Theorem ackbij2lem1 10213

Description: Lemma for ackbij2 10237. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ackbij2lem1	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝒫 ω ∩ Fin))

Proof of Theorem ackbij2lem1

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 7864	. . . . . . 7 ⊢ Ord ω
2		ordelss 6380	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ⊆ ω)
3	1, 2	mpan 688	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊆ ω)
4	3	sspwd 4615	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝒫 𝐴 ⊆ 𝒫 ω)
5	4	sselda 3982	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑎 ∈ 𝒫 ω)
6		nnfi 9166	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
7		elpwi 4609	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑎 ⊆ 𝐴)
8		ssfi 9172	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → 𝑎 ∈ Fin)
9	6, 7, 8	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑎 ∈ Fin)
10	5, 9	elind 4194	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑎 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
11	10	ex 413	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑎 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)))
12	11	ssrdv 3988	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝒫 ω ∩ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  𝒫 cpw 4602  Ord word 6363  ωcom 7854  Fincfn 8938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7855  df-1o 8465  df-en 8939  df-fin 8942

This theorem is referenced by:  ackbij1b  10233  ackbij2lem2  10234