MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cardsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cardsn 9993
Description: A singleton has cardinality one. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
cardsn (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (cardβ€˜{𝐴}) = 1o)

Proof of Theorem cardsn
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . 3 {𝐴} = {𝐴}
2 sneq 4639 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ {π‘₯} = {𝐴})
32eqeq2d 2739 . . . 4 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ({𝐴} = {π‘₯} ↔ {𝐴} = {𝐴}))
43spcegv 3584 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ({𝐴} = {𝐴} β†’ βˆƒπ‘₯{𝐴} = {π‘₯}))
51, 4mpi 20 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ βˆƒπ‘₯{𝐴} = {π‘₯})
6 card1 9992 . 2 ((cardβ€˜{𝐴}) = 1o ↔ βˆƒπ‘₯{𝐴} = {π‘₯})
75, 6sylibr 233 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (cardβ€˜{𝐴}) = 1o)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534  βˆƒwex 1774   ∈ wcel 2099  {csn 4629  β€˜cfv 6548  1oc1o 8480  cardccrd 9959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-om 7871  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9963
This theorem is referenced by:  ackbij1lem14  10257  cfsuc  10281
  Copyright terms: Public domain W3C validator