MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cardsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cardsn 9910
Description: A singleton has cardinality one. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
cardsn (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (cardβ€˜{𝐴}) = 1o)

Proof of Theorem cardsn
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 {𝐴} = {𝐴}
2 sneq 4597 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ {π‘₯} = {𝐴})
32eqeq2d 2744 . . . 4 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ({𝐴} = {π‘₯} ↔ {𝐴} = {𝐴}))
43spcegv 3555 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ({𝐴} = {𝐴} β†’ βˆƒπ‘₯{𝐴} = {π‘₯}))
51, 4mpi 20 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ βˆƒπ‘₯{𝐴} = {π‘₯})
6 card1 9909 . 2 ((cardβ€˜{𝐴}) = 1o ↔ βˆƒπ‘₯{𝐴} = {π‘₯})
75, 6sylibr 233 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (cardβ€˜{𝐴}) = 1o)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  {csn 4587  β€˜cfv 6497  1oc1o 8406  cardccrd 9876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-om 7804  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9880
This theorem is referenced by:  ackbij1lem14  10174  cfsuc  10198
  Copyright terms: Public domain W3C validator