MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackbij2lem1 10249
Description: Lemma for ackbij2 10273. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
ackbij2lem1 (𝐴 ∈ ω → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝒫 ω ∩ Fin))

Proof of Theorem ackbij2lem1
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordom 7881 . . . . . . 7 Ord ω
2 ordelss 6387 . . . . . . 7 ((Ord ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ⊆ ω)
31, 2mpan 688 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊆ ω)
43sspwd 4617 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → 𝒫 𝐴 ⊆ 𝒫 ω)
54sselda 3976 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑎 ∈ 𝒫 ω)
6 nnfi 9195 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
7 elpwi 4611 . . . . 5 (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴𝑎𝐴)
8 ssfi 9201 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎 ∈ Fin)
96, 7, 8syl2an 594 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑎 ∈ Fin)
105, 9elind 4192 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑎 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
1110ex 411 . 2 (𝐴 ∈ ω → (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)))
1211ssrdv 3982 1 (𝐴 ∈ ω → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝒫 ω ∩ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wcel 2098  cin 3943  wss 3944  𝒫 cpw 4604  Ord word 6370  ωcom 7871  Fincfn 8964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-om 7872  df-1o 8487  df-en 8965  df-fin 8968
This theorem is referenced by:  ackbij1b  10269  ackbij2lem2  10270
  Copyright terms: Public domain W3C validator