MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackbij2lem1 9639
Description: Lemma for ackbij2 9663. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
ackbij2lem1 (𝐴 ∈ ω → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝒫 ω ∩ Fin))

Proof of Theorem ackbij2lem1
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordom 7583 . . . . . . 7 Ord ω
2 ordelss 6194 . . . . . . 7 ((Ord ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ⊆ ω)
31, 2mpan 689 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊆ ω)
43sspwd 4537 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → 𝒫 𝐴 ⊆ 𝒫 ω)
54sselda 3953 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑎 ∈ 𝒫 ω)
6 nnfi 8709 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
7 elpwi 4531 . . . . 5 (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴𝑎𝐴)
8 ssfi 8735 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎 ∈ Fin)
96, 7, 8syl2an 598 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑎 ∈ Fin)
105, 9elind 4156 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑎 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
1110ex 416 . 2 (𝐴 ∈ ω → (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)))
1211ssrdv 3959 1 (𝐴 ∈ ω → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝒫 ω ∩ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2115  cin 3918  wss 3919  𝒫 cpw 4522  Ord word 6177  ωcom 7574  Fincfn 8505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-br 5053  df-opab 5115  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-om 7575  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509
This theorem is referenced by:  ackbij1b  9659  ackbij2lem2  9660
  Copyright terms: Public domain W3C validator