MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsfn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acsfn 17603
Description: Algebraicity of a conditional point closure condition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsfn (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) ∧ (𝑇 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑇 ∈ Fin)) β†’ {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑇 βŠ† π‘Ž β†’ 𝐾 ∈ π‘Ž)} ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
Distinct variable groups:   𝐾,π‘Ž   𝑇,π‘Ž   𝑉,π‘Ž   𝑋,π‘Ž

Proof of Theorem acsfn
Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funmpt 6587 . . . . . . 7 Fun (𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ if(𝑏 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…))
2 funiunfv 7247 . . . . . . 7 (Fun (𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ if(𝑏 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…)) β†’ βˆͺ 𝑐 ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)((𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ if(𝑏 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…))β€˜π‘) = βˆͺ ((𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ if(𝑏 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…)) β€œ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)))
31, 2mp1i 13 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) ∧ (𝑇 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑇 ∈ Fin)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ βˆͺ 𝑐 ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)((𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ if(𝑏 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…))β€˜π‘) = βˆͺ ((𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ if(𝑏 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…)) β€œ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)))
4 elinel1 4196 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin) β†’ 𝑐 ∈ 𝒫 π‘Ž)
54elpwid 4612 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin) β†’ 𝑐 βŠ† π‘Ž)
6 elpwi 4610 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 β†’ π‘Ž βŠ† 𝑋)
75, 6sylan9ssr 3997 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)) β†’ 𝑐 βŠ† 𝑋)
8 velpw 4608 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑐 βŠ† 𝑋)
97, 8sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)) β†’ 𝑐 ∈ 𝒫 𝑋)
109adantll 713 . . . . . . . 8 (((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) ∧ (𝑇 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑇 ∈ Fin)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)) β†’ 𝑐 ∈ 𝒫 𝑋)
11 eqeq1 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑐 β†’ (𝑏 = 𝑇 ↔ 𝑐 = 𝑇))
1211ifbid 4552 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑐 β†’ if(𝑏 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…) = if(𝑐 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…))
13 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ if(𝑏 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…)) = (𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ if(𝑏 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…))
14 snex 5432 . . . . . . . . . 10 {𝐾} ∈ V
15 0ex 5308 . . . . . . . . . 10 βˆ… ∈ V
1614, 15ifex 4579 . . . . . . . . 9 if(𝑐 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…) ∈ V
1712, 13, 16fvmpt 6999 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ 𝒫 𝑋 β†’ ((𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ if(𝑏 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…))β€˜π‘) = if(𝑐 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…))
1810, 17syl 17 . . . . . . 7 (((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) ∧ (𝑇 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑇 ∈ Fin)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)) β†’ ((𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ if(𝑏 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…))β€˜π‘) = if(𝑐 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…))
1918iuneq2dv 5022 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) ∧ (𝑇 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑇 ∈ Fin)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ βˆͺ 𝑐 ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)((𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ if(𝑏 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…))β€˜π‘) = βˆͺ 𝑐 ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)if(𝑐 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…))
