Theorem cardsn 9956

Description: A singleton has cardinality one. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cardsn	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (card‘{𝐴}) = 1o)

Proof of Theorem cardsn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ {𝐴} = {𝐴}
2		sneq 4600	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑥} = {𝐴})
3	2	eqeq2d 2774	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ({𝐴} = {𝑥} ↔ {𝐴} = {𝐴}))
4	3	spcegv 3557	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({𝐴} = {𝐴} → ∃𝑥{𝐴} = {𝑥}))
5	1, 4	mpi 21	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∃𝑥{𝐴} = {𝑥})
6		card1 9955	. 2 ⊢ ((card‘{𝐴}) = 1o ↔ ∃𝑥{𝐴} = {𝑥})
7	5, 6	sylibr 237	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (card‘{𝐴}) = 1o)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143  {csn 4590  ‘cfv 6538  1_oc1o 8447  cardccrd 9922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-om 7864  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-card 9926

This theorem is referenced by:  ackbij1lem14  10216  cfsuc  10242