MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsfn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acsfn0 17369
Description: Algebraicity of a point closure condition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsfn0 ((𝑋𝑉𝐾𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋𝐾𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝐾,𝑎   𝑉,𝑎   𝑋,𝑎

Proof of Theorem acsfn0
StepHypRef Expression
1 0ss 4330 . . . 4 ∅ ⊆ 𝑎
21a1bi 363 . . 3 (𝐾𝑎 ↔ (∅ ⊆ 𝑎𝐾𝑎))
32rabbii 3408 . 2 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋𝐾𝑎} = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (∅ ⊆ 𝑎𝐾𝑎)}
4 0ss 4330 . . 3 ∅ ⊆ 𝑋
5 0fin 8954 . . 3 ∅ ∈ Fin
6 acsfn 17368 . . 3 (((𝑋𝑉𝐾𝑋) ∧ (∅ ⊆ 𝑋 ∧ ∅ ∈ Fin)) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (∅ ⊆ 𝑎𝐾𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
74, 5, 6mpanr12 702 . 2 ((𝑋𝑉𝐾𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (∅ ⊆ 𝑎𝐾𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
83, 7eqeltrid 2843 1 ((𝑋𝑉𝐾𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋𝐾𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2106  {crab 3068  wss 3887  c0 4256  𝒫 cpw 4533  cfv 6433  Fincfn 8733  ACScacs 17294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-om 7713  df-en 8734  df-fin 8737  df-mre 17295  df-acs 17298
This theorem is referenced by:  submacs  18465
  Copyright terms: Public domain W3C validator