Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | breq1 5109 |
. . . . . . . 8
β’ (π = 0 β (ππΆ(π β¨ π) β 0 πΆ(π β¨ π))) |
2 | 1 | biimpd 228 |
. . . . . . 7
β’ (π = 0 β (ππΆ(π β¨ π) β 0 πΆ(π β¨ π))) |
3 | 2 | adantl 483 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΅ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ π = 0 ) β (ππΆ(π β¨ π) β 0 πΆ(π β¨ π))) |
4 | | atcvrj0.j |
. . . . . . . . 9
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
5 | | atcvrj0.z |
. . . . . . . . 9
β’ 0 =
(0.βπΎ) |
6 | | atcvrj0.c |
. . . . . . . . 9
β’ πΆ = ( β βπΎ) |
7 | | atcvrj0.a |
. . . . . . . . 9
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
8 | 4, 5, 6, 7 | atcvr0eq 37935 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β ( 0 πΆ(π β¨ π) β π = π)) |
9 | 8 | 3adant3r1 1183 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΅ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ( 0 πΆ(π β¨ π) β π = π)) |
10 | 9 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΅ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ π = 0 ) β ( 0 πΆ(π β¨ π) β π = π)) |
11 | 3, 10 | sylibd 238 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΅ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ π = 0 ) β (ππΆ(π β¨ π) β π = π)) |
12 | 11 | ex 414 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΅ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π = 0 β (ππΆ(π β¨ π) β π = π))) |
13 | 12 | com23 86 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΅ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (ππΆ(π β¨ π) β (π = 0 β π = π))) |
14 | 13 | 3impia 1118 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΅ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ ππΆ(π β¨ π)) β (π = 0 β π = π)) |
15 | | oveq1 7365 |
. . . . . . 7
β’ (π = π β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
16 | 15 | breq2d 5118 |
. . . . . 6
β’ (π = π β (ππΆ(π β¨ π) β ππΆ(π β¨ π))) |
17 | 16 | biimpac 480 |
. . . . 5
β’ ((ππΆ(π β¨ π) β§ π = π) β ππΆ(π β¨ π)) |
18 | | simpr3 1197 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΅ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
19 | 4, 7 | hlatjidm 37877 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄) β (π β¨ π) = π) |
20 | 18, 19 | syldan 592 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΅ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) = π) |
21 | 20 | breq2d 5118 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΅ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (ππΆ(π β¨ π) β ππΆπ)) |
22 | | hlatl 37868 |
. . . . . . . . 9
β’ (πΎ β HL β πΎ β AtLat) |
23 | 22 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΅ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β πΎ β AtLat) |
24 | | simpr1 1195 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΅ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΅) |
25 | | atcvrj0.b |
. . . . . . . . 9
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
26 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . 9
β’
(leβπΎ) =
(leβπΎ) |
27 | 25, 26, 5, 6, 7 | atcvreq0 37822 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β AtLat β§ π β π΅ β§ π β π΄) β (ππΆπ β π = 0 )) |
28 | 23, 24, 18, 27 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΅ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (ππΆπ β π = 0 )) |
29 | 28 | biimpd 228 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΅ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (ππΆπ β π = 0 )) |
30 | 21, 29 | sylbid 239 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΅ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (ππΆ(π β¨ π) β π = 0 )) |
31 | 17, 30 | syl5 34 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΅ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((ππΆ(π β¨ π) β§ π = π) β π = 0 )) |
32 | 31 | expd 417 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΅ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β (ππΆ(π β¨ π) β (π = π β π = 0 ))) |
33 | 32 | 3impia 1118 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΅ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ ππΆ(π β¨ π)) β (π = π β π = 0 )) |
34 | 14, 33 | impbid 211 |
1
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΅ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ ππΆ(π β¨ π)) β (π = 0 β π = π)) |