203, 19eqtr3d 2775 . . . . 5 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) ∧ (𝑇 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑇 ∈ Fin)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ βˆͺ ((𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ if(𝑏 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…)) β€œ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)) = βˆͺ 𝑐 ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)if(𝑐 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…))
2120sseq1d 4014 . . . 4 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) ∧ (𝑇 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑇 ∈ Fin)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (βˆͺ ((𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ if(𝑏 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…)) β€œ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)) βŠ† π‘Ž ↔ βˆͺ 𝑐 ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)if(𝑐 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…) βŠ† π‘Ž))
22 iunss 5049 . . . . 5 (βˆͺ 𝑐 ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)if(𝑐 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…) βŠ† π‘Ž ↔ βˆ€π‘ ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)if(𝑐 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…) βŠ† π‘Ž)
23 sseq1 4008 . . . . . . . . 9 ({𝐾} = if(𝑐 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…) β†’ ({𝐾} βŠ† π‘Ž ↔ if(𝑐 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…) βŠ† π‘Ž))
2423bibi1d 344 . . . . . . . 8 ({𝐾} = if(𝑐 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…) β†’ (({𝐾} βŠ† π‘Ž ↔ (𝑐 = 𝑇 β†’ 𝐾 ∈ π‘Ž)) ↔ (if(𝑐 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…) βŠ† π‘Ž ↔ (𝑐 = 𝑇 β†’ 𝐾 ∈ π‘Ž))))
25 sseq1 4008 . . . . . . . . 9 (βˆ… = if(𝑐 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…) β†’ (βˆ… βŠ† π‘Ž ↔ if(𝑐 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…) βŠ† π‘Ž))
2625bibi1d 344 . . . . . . . 8 (βˆ… = if(𝑐 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…) β†’ ((βˆ… βŠ† π‘Ž ↔ (𝑐 = 𝑇 β†’ 𝐾 ∈ π‘Ž)) ↔ (if(𝑐 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…) βŠ† π‘Ž ↔ (𝑐 = 𝑇 β†’ 𝐾 ∈ π‘Ž))))
27 snssg 4788 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ 𝑋 β†’ (𝐾 ∈ π‘Ž ↔ {𝐾} βŠ† π‘Ž))
2827adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 = 𝑇) β†’ (𝐾 ∈ π‘Ž ↔ {𝐾} βŠ† π‘Ž))
29 biimt 361 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑇 β†’ (𝐾 ∈ π‘Ž ↔ (𝑐 = 𝑇 β†’ 𝐾 ∈ π‘Ž)))
3029adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 = 𝑇) β†’ (𝐾 ∈ π‘Ž ↔ (𝑐 = 𝑇 β†’ 𝐾 ∈ π‘Ž)))
3128, 30bitr3d 281 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 = 𝑇) β†’ ({𝐾} βŠ† π‘Ž ↔ (𝑐 = 𝑇 β†’ 𝐾 ∈ π‘Ž)))
32 0ss 4397 . . . . . . . . . . 11 βˆ… βŠ† π‘Ž
3332a1i 11 . . . . . . . . . 10 (Β¬ 𝑐 = 𝑇 β†’ βˆ… βŠ† π‘Ž)
34 pm2.21 123 . . . . . . . . . 10 (Β¬ 𝑐 = 𝑇 β†’ (𝑐 = 𝑇 β†’ 𝐾 ∈ π‘Ž))
3533, 342thd 265 . . . . . . . . 9 (Β¬ 𝑐 = 𝑇 β†’ (βˆ… βŠ† π‘Ž ↔ (𝑐 = 𝑇 β†’ 𝐾 ∈ π‘Ž)))
3635adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑐 = 𝑇) β†’ (βˆ… βŠ† π‘Ž ↔ (𝑐 = 𝑇 β†’ 𝐾 ∈ π‘Ž)))
3724, 26, 31, 36ifbothda 4567 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ 𝑋 β†’ (if(𝑐 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…) βŠ† π‘Ž ↔ (𝑐 = 𝑇 β†’ 𝐾 ∈ π‘Ž)))
3837ralbidv 3178 . . . . . 6 (𝐾 ∈ 𝑋 β†’ (βˆ€π‘ ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)if(𝑐 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…) βŠ† π‘Ž ↔ βˆ€π‘ ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)(𝑐 = 𝑇 β†’ 𝐾 ∈ π‘Ž)))
3938ad3antlr 730 . . . . 5 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) ∧ (𝑇 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑇 ∈ Fin)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (βˆ€π‘ ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)if(𝑐 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…) βŠ† π‘Ž ↔ βˆ€π‘ ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)(𝑐 = 𝑇 β†’ 𝐾 ∈ π‘Ž)))
4022, 39bitrid 283 . . . 4 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) ∧ (𝑇 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑇 ∈ Fin)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (βˆͺ 𝑐 ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)if(𝑐 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…) βŠ† π‘Ž ↔ βˆ€π‘ ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)(𝑐 = 𝑇 β†’ 𝐾 ∈ π‘Ž)))
41 inss1 4229 . . . . . . . 8 (𝒫 π‘Ž ∩ Fin) βŠ† 𝒫 π‘Ž
426sspwd 4616 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 β†’ 𝒫 π‘Ž βŠ† 𝒫 𝑋)
4341, 42sstrid 3994 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 β†’ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin) βŠ† 𝒫 𝑋)
