MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cardsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cardsn 10007
Description: A singleton has cardinality one. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
cardsn (𝐴𝑉 → (card‘{𝐴}) = 1o)

Proof of Theorem cardsn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . 3 {𝐴} = {𝐴}
2 sneq 4641 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → {𝑥} = {𝐴})
32eqeq2d 2746 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ({𝐴} = {𝑥} ↔ {𝐴} = {𝐴}))
43spcegv 3597 . . 3 (𝐴𝑉 → ({𝐴} = {𝐴} → ∃𝑥{𝐴} = {𝑥}))
51, 4mpi 20 . 2 (𝐴𝑉 → ∃𝑥{𝐴} = {𝑥})
6 card1 10006 . 2 ((card‘{𝐴}) = 1o ↔ ∃𝑥{𝐴} = {𝑥})
75, 6sylibr 234 1 (𝐴𝑉 → (card‘{𝐴}) = 1o)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  {csn 4631  cfv 6563  1oc1o 8498  cardccrd 9973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977
This theorem is referenced by:  ackbij1lem14  10270  cfsuc  10295
  Copyright terms: Public domain W3C validator