Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11 1204 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΉ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ π£ β (π
βπΉ) β§ (πΉβπ) β π)) β πΎ β HL) |
2 | | simp2ll 1241 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΉ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ π£ β (π
βπΉ) β§ (πΉβπ) β π)) β π β π΄) |
3 | | simp31l 1297 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΉ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ π£ β (π
βπΉ) β§ (πΉβπ) β π)) β π£ β π΄) |
4 | | simp2rl 1243 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΉ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ π£ β (π
βπΉ) β§ (πΉβπ) β π)) β π β π΄) |
5 | | simp12 1205 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΉ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ π£ β (π
βπΉ) β§ (πΉβπ) β π)) β π β π») |
6 | 1, 5 | jca 513 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΉ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ π£ β (π
βπΉ) β§ (πΉβπ) β π)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
7 | | simp2l 1200 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΉ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ π£ β (π
βπΉ) β§ (πΉβπ) β π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
8 | | simp13 1206 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΉ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ π£ β (π
βπΉ) β§ (πΉβπ) β π)) β πΉ β π) |
9 | | simp33 1212 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΉ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ π£ β (π
βπΉ) β§ (πΉβπ) β π)) β (πΉβπ) β π) |
10 | | cdlemg12.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
11 | | cdlemg12.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
12 | | cdlemg12.h |
. . . . 5
β’ π» = (LHypβπΎ) |
13 | | cdlemg12.t |
. . . . 5
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
14 | | cdlemg12b.r |
. . . . 5
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
15 | 10, 11, 12, 13, 14 | trlat 38661 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ (πΉβπ) β π)) β (π
βπΉ) β π΄) |
16 | 6, 7, 8, 9, 15 | syl112anc 1375 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΉ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ π£ β (π
βπΉ) β§ (πΉβπ) β π)) β (π
βπΉ) β π΄) |
17 | | simp2r 1201 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΉ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ π£ β (π
βπΉ) β§ (πΉβπ) β π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
18 | 10, 12, 13, 14 | trlle 38676 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β (π
βπΉ) β€ π) |
19 | 6, 8, 18 | syl2anc 585 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΉ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ π£ β (π
βπΉ) β§ (πΉβπ) β π)) β (π
βπΉ) β€ π) |
20 | 16, 19 | jca 513 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΉ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ π£ β (π
βπΉ) β§ (πΉβπ) β π)) β ((π
βπΉ) β π΄ β§ (π
βπΉ) β€ π)) |
21 | | simp31 1210 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΉ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ π£ β (π
βπΉ) β§ (πΉβπ) β π)) β (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) |
22 | | simp32 1211 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΉ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ π£ β (π
βπΉ) β§ (πΉβπ) β π)) β π£ β (π
βπΉ)) |
23 | 22 | necomd 3000 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΉ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ π£ β (π
βπΉ) β§ (πΉβπ) β π)) β (π
βπΉ) β π£) |
24 | | cdlemg12.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
25 | 10, 24, 11, 12 | lhp2atne 38526 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (((π
βπΉ) β π΄ β§ (π
βπΉ) β€ π) β§ (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) β§ (π
βπΉ) β π£) β (π β¨ (π
βπΉ)) β (π β¨ π£)) |
26 | 6, 17, 2, 20, 21, 23, 25 | syl321anc 1393 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΉ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ π£ β (π
βπΉ) β§ (πΉβπ) β π)) β (π β¨ (π
βπΉ)) β (π β¨ π£)) |
27 | 26 | necomd 3000 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΉ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ π£ β (π
βπΉ) β§ (πΉβπ) β π)) β (π β¨ π£) β (π β¨ (π
βπΉ))) |
28 | | cdlemg12.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
29 | | eqid 2737 |
. . . 4
β’
(0.βπΎ) =
(0.βπΎ) |
30 | 24, 28, 29, 11 | 2atmat0 38018 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π£ β π΄) β§ (π β π΄ β§ (π
βπΉ) β π΄ β§ (π β¨ π£) β (π β¨ (π
βπΉ)))) β (((π β¨ π£) β§ (π β¨ (π
βπΉ))) β π΄ β¨ ((π β¨ π£) β§ (π β¨ (π
βπΉ))) = (0.βπΎ))) |
31 | 1, 2, 3, 4, 16, 27, 30 | syl33anc 1386 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΉ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ π£ β (π
βπΉ) β§ (πΉβπ) β π)) β (((π β¨ π£) β§ (π β¨ (π
βπΉ))) β π΄ β¨ ((π β¨ π£) β§ (π β¨ (π
βπΉ))) = (0.βπΎ))) |
32 | | cdlemg31.n |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π£) β§ (π β¨ (π
βπΉ))) |
33 | 32 | eleq1i 2829 |
. . 3
β’ (π β π΄ β ((π β¨ π£) β§ (π β¨ (π
βπΉ))) β π΄) |
34 | 32 | eqeq1i 2742 |
. . 3
β’ (π = (0.βπΎ) β ((π β¨ π£) β§ (π β¨ (π
βπΉ))) = (0.βπΎ)) |
35 | 33, 34 | orbi12i 914 |
. 2
β’ ((π β π΄ β¨ π = (0.βπΎ)) β (((π β¨ π£) β§ (π β¨ (π
βπΉ))) β π΄ β¨ ((π β¨ π£) β§ (π β¨ (π
βπΉ))) = (0.βπΎ))) |
36 | 31, 35 | sylibr 233 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ πΉ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ π£ β (π
βπΉ) β§ (πΉβπ) β π)) β (π β π΄ β¨ π = (0.βπΎ))) |