Theorem cfle 10312

Description: Cofinality is bounded by its argument. Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 102. (Contributed by NM, 26-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cfle	⊢ (cf‘𝐴) ⊆ 𝐴

Proof of Theorem cfle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cflecard 10311	. . 3 ⊢ (cf‘𝐴) ⊆ (card‘𝐴)
2		cardonle 10019	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (card‘𝐴) ⊆ 𝐴)
3	1, 2	sstrid 3942	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (cf‘𝐴) ⊆ 𝐴)
4		cff 10306	. . . . . 6 ⊢ cf:On⟶On
5	4	fdmi 6713	. . . . 5 ⊢ dom cf = On
6	5	eleq2i 2853	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom cf ↔ 𝐴 ∈ On)
7		ndmfv 6909	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom cf → (cf‘𝐴) = ∅)
8	6, 7	sylnbir 334	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ On → (cf‘𝐴) = ∅)
9		0ss 4350	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
10	8, 9	eqsstrdi 3975	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ On → (cf‘𝐴) ⊆ 𝐴)
11	3, 10	pm2.61i 184	1 ⊢ (cf‘𝐴) ⊆ 𝐴

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  dom cdm 5651  Oncon0 6355  ‘cfv 6531  cardccrd 9997  cfccf 9999

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6358  df-on 6359  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-en 8958  df-card 10001  df-cf 10003

This theorem is used by:  cfom  10323  cfidm  10334  alephreg  10648  winafp  10763  tskcard  10847  gruina  10884