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Theorem bnj1379 34140
Description: First-order logic and set theory. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj1379.1 (𝜑 ↔ ∀𝑓𝐴 Fun 𝑓)
bnj1379.2 𝐷 = (dom 𝑓 ∩ dom 𝑔)
bnj1379.3 (𝜓 ↔ (𝜑 ∧ ∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (𝑓𝐷) = (𝑔𝐷)))
bnj1379.5 (𝜒 ↔ (𝜓 ∧ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴))
bnj1379.6 (𝜃 ↔ (𝜒𝑓𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑓))
bnj1379.7 (𝜏 ↔ (𝜃𝑔𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑔))
Assertion
Ref Expression
bnj1379 (𝜓 → Fun 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷   𝜑,𝑔   𝜓,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓)   𝜓(𝑓,𝑔)   𝜒(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝜃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝜏(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝐷(𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem bnj1379
StepHypRef Expression
1 bnj1379.3 . . . . 5 (𝜓 ↔ (𝜑 ∧ ∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (𝑓𝐷) = (𝑔𝐷)))
2 bnj1379.1 . . . . . . . 8 (𝜑 ↔ ∀𝑓𝐴 Fun 𝑓)
32bnj1095 34091 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑓𝜑)
43nf5i 2141 . . . . . 6 𝑓𝜑
5 nfra1 3280 . . . . . 6 𝑓𝑓𝐴𝑔𝐴 (𝑓𝐷) = (𝑔𝐷)
64, 5nfan 1901 . . . . 5 𝑓(𝜑 ∧ ∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (𝑓𝐷) = (𝑔𝐷))
71, 6nfxfr 1854 . . . 4 𝑓𝜓
82bnj946 34084 . . . . . . . 8 (𝜑 ↔ ∀𝑓(𝑓𝐴 → Fun 𝑓))
98biimpi 215 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑓(𝑓𝐴 → Fun 𝑓))
10919.21bi 2181 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑓𝐴 → Fun 𝑓))
111, 10bnj832 34068 . . . . 5 (𝜓 → (𝑓𝐴 → Fun 𝑓))
12 funrel 6565 . . . . 5 (Fun 𝑓 → Rel 𝑓)
1311, 12syl6 35 . . . 4 (𝜓 → (𝑓𝐴 → Rel 𝑓))
147, 13ralrimi 3253 . . 3 (𝜓 → ∀𝑓𝐴 Rel 𝑓)
15 reluni 5818 . . 3 (Rel 𝐴 ↔ ∀𝑓𝐴 Rel 𝑓)
1614, 15sylibr 233 . 2 (𝜓 → Rel 𝐴)
17 bnj1379.5 . . . . . 6 (𝜒 ↔ (𝜓 ∧ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴))
18 eluni2 4912 . . . . . . . . . . . 12 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑓𝐴𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑓)
1918biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 → ∃𝑓𝐴𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑓)
2019bnj1196 34104 . . . . . . . . . 10 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 → ∃𝑓(𝑓𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑓))
2117, 20bnj836 34070 . . . . . . . . 9 (𝜒 → ∃𝑓(𝑓𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑓))
22 bnj1379.6 . . . . . . . . 9 (𝜃 ↔ (𝜒𝑓𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑓))
23 nfv 1916 . . . . . . . . . . . 12 𝑓𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴
24 nfv 1916 . . . . . . . . . . . 12 𝑓𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴
257, 23, 24nf3an 1903 . . . . . . . . . . 11 𝑓(𝜓 ∧ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴)
2617, 25nfxfr 1854 . . . . . . . . . 10 𝑓𝜒
2726nf5ri 2187 . . . . . . . . 9 (𝜒 → ∀𝑓𝜒)
2821, 22, 27bnj1345 34134 . . . . . . . 8 (𝜒 → ∃𝑓𝜃)
2917simp3bi 1146 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴)
3022, 29bnj835 34069 . . . . . . . . . . . 12 (𝜃 → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴)
31 eluni2 4912 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑔𝐴𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑔)
3231biimpi 215 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 → ∃𝑔𝐴𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑔)
3332bnj1196 34104 . . . . . . . . . . . 12 (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴 → ∃𝑔(𝑔𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑔))
3430, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜃 → ∃𝑔(𝑔𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑔))
35 bnj1379.7 . . . . . . . . . . 11 (𝜏 ↔ (𝜃𝑔𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑔))
36 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑔𝜑
37 nfra2w 3295 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑔𝑓𝐴𝑔𝐴 (𝑓𝐷) = (𝑔𝐷)
3836, 37nfan 1901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑔(𝜑 ∧ ∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (𝑓𝐷) = (𝑔𝐷))
391, 38nfxfr 1854 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑔𝜓
40 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑔𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴
41 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑔𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴
4239, 40, 41nf3an 1903 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑔(𝜓 ∧ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴)
4317, 42nfxfr 1854 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑔𝜒
44 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑔 𝑓𝐴
45 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑔𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑓
