Theorem cfle 10248

Description: Cofinality is bounded by its argument. Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 102. (Contributed by NM, 26-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cfle	⊢ (cf‘𝐴) ⊆ 𝐴

Proof of Theorem cfle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cflecard 10247	. . 3 ⊢ (cf‘𝐴) ⊆ (card‘𝐴)
2		cardonle 9951	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (card‘𝐴) ⊆ 𝐴)
3	1, 2	sstrid 3993	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (cf‘𝐴) ⊆ 𝐴)
4		cff 10242	. . . . . 6 ⊢ cf:On⟶On
5	4	fdmi 6729	. . . . 5 ⊢ dom cf = On
6	5	eleq2i 2825	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom cf ↔ 𝐴 ∈ On)
7		ndmfv 6926	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom cf → (cf‘𝐴) = ∅)
8	6, 7	sylnbir 330	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ On → (cf‘𝐴) = ∅)
9		0ss 4396	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
10	8, 9	eqsstrdi 4036	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ On → (cf‘𝐴) ⊆ 𝐴)
11	3, 10	pm2.61i 182	1 ⊢ (cf‘𝐴) ⊆ 𝐴

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  dom cdm 5676  Oncon0 6364  ‘cfv 6543  cardccrd 9929  cfccf 9931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-en 8939  df-card 9933  df-cf 9935

This theorem is referenced by:  cfom  10258  cfidm  10269  alephreg  10576  winafp  10691  tskcard  10775  gruina  10812