Theorem cardsn 9961

Description: A singleton has cardinality one. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cardsn	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (card‘{𝐴}) = 1o)

Proof of Theorem cardsn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2724	. . 3 ⊢ {𝐴} = {𝐴}
2		sneq 4631	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑥} = {𝐴})
3	2	eqeq2d 2735	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ({𝐴} = {𝑥} ↔ {𝐴} = {𝐴}))
4	3	spcegv 3579	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({𝐴} = {𝐴} → ∃𝑥{𝐴} = {𝑥}))
5	1, 4	mpi 20	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∃𝑥{𝐴} = {𝑥})
6		card1 9960	. 2 ⊢ ((card‘{𝐴}) = 1o ↔ ∃𝑥{𝐴} = {𝑥})
7	5, 6	sylibr 233	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (card‘{𝐴}) = 1o)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098  {csn 4621  ‘cfv 6534  1_oc1o 8455  cardccrd 9927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-om 7850  df-1o 8462  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-card 9931

This theorem is referenced by:  ackbij1lem14  10225  cfsuc  10249