Theorem canth3 10461

Description: Cantor's theorem in terms of cardinals. This theorem tells us that no matter how large a cardinal number is, there is a still larger cardinal number. Theorem 18.12 of [Monk1] p. 133. (Contributed by NM, 5-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
canth3	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (card‘𝐴) ∈ (card‘𝒫 𝐴))

Proof of Theorem canth3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		canth2g 9053	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
2		pwexg 5320	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
3		cardsdom 10455	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝒫 𝐴) ↔ 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴))
4	2, 3	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝒫 𝐴) ↔ 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴))
5	1, 4	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (card‘𝐴) ∈ (card‘𝒫 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437  𝒫 cpw 4551   class class class wbr 5095  ‘cfv 6488   ≺ csdm 8876  cardccrd 9837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-ac2 10363

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7311  df-ov 7357  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-card 9841  df-ac 10016

This theorem is referenced by: (None)