4443adantl 483 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) ∧ (𝑇 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑇 ∈ Fin)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin) βŠ† 𝒫 𝑋)
45 ralss 4055 . . . . . 6 ((𝒫 π‘Ž ∩ Fin) βŠ† 𝒫 𝑋 β†’ (βˆ€π‘ ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)(𝑐 = 𝑇 β†’ 𝐾 ∈ π‘Ž) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑐 ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin) β†’ (𝑐 = 𝑇 β†’ 𝐾 ∈ π‘Ž))))
4644, 45syl 17 . . . . 5 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) ∧ (𝑇 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑇 ∈ Fin)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (βˆ€π‘ ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)(𝑐 = 𝑇 β†’ 𝐾 ∈ π‘Ž) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑐 ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin) β†’ (𝑐 = 𝑇 β†’ 𝐾 ∈ π‘Ž))))
47 bi2.04 389 . . . . . . 7 ((𝑐 ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin) β†’ (𝑐 = 𝑇 β†’ 𝐾 ∈ π‘Ž)) ↔ (𝑐 = 𝑇 β†’ (𝑐 ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin) β†’ 𝐾 ∈ π‘Ž)))
4847ralbii 3094 . . . . . 6 (βˆ€π‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑐 ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin) β†’ (𝑐 = 𝑇 β†’ 𝐾 ∈ π‘Ž)) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑐 = 𝑇 β†’ (𝑐 ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin) β†’ 𝐾 ∈ π‘Ž)))
49 elpwg 4606 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ Fin β†’ (𝑇 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑇 βŠ† 𝑋))
5049biimparc 481 . . . . . . . 8 ((𝑇 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑇 ∈ Fin) β†’ 𝑇 ∈ 𝒫 𝑋)
5150ad2antlr 726 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) ∧ (𝑇 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑇 ∈ Fin)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ 𝑇 ∈ 𝒫 𝑋)
52 eleq1 2822 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑇 β†’ (𝑐 ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin) ↔ 𝑇 ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)))
5352imbi1d 342 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑇 β†’ ((𝑐 ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin) β†’ 𝐾 ∈ π‘Ž) ↔ (𝑇 ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin) β†’ 𝐾 ∈ π‘Ž)))
5453ceqsralv 3514 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ 𝒫 𝑋 β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑐 = 𝑇 β†’ (𝑐 ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin) β†’ 𝐾 ∈ π‘Ž)) ↔ (𝑇 ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin) β†’ 𝐾 ∈ π‘Ž)))
5551, 54syl 17 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) ∧ (𝑇 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑇 ∈ Fin)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑐 = 𝑇 β†’ (𝑐 ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin) β†’ 𝐾 ∈ π‘Ž)) ↔ (𝑇 ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin) β†’ 𝐾 ∈ π‘Ž)))
5648, 55bitrid 283 . . . . 5 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) ∧ (𝑇 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑇 ∈ Fin)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑐 ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin) β†’ (𝑐 = 𝑇 β†’ 𝐾 ∈ π‘Ž)) ↔ (𝑇 ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin) β†’ 𝐾 ∈ π‘Ž)))
57 simplrr 777 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) ∧ (𝑇 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑇 ∈ Fin)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ 𝑇 ∈ Fin)
5857biantrud 533 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) ∧ (𝑇 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑇 ∈ Fin)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (𝑇 ∈ 𝒫 π‘Ž ↔ (𝑇 ∈ 𝒫 π‘Ž ∧ 𝑇 ∈ Fin)))
59 elin 3965 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin) ↔ (𝑇 ∈ 𝒫 π‘Ž ∧ 𝑇 ∈ Fin))
6058, 59bitr4di 289 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) ∧ (𝑇 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑇 ∈ Fin)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (𝑇 ∈ 𝒫 π‘Ž ↔ 𝑇 ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)))
61 vex 3479 . . . . . . . 8 π‘Ž ∈ V
6261elpw2 5346 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ 𝒫 π‘Ž ↔ 𝑇 βŠ† π‘Ž)
6360, 62bitr3di 286 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) ∧ (𝑇 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑇 ∈ Fin)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (𝑇 ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin) ↔ 𝑇 βŠ† π‘Ž))