4643, 44, 45nf3an 1903 . . . . . . . . . . . . 13 𝑔(𝜒𝑓𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑓)
4722, 46nfxfr 1854 . . . . . . . . . . . 12 𝑔𝜃
4847nf5ri 2187 . . . . . . . . . . 11 (𝜃 → ∀𝑔𝜃)
4934, 35, 48bnj1345 34134 . . . . . . . . . 10 (𝜃 → ∃𝑔𝜏)
501simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜓 → ∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (𝑓𝐷) = (𝑔𝐷))
5117, 50bnj835 34069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (𝑓𝐷) = (𝑔𝐷))
5222, 51bnj835 34069 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜃 → ∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (𝑓𝐷) = (𝑔𝐷))
5335, 52bnj835 34069 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜏 → ∀𝑓𝐴𝑔𝐴 (𝑓𝐷) = (𝑔𝐷))
5422, 35bnj1219 34110 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜏𝑓𝐴)
5553, 54bnj1294 34127 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜏 → ∀𝑔𝐴 (𝑓𝐷) = (𝑔𝐷))
5635simp2bi 1145 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜏𝑔𝐴)
5755, 56bnj1294 34127 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜏 → (𝑓𝐷) = (𝑔𝐷))
5857fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . 12 (𝜏 → ((𝑓𝐷)‘𝑥) = ((𝑔𝐷)‘𝑥))
5922simp3bi 1146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜃 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑓)
6035, 59bnj835 34069 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜏 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑓)
61 vex 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 ∈ V
62 vex 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦 ∈ V
6361, 62opeldm 5907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑓𝑥 ∈ dom 𝑓)
6460, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜏𝑥 ∈ dom 𝑓)
65 vex 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧 ∈ V
6661, 65opeldm 5907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑔𝑥 ∈ dom 𝑔)
6735, 66bnj837 34071 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜏𝑥 ∈ dom 𝑔)
6864, 67elind 4194 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜏𝑥 ∈ (dom 𝑓 ∩ dom 𝑔))
69 bnj1379.2 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 = (dom 𝑓 ∩ dom 𝑔)
7068, 69eleqtrrdi 2843 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜏𝑥𝐷)
7170fvresd 6911 . . . . . . . . . . . 12 (𝜏 → ((𝑓𝐷)‘𝑥) = (𝑓𝑥))
7270fvresd 6911 . . . . . . . . . . . 12 (𝜏 → ((𝑔𝐷)‘𝑥) = (𝑔𝑥))
7358, 71, 723eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . 11 (𝜏 → (𝑓𝑥) = (𝑔𝑥))
742biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑓𝐴 Fun 𝑓)
751, 74bnj832 34068 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜓 → ∀𝑓𝐴 Fun 𝑓)
7617, 75bnj835 34069 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ∀𝑓𝐴 Fun 𝑓)
7722, 76bnj835 34069 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜃 → ∀𝑓𝐴 Fun 𝑓)
7835, 77bnj835 34069 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜏 → ∀𝑓𝐴 Fun 𝑓)
7978, 54bnj1294 34127 . . . . . . . . . . . 12 (𝜏 → Fun 𝑓)
80 funopfv 6943 . . . . . . . . . . . 12 (Fun 𝑓 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑓 → (𝑓𝑥) = 𝑦))
8179, 60, 80sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (𝜏 → (𝑓𝑥) = 𝑦)
82 funeq 6568 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝑔 → (Fun 𝑓 ↔ Fun 𝑔))
8382, 78, 56rspcdva 3613 . . . . . . . . . . . 12 (𝜏 → Fun 𝑔)
8435simp3bi 1146 . . . . . . . . . . . 12 (𝜏 → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑔)
85 funopfv 6943 . . . . . . . . . . . 12 (Fun 𝑔 → (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑔 → (𝑔𝑥) = 𝑧))
8683, 84, 85sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (𝜏 → (𝑔𝑥) = 𝑧)
8773, 81, 863eqtr3d 2779 . . . . . . . . . 10 (𝜏𝑦 = 𝑧)
8849, 87bnj593 34055 . . . . . . . . 9 (𝜃 → ∃𝑔 𝑦 = 𝑧)
8988bnj937 34081 . . . . . . . 8 (𝜃𝑦 = 𝑧)
9028, 89bnj593 34055 . . . . . . 7 (𝜒 → ∃𝑓 𝑦 = 𝑧)
9190bnj937 34081 . . . . . 6 (𝜒𝑦 = 𝑧)
9217, 91sylbir 234 . . . . 5 ((𝜓 ∧ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴) → 𝑦 = 𝑧)
93923expib 1121 . . . 4 (𝜓 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴) → 𝑦 = 𝑧))
9493alrimivv 1930 . . 3 (𝜓 → ∀𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴) → 𝑦 = 𝑧))
9594alrimiv 1929 . 2 (𝜓 → ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴) → 𝑦 = 𝑧))
96 dffun4 6559 . 2 (Fun 𝐴 ↔ (Rel 𝐴 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐴) → 𝑦 = 𝑧)))
9716, 95, 96sylanbrc 582 1 (𝜓 → Fun 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1086  wal 1538   = wceq 1540  wex 1780  wcel 2105  wral 3060  wrex 3069  cin 3947  cop 4634   cuni 4908  dom cdm 5676  cres 5678  Rel wrel 5681  Fun wfun 6537  cfv 6543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-res 5688  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551
This theorem is referenced by:  bnj1383  34141
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