Theorem ackbij2lem1 10237

Description: Lemma for ackbij2 10261. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ackbij2lem1	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝒫 ω ∩ Fin))

Proof of Theorem ackbij2lem1

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 7876	. . . . . . 7 ⊢ Ord ω
2		ordelss 6373	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ⊆ ω)
3	1, 2	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊆ ω)
4	3	sspwd 4593	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝒫 𝐴 ⊆ 𝒫 ω)
5	4	sselda 3963	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑎 ∈ 𝒫 ω)
6		nnfi 9186	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
7		elpwi 4587	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑎 ⊆ 𝐴)
8		ssfi 9192	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → 𝑎 ∈ Fin)
9	6, 7, 8	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑎 ∈ Fin)
10	5, 9	elind 4180	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑎 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
11	10	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑎 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)))
12	11	ssrdv 3969	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝒫 ω ∩ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931  𝒫 cpw 4580  Ord word 6356  ωcom 7866  Fincfn 8964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7867  df-1o 8485  df-en 8965  df-fin 8968

This theorem is referenced by:  ackbij1b  10257  ackbij2lem2  10258