Theorem acsfn0 17679

Description: Algebraicity of a point closure condition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acsfn0	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝐾 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝐾,𝑎   𝑉,𝑎   𝑋,𝑎

Proof of Theorem acsfn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4382	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝑎
2	1	a1bi 362	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑎 ↔ (∅ ⊆ 𝑎 → 𝐾 ∈ 𝑎))
3	2	rabbii 3426	. 2 ⊢ {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝐾 ∈ 𝑎} = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (∅ ⊆ 𝑎 → 𝐾 ∈ 𝑎)}
4		0ss 4382	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝑋
5		0fi 9065	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
6		acsfn 17678	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) ∧ (∅ ⊆ 𝑋 ∧ ∅ ∈ Fin)) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (∅ ⊆ 𝑎 → 𝐾 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
7	4, 5, 6	mpanr12 705	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (∅ ⊆ 𝑎 → 𝐾 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
8	3, 7	eqeltrid 2837	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝐾 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107  {crab 3420   ⊆ wss 3933  ∅c0 4315  𝒫 cpw 4582  ‘cfv 6542  Fincfn 8968  ACScacs 17604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-int 4929  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-om 7871  df-en 8969  df-fin 8972  df-mre 17605  df-acs 17608

This theorem is referenced by:  submacs  18814