Theorem cfle 10200

Description: Cofinality is bounded by its argument. Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 102. (Contributed by NM, 26-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cfle	⊢ (cf‘𝐴) ⊆ 𝐴

Proof of Theorem cfle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cflecard 10199	. . 3 ⊢ (cf‘𝐴) ⊆ (card‘𝐴)
2		cardonle 9905	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (card‘𝐴) ⊆ 𝐴)
3	1, 2	sstrid 3942	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (cf‘𝐴) ⊆ 𝐴)
4		cff 10194	. . . . . 6 ⊢ cf:On⟶On
5	4	fdmi 6692	. . . . 5 ⊢ dom cf = On
6	5	eleq2i 2848	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom cf ↔ 𝐴 ∈ On)
7		ndmfv 6888	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom cf → (cf‘𝐴) = ∅)
8	6, 7	sylnbir 333	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ On → (cf‘𝐴) = ∅)
9		0ss 4348	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
10	8, 9	eqsstrdi 3975	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ On → (cf‘𝐴) ⊆ 𝐴)
11	3, 10	pm2.61i 183	1 ⊢ (cf‘𝐴) ⊆ 𝐴

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   ⊆ wss 3899  ∅c0 4280  dom cdm 5640  Oncon0 6335  ‘cfv 6510  cardccrd 9883  cfccf 9885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rab 3409  df-v 3450  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-ord 6338  df-on 6339  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-en 8917  df-card 9887  df-cf 9889

This theorem is referenced by:  cfom  10211  cfidm  10222  alephreg  10530  winafp  10645  tskcard  10729  gruina  10766