Theorem acsfn0 17722

Description: Algebraicity of a point closure condition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acsfn0	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝐾 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝐾,𝑎   𝑉,𝑎   𝑋,𝑎

Proof of Theorem acsfn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4356	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝑎
2	1	a1bi 365	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑎 ↔ (∅ ⊆ 𝑎 → 𝐾 ∈ 𝑎))
3	2	rabbii 3420	. 2 ⊢ {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝐾 ∈ 𝑎} = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (∅ ⊆ 𝑎 → 𝐾 ∈ 𝑎)}
4		0ss 4356	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝑋
5		0fi 9037	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
6		acsfn 17721	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) ∧ (∅ ⊆ 𝑋 ∧ ∅ ∈ Fin)) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (∅ ⊆ 𝑎 → 𝐾 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
7	4, 5, 6	mpanr12 717	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (∅ ⊆ 𝑎 → 𝐾 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
8	3, 7	eqeltrid 2866	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝐾 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2142  {crab 3415   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4561  ‘cfv 6536  Fincfn 8941  ACScacs 17643

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7861  df-en 8942  df-fin 8945  df-mre 17644  df-acs 17647

This theorem is used by:  submacs  18892