Theorem ackbij2lem1 10335

Description: Lemma for ackbij2 10359. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ackbij2lem1	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝒫 ω ∩ Fin))

Proof of Theorem ackbij2lem1

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 7921	. . . . . . 7 ⊢ Ord ω
2		ordelss 6404	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ⊆ ω)
3	1, 2	mpan 703	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊆ ω)
4	3	sspwd 4573	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝒫 𝐴 ⊆ 𝒫 ω)
5	4	sselda 3913	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑎 ∈ 𝒫 ω)
6		nnfi 9221	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
7		elpwi 4567	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑎 ⊆ 𝐴)
8		ssfi 9226	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → 𝑎 ∈ Fin)
9	6, 7, 8	syl2an 608	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑎 ∈ Fin)
10	5, 9	elind 4100	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑎 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
11	10	ex 418	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑎 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)))
12	11	ssrdv 3919	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝒫 ω ∩ Fin))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  𝒫 cpw 4560  Ord word 6387  ωcom 7911  Fincfn 9011

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-om 7912  df-1o 8514  df-en 9012  df-fin 9015

This theorem is used by:  ackbij1b  10355  ackbij2lem2  10356