simp12 1205 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π
β¨ π) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β π β π΄) |
11 | 6, 7 | atbase 37780 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
12 | 10, 11 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π
β¨ π) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
13 | | simp13 1206 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π
β¨ π) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β π β π΄) |
14 | 6, 7 | atbase 37780 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
15 | 13, 14 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π
β¨ π) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
16 | | 2atm.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
17 | 6, 16 | latjcl 18335 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
18 | 4, 12, 15, 17 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π
β¨ π) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
19 | | simp21 1207 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π
β¨ π) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β π
β π΄) |
20 | | simp22 1208 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π
β¨ π) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β π β π΄) |
21 | 6, 16, 7 | hlatjcl 37858 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
22 | 3, 19, 20, 21 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π
β¨ π) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
23 | | 2atm.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
24 | | 2atm.m |
. . . . 5
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
25 | 6, 23, 24 | latlem12 18362 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (π
β¨ π) β (BaseβπΎ))) β ((π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π
β¨ π)) β π β€ ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)))) |
26 | 4, 9, 18, 22, 25 | syl13anc 1373 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π
β¨ π) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β ((π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π
β¨ π)) β π β€ ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)))) |
27 | 1, 2, 26 | mpbi2and 711 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π
β¨ π) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β π β€ ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π))) |
28 | | hlatl 37851 |
. . . 4
β’ (πΎ β HL β πΎ β AtLat) |
29 | 3, 28 | syl 17 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π
β¨ π) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β πΎ β AtLat) |
30 | 6, 24 | latmcl 18336 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
31 | 4, 18, 22, 30 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π
β¨ π) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
32 | | eqid 2737 |
. . . . . . 7
β’
(0.βπΎ) =
(0.βπΎ) |
33 | 6, 23, 32, 7 | atlen0 37801 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β AtLat β§ ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β (BaseβπΎ) β§ π β π΄) β§ π β€ ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π))) β ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β (0.βπΎ)) |
34 | 29, 31, 5, 27, 33 | syl31anc 1374 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π
β¨ π) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β (0.βπΎ)) |
35 | 34 | neneqd 2949 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π
β¨ π) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β Β¬ ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) = (0.βπΎ)) |
36 | | simp33 1212 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π
β¨ π) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β (π β¨ π) β (π
β¨ π)) |
37 | 16, 24, 32, 7 | 2atmat0 38018 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β (((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β π΄ β¨ ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) = (0.βπΎ))) |
38 | 3, 10, 13, 19, 20, 36, 37 | syl33anc 1386 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π
β¨ π) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β (((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β π΄ β¨ ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) = (0.βπΎ))) |
39 | 38 | ord 863 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π
β¨ π) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β (Β¬ ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β π΄ β ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) = (0.βπΎ))) |
40 | 35, 39 | mt3d 148 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π
β¨ π) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β π΄) |
41 | 23, 7 | atcmp 37802 |
. . 3
β’ ((πΎ β AtLat β§ π β π΄ β§ ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β π΄) β (π β€ ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β π = ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)))) |
42 | 29, 5, 40, 41 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π
β¨ π) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β (π β€ ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β π = ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)))) |
43 | 27, 42 | mpbid 231 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π
β¨ π) β§ (π β¨ π) β (π
β¨ π))) β π = ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π))) |