Theorem card1 9864

Description: A set has cardinality one iff it is a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
card1	⊢ ((card‘𝐴) = 1o ↔ ∃𝑥 𝐴 = {𝑥})

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem card1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 8558	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ ω
2		cardnn 9859	. . . . . . . 8 ⊢ (1o ∈ ω → (card‘1o) = 1o)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (card‘1o) = 1o
4		1n0 8406	. . . . . . 7 ⊢ 1o ≠ ∅
5	3, 4	eqnetri 2995	. . . . . 6 ⊢ (card‘1o) ≠ ∅
6		carden2a 9862	. . . . . 6 ⊢ (((card‘1o) = (card‘𝐴) ∧ (card‘1o) ≠ ∅) → 1o ≈ 𝐴)
7	5, 6	mpan2 691	. . . . 5 ⊢ ((card‘1o) = (card‘𝐴) → 1o ≈ 𝐴)
8	7	eqcoms 2737	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐴) = (card‘1o) → 1o ≈ 𝐴)
9	8	ensymd 8930	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) = (card‘1o) → 𝐴 ≈ 1o)
10		carden2b 9863	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 1o → (card‘𝐴) = (card‘1o))
11	9, 10	impbii 209	. 2 ⊢ ((card‘𝐴) = (card‘1o) ↔ 𝐴 ≈ 1o)
12	3	eqeq2i 2742	. 2 ⊢ ((card‘𝐴) = (card‘1o) ↔ (card‘𝐴) = 1o)
13		en1 8949	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 1o ↔ ∃𝑥 𝐴 = {𝑥})
14	11, 12, 13	3bitr3i 301	1 ⊢ ((card‘𝐴) = 1o ↔ ∃𝑥 𝐴 = {𝑥})

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∅c0 4284  {csn 4577   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  ωcom 7799  1_oc1o 8381   ≈ cen 8869  cardccrd 9831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-om 7800  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-card 9835

This theorem is referenced by:  cardsn  9865