MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cardsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cardsn 9251
Description: A singleton has cardinality one. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
cardsn (𝐴𝑉 → (card‘{𝐴}) = 1o)

Proof of Theorem cardsn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2797 . . 3 {𝐴} = {𝐴}
2 sneq 4488 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → {𝑥} = {𝐴})
32eqeq2d 2807 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ({𝐴} = {𝑥} ↔ {𝐴} = {𝐴}))
43spcegv 3542 . . 3 (𝐴𝑉 → ({𝐴} = {𝐴} → ∃𝑥{𝐴} = {𝑥}))
51, 4mpi 20 . 2 (𝐴𝑉 → ∃𝑥{𝐴} = {𝑥})
6 card1 9250 . 2 ((card‘{𝐴}) = 1o ↔ ∃𝑥{𝐴} = {𝑥})
75, 6sylibr 235 1 (𝐴𝑉 → (card‘{𝐴}) = 1o)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1525  wex 1765  wcel 2083  {csn 4478  cfv 6232  1oc1o 7953  cardccrd 9217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-om 7444  df-1o 7960  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-card 9221
This theorem is referenced by:  ackbij1lem14  9508  cfsuc  9532
  Copyright terms: Public domain W3C validator