Theorem ackbij2lem1 10303

Description: Lemma for ackbij2 10327. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ackbij2lem1	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝒫 ω ∩ Fin))

Proof of Theorem ackbij2lem1

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 7891	. . . . . . 7 ⊢ Ord ω
2		ordelss 6381	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ⊆ ω)
3	1, 2	mpan 703	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊆ ω)
4	3	sspwd 4569	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝒫 𝐴 ⊆ 𝒫 ω)
5	4	sselda 3909	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑎 ∈ 𝒫 ω)
6		nnfi 9191	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
7		elpwi 4563	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑎 ⊆ 𝐴)
8		ssfi 9196	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → 𝑎 ∈ Fin)
9	6, 7, 8	syl2an 608	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑎 ∈ Fin)
10	5, 9	elind 4096	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑎 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
11	10	ex 418	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑎 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)))
12	11	ssrdv 3915	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝒫 ω ∩ Fin))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896   ∩ cin 4088  𝒫 cpw 4556  Ord word 6364  ωcom 7881  Fincfn 8981

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7882  df-1o 8484  df-en 8982  df-fin 8985

This theorem is used by:  ackbij1b  10323  ackbij2lem2  10324