Theorem cardsn 9970

Description: A singleton has cardinality one. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cardsn	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (card‘{𝐴}) = 1o)

Proof of Theorem cardsn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . 3 ⊢ {𝐴} = {𝐴}
2		sneq 4638	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑥} = {𝐴})
3	2	eqeq2d 2742	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ({𝐴} = {𝑥} ↔ {𝐴} = {𝐴}))
4	3	spcegv 3587	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({𝐴} = {𝐴} → ∃𝑥{𝐴} = {𝑥}))
5	1, 4	mpi 20	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∃𝑥{𝐴} = {𝑥})
6		card1 9969	. 2 ⊢ ((card‘{𝐴}) = 1o ↔ ∃𝑥{𝐴} = {𝑥})
7	5, 6	sylibr 233	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (card‘{𝐴}) = 1o)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540  ∃wex 1780   ∈ wcel 2105  {csn 4628  ‘cfv 6543  1_oc1o 8465  cardccrd 9936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7860  df-1o 8472  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-card 9940

This theorem is referenced by:  ackbij1lem14  10234  cfsuc  10258