Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg31b0N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg31b0N 40032
Description: TODO: Fix comment. (Contributed by NM, 30-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l = (le‘𝐾)
cdlemg12.j = (join‘𝐾)
cdlemg12.m = (meet‘𝐾)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg31.n 𝑁 = ((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹)))
Assertion
Ref Expression
cdlemg31b0N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐹𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑁𝐴𝑁 = (0.‘𝐾)))

Proof of Theorem cdlemg31b0N
StepHypRef Expression
1 simp11 1202 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐹𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp2ll 1239 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐹𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑃𝐴)
3 simp31l 1295 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐹𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑣𝐴)
4 simp2rl 1241 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐹𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑄𝐴)
5 simp12 1203 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐹𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑊𝐻)
61, 5jca 511 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐹𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
7 simp2l 1198 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐹𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
8 simp13 1204 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐹𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝐹𝑇)
9 simp33 1210 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐹𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)
10 cdlemg12.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
11 cdlemg12.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
12 cdlemg12.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
13 cdlemg12.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14 cdlemg12b.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
1510, 11, 12, 13, 14trlat 39507 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
166, 7, 8, 9, 15syl112anc 1373 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐹𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
17 simp2r 1199 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐹𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
1810, 12, 13, 14trlle 39522 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) 𝑊)
196, 8, 18syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐹𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐹) 𝑊)
2016, 19jca 511 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐹𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅𝐹) 𝑊))
21 simp31 1208 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐹𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑣𝐴𝑣 𝑊))
22 simp32 1209 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐹𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑣 ≠ (𝑅𝐹))
2322necomd 2995 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐹𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐹) ≠ 𝑣)
24 cdlemg12.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
2510, 24, 11, 12lhp2atne 39372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑃𝐴) ∧ (((𝑅𝐹) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅𝐹) 𝑊) ∧ (𝑣𝐴𝑣 𝑊)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 𝑣) → (𝑄 (𝑅𝐹)) ≠ (𝑃 𝑣))
266, 17, 2, 20, 21, 23, 25syl321anc 1391 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐹𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑄 (𝑅𝐹)) ≠ (𝑃 𝑣))
2726necomd 2995 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐹𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑃 𝑣) ≠ (𝑄 (𝑅𝐹)))
28 cdlemg12.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
29 eqid 2731 . . . 4 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
3024, 28, 29, 112atmat0 38864 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 𝑣) ≠ (𝑄 (𝑅𝐹)))) → (((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹))) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹))) = (0.‘𝐾)))
311, 2, 3, 4, 16, 27, 30syl33anc 1384 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐹𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹))) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹))) = (0.‘𝐾)))
32 cdlemg31.n . . . 4 𝑁 = ((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹)))
3332eleq1i 2823 . . 3 (𝑁𝐴 ↔ ((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹))) ∈ 𝐴)
3432eqeq1i 2736 . . 3 (𝑁 = (0.‘𝐾) ↔ ((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹))) = (0.‘𝐾))
3533, 34orbi12i 912 . 2 ((𝑁𝐴𝑁 = (0.‘𝐾)) ↔ (((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹))) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 𝑣) (𝑄 (𝑅𝐹))) = (0.‘𝐾)))
3631, 35sylibr 233 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝐹𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑣𝐴𝑣 𝑊) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑁𝐴𝑁 = (0.‘𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 844  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7412  lecple 17211  joincjn 18274  meetcmee 18275  0.cp0 18386  Atomscatm 38600  HLchlt 38687  LHypclh 39322  LTrncltrn 39439  trLctrl 39496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-map 8828  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-oposet 38513  df-ol 38515  df-oml 38516  df-covers 38603  df-ats 38604  df-atl 38635  df-cvlat 38659  df-hlat 38688  df-llines 38836  df-psubsp 38841  df-pmap 38842  df-padd 39134  df-lhyp 39326  df-laut 39327  df-ldil 39442  df-ltrn 39443  df-trl 39497
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator