Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg31b0N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemg31b0N 39565
Description: TODO: Fix comment. (Contributed by NM, 30-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemg12.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemg12.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg31.n 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)))
Assertion
Ref Expression
cdlemg31b0N (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 = (0.β€˜πΎ)))
Proof of Theorem cdlemg31b0N
StepHypRef Expression
1 simp11 1204 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp2ll 1241 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
3 simp31l 1297 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝑣 ∈ 𝐴)
4 simp2rl 1243 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
5 simp12 1205 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
61, 5jca 513 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
7 simp2l 1200 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
8 simp13 1206 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
9 simp33 1212 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)
10 cdlemg12.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
11 cdlemg12.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
12 cdlemg12.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
13 cdlemg12.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
14 cdlemg12b.r . . . . 5 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
1510, 11, 12, 13, 14trlat 39040 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴)
166, 7, 8, 9, 15syl112anc 1375 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴)
17 simp2r 1201 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
1810, 12, 13, 14trlle 39055 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ π‘Š)
196, 8, 18syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ π‘Š)
2016, 19jca 513 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴 ∧ (π‘…β€˜πΉ) ≀ π‘Š))
21 simp31 1210 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š))
22 simp32 1211 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ))
2322necomd 2997 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  𝑣)
24 cdlemg12.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2510, 24, 11, 12lhp2atne 38905 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (((π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴 ∧ (π‘…β€˜πΉ) ≀ π‘Š) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  𝑣) β†’ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑣))
266, 17, 2, 20, 21, 23, 25syl321anc 1393 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑣))
2726necomd 2997 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑣) β‰  (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)))
28 cdlemg12.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
29 eqid 2733 . . . 4 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
3024, 28, 29, 112atmat0 38397 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑣) β‰  (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) = (0.β€˜πΎ)))
311, 2, 3, 4, 16, 27, 30syl33anc 1386 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) = (0.β€˜πΎ)))
32 cdlemg31.n . . . 4 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)))
3332eleq1i 2825 . . 3 (𝑁 ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∈ 𝐴)
3432eqeq1i 2738 . . 3 (𝑁 = (0.β€˜πΎ) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) = (0.β€˜πΎ))
3533, 34orbi12i 914 . 2 ((𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 = (0.β€˜πΎ)) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∈ 𝐴 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) = (0.β€˜πΎ)))
3631, 35sylibr 233 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (𝑁 ∈ 𝐴 ∨ 𝑁 = (0.β€˜πΎ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  lecple 17204  joincjn 18264  meetcmee 18265  0.cp0 18376  Atomscatm 38133  HLchlt 38220  LHypclh 38855  LTrncltrn 38972  trLctrl 39029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-map 8822  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-llines 38369  df-psubsp 38374  df-pmap 38375  df-padd 38667  df-lhyp 38859  df-laut 38860  df-ldil 38975  df-ltrn 38976  df-trl 39030
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator