Theorem cardsn 9885

Description: A singleton has cardinality one. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cardsn	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (card‘{𝐴}) = 1o)

Proof of Theorem cardsn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ {𝐴} = {𝐴}
2		sneq 4591	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑥} = {𝐴})
3	2	eqeq2d 2748	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ({𝐴} = {𝑥} ↔ {𝐴} = {𝐴}))
4	3	spcegv 3552	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({𝐴} = {𝐴} → ∃𝑥{𝐴} = {𝑥}))
5	1, 4	mpi 20	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∃𝑥{𝐴} = {𝑥})
6		card1 9884	. 2 ⊢ ((card‘{𝐴}) = 1o ↔ ∃𝑥{𝐴} = {𝑥})
7	5, 6	sylibr 234	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (card‘{𝐴}) = 1o)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  {csn 4581  ‘cfv 6493  1_oc1o 8392  cardccrd 9851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-om 7811  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-card 9855

This theorem is referenced by:  ackbij1lem14  10146  cfsuc  10171