Theorem acsfn0 17668

Description: Algebraicity of a point closure condition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acsfn0	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝐾 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝐾,𝑎   𝑉,𝑎   𝑋,𝑎

Proof of Theorem acsfn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4348	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝑎
2	1	a1bi 364	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑎 ↔ (∅ ⊆ 𝑎 → 𝐾 ∈ 𝑎))
3	2	rabbii 3413	. 2 ⊢ {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝐾 ∈ 𝑎} = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (∅ ⊆ 𝑎 → 𝐾 ∈ 𝑎)}
4		0ss 4348	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝑋
5		0fi 9012	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
6		acsfn 17667	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) ∧ (∅ ⊆ 𝑋 ∧ ∅ ∈ Fin)) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (∅ ⊆ 𝑎 → 𝐾 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
7	4, 5, 6	mpanr12 713	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (∅ ⊆ 𝑎 → 𝐾 ∈ 𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
8	3, 7	eqeltrid 2860	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ 𝐾 ∈ 𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2136  {crab 3408   ⊆ wss 3899  ∅c0 4280  𝒫 cpw 4549  ‘cfv 6510  Fincfn 8916  ACScacs 17589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rab 3409  df-v 3450  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-om 7836  df-en 8917  df-fin 8920  df-mre 17590  df-acs 17593

This theorem is referenced by:  submacs  18837