Theorem ackbij2lem1 10112

Description: Lemma for ackbij2 10136. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ackbij2lem1	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝒫 ω ∩ Fin))

Proof of Theorem ackbij2lem1

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 7809	. . . . . . 7 ⊢ Ord ω
2		ordelss 6323	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ⊆ ω)
3	1, 2	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊆ ω)
4	3	sspwd 4564	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝒫 𝐴 ⊆ 𝒫 ω)
5	4	sselda 3935	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑎 ∈ 𝒫 ω)
6		nnfi 9081	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
7		elpwi 4558	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑎 ⊆ 𝐴)
8		ssfi 9087	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → 𝑎 ∈ Fin)
9	6, 7, 8	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑎 ∈ Fin)
10	5, 9	elind 4151	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑎 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
11	10	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑎 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)))
12	11	ssrdv 3941	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝒫 ω ∩ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4551  Ord word 6306  ωcom 7799  Fincfn 8872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-om 7800  df-1o 8388  df-en 8873  df-fin 8876

This theorem is referenced by:  ackbij1b  10132  ackbij2lem2  10133