Theorem cfle 10176

Description: Cofinality is bounded by its argument. Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 102. (Contributed by NM, 26-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cfle	⊢ (cf‘𝐴) ⊆ 𝐴

Proof of Theorem cfle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cflecard 10175	. . 3 ⊢ (cf‘𝐴) ⊆ (card‘𝐴)
2		cardonle 9881	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (card‘𝐴) ⊆ 𝐴)
3	1, 2	sstrid 3933	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (cf‘𝐴) ⊆ 𝐴)
4		cff 10170	. . . . . 6 ⊢ cf:On⟶On
5	4	fdmi 6679	. . . . 5 ⊢ dom cf = On
6	5	eleq2i 2828	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom cf ↔ 𝐴 ∈ On)
7		ndmfv 6872	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom cf → (cf‘𝐴) = ∅)
8	6, 7	sylnbir 331	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ On → (cf‘𝐴) = ∅)
9		0ss 4340	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
10	8, 9	eqsstrdi 3966	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ On → (cf‘𝐴) ⊆ 𝐴)
11	3, 10	pm2.61i 182	1 ⊢ (cf‘𝐴) ⊆ 𝐴

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  dom cdm 5631  Oncon0 6323  ‘cfv 6498  cardccrd 9859  cfccf 9861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6326  df-on 6327  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-en 8894  df-card 9863  df-cf 9865

This theorem is referenced by:  cfom  10186  cfidm  10197  alephreg  10505  winafp  10620  tskcard  10704  gruina  10741