Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg31b0N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg31b0N 40091
Description: TODO: Fix comment. (Contributed by NM, 30-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemg12.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemg12.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg31.n 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)))
Assertion
Ref Expression
cdlemg31b0N (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 = (0.β€˜πΎ)))

Proof of Theorem cdlemg31b0N
StepHypRef Expression
1 simp11 1201 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp2ll 1238 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
3 simp31l 1294 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝑣 ∈ 𝐴)
4 simp2rl 1240 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
5 simp12 1202 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
61, 5jca 511 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
7 simp2l 1197 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
8 simp13 1203 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
9 simp33 1209 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)
10 cdlemg12.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
11 cdlemg12.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
12 cdlemg12.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
13 cdlemg12.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
14 cdlemg12b.r . . . . 5 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
1510, 11, 12, 13, 14trlat 39566 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴)
166, 7, 8, 9, 15syl112anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴)
17 simp2r 1198 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
1810, 12, 13, 14trlle 39581 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ π‘Š)
196, 8, 18syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ π‘Š)
2016, 19jca 511 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴 ∧ (π‘…β€˜πΉ) ≀ π‘Š))
21 simp31 1207 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š))
22 simp32 1208 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ))
2322necomd 2991 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  𝑣)
24 cdlemg12.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2510, 24, 11, 12lhp2atne 39431 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (((π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴 ∧ (π‘…β€˜πΉ) ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  𝑣) β†’ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑣))
266, 17, 2, 20, 21, 23, 25syl321anc 1390 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑣))
2726necomd 2991 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑣) β‰  (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)))
28 cdlemg12.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
29 eqid 2727 . . . 4 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
3024, 28, 29, 112atmat0 38923 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑣) β‰  (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) = (0.β€˜πΎ)))
311, 2, 3, 4, 16, 27, 30syl33anc 1383 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) = (0.β€˜πΎ)))
32 cdlemg31.n . . . 4 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)))
3332eleq1i 2819 . . 3 (𝑁 ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∈ 𝐴)
3432eqeq1i 2732 . . 3 (𝑁 = (0.β€˜πΎ) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) = (0.β€˜πΎ))
3533, 34orbi12i 913 . 2 ((𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 = (0.β€˜πΎ)) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) = (0.β€˜πΎ)))
3631, 35sylibr 233 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 = (0.β€˜πΎ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  lecple 17225  joincjn 18288  meetcmee 18289  0.cp0 18400  Atomscatm 38659  HLchlt 38746  LHypclh 39381  LTrncltrn 39498  trLctrl 39555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-map 8836  df-proset 18272  df-poset 18290  df-plt 18307  df-lub 18323  df-glb 18324  df-join 18325  df-meet 18326  df-p0 18402  df-p1 18403  df-lat 18409  df-clat 18476  df-oposet 38572  df-ol 38574  df-oml 38575  df-covers 38662  df-ats 38663  df-atl 38694  df-cvlat 38718  df-hlat 38747  df-llines 38895  df-psubsp 38900  df-pmap 38901  df-padd 39193  df-lhyp 39385  df-laut 39386  df-ldil 39501  df-ltrn 39502  df-trl 39556
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator