Theorem acsfn0 17585

Description: Algebraicity of a point closure condition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acsfn0	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝐾 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝐾,𝑎   𝑉,𝑎   𝑋,𝑎

Proof of Theorem acsfn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4352	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝑎
2	1	a1bi 362	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑎 ↔ (∅ ⊆ 𝑎 → 𝐾 ∈ 𝑎))
3	2	rabbii 3404	. 2 ⊢ {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝐾 ∈ 𝑎} = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (∅ ⊆ 𝑎 → 𝐾 ∈ 𝑎)}
4		0ss 4352	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝑋
5		0fi 8981	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
6		acsfn 17584	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) ∧ (∅ ⊆ 𝑋 ∧ ∅ ∈ Fin)) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (∅ ⊆ 𝑎 → 𝐾 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
7	4, 5, 6	mpanr12 705	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (∅ ⊆ 𝑎 → 𝐾 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
8	3, 7	eqeltrid 2840	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝐾 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  {crab 3399   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4554  ‘cfv 6492  Fincfn 8885  ACScacs 17506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-om 7809  df-en 8886  df-fin 8889  df-mre 17507  df-acs 17510

This theorem is referenced by:  submacs  18754