Theorem cfle 10174

Description: Cofinality is bounded by its argument. Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 102. (Contributed by NM, 26-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cfle	⊢ (cf‘𝐴) ⊆ 𝐴

Proof of Theorem cfle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cflecard 10173	. . 3 ⊢ (cf‘𝐴) ⊆ (card‘𝐴)
2		cardonle 9879	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (card‘𝐴) ⊆ 𝐴)
3	1, 2	sstrid 3933	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (cf‘𝐴) ⊆ 𝐴)
4		cff 10168	. . . . . 6 ⊢ cf:On⟶On
5	4	fdmi 6673	. . . . 5 ⊢ dom cf = On
6	5	eleq2i 2832	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom cf ↔ 𝐴 ∈ On)
7		ndmfv 6866	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom cf → (cf‘𝐴) = ∅)
8	6, 7	sylnbir 332	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ On → (cf‘𝐴) = ∅)
9		0ss 4335	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
10	8, 9	eqsstrdi 3966	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ On → (cf‘𝐴) ⊆ 𝐴)
11	3, 10	pm2.61i 183	1 ⊢ (cf‘𝐴) ⊆ 𝐴

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268  dom cdm 5625  Oncon0 6317  ‘cfv 6492  cardccrd 9857  cfccf 9859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6320  df-on 6321  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-en 8891  df-card 9861  df-cf 9863

This theorem is referenced by:  cfom  10184  cfidm  10195  alephreg  10503  winafp  10618  tskcard  10702  gruina  10739