6463imbi1d 342 . . . . 5 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) ∧ (𝑇 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑇 ∈ Fin)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ ((𝑇 ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin) β†’ 𝐾 ∈ π‘Ž) ↔ (𝑇 βŠ† π‘Ž β†’ 𝐾 ∈ π‘Ž)))
6546, 56, 643bitrd 305 . . . 4 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) ∧ (𝑇 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑇 ∈ Fin)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ (βˆ€π‘ ∈ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)(𝑐 = 𝑇 β†’ 𝐾 ∈ π‘Ž) ↔ (𝑇 βŠ† π‘Ž β†’ 𝐾 ∈ π‘Ž)))
6621, 40, 653bitrrd 306 . . 3 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) ∧ (𝑇 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑇 ∈ Fin)) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋) β†’ ((𝑇 βŠ† π‘Ž β†’ 𝐾 ∈ π‘Ž) ↔ βˆͺ ((𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ if(𝑏 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…)) β€œ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)) βŠ† π‘Ž))
6766rabbidva 3440 . 2 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) ∧ (𝑇 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑇 ∈ Fin)) β†’ {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑇 βŠ† π‘Ž β†’ 𝐾 ∈ π‘Ž)} = {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ ((𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ if(𝑏 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…)) β€œ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)) βŠ† π‘Ž})
68 simpll 766 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) ∧ (𝑇 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑇 ∈ Fin)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
69 snelpwi 5444 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ 𝑋 β†’ {𝐾} ∈ 𝒫 𝑋)
7069ad2antlr 726 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) ∧ (𝑇 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑇 ∈ Fin)) β†’ {𝐾} ∈ 𝒫 𝑋)
71 0elpw 5355 . . . . . 6 βˆ… ∈ 𝒫 𝑋
72 ifcl 4574 . . . . . 6 (({𝐾} ∈ 𝒫 𝑋 ∧ βˆ… ∈ 𝒫 𝑋) β†’ if(𝑏 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…) ∈ 𝒫 𝑋)
7370, 71, 72sylancl 587 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) ∧ (𝑇 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑇 ∈ Fin)) β†’ if(𝑏 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…) ∈ 𝒫 𝑋)
7473adantr 482 . . . 4 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) ∧ (𝑇 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑇 ∈ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝑋) β†’ if(𝑏 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…) ∈ 𝒫 𝑋)
7574fmpttd 7115 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) ∧ (𝑇 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑇 ∈ Fin)) β†’ (𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ if(𝑏 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…)):𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋)
76 isacs1i 17601 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ if(𝑏 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…)):𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) β†’ {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ ((𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ if(𝑏 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…)) β€œ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)) βŠ† π‘Ž} ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
7768, 75, 76syl2anc 585 . 2 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) ∧ (𝑇 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑇 ∈ Fin)) β†’ {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ ((𝑏 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ if(𝑏 = 𝑇, {𝐾}, βˆ…)) β€œ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)) βŠ† π‘Ž} ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
7867, 77eqeltrd 2834 1 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑋) ∧ (𝑇 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑇 ∈ Fin)) β†’ {π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑇 βŠ† π‘Ž β†’ 𝐾 ∈ π‘Ž)} ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  {crab 3433   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  ifcif 4529  π’« cpw 4603  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909  βˆͺ ciun 4998   ↦ cmpt 5232   β€œ cima 5680  Fun wfun 6538  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  Fincfn 8939  ACScacs 17529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-mre 17530  df-acs 17533
This theorem is referenced by:  acsfn0  17604  acsfn1  17605  acsfn2  17607  acsfn1p  20415
  Copyright terms: Public domain W3C validator