Theorem card1 10030

Description: A set has cardinality one iff it is a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
card1	⊢ ((card‘𝐴) = 1o ↔ ∃𝑥 𝐴 = {𝑥})

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem card1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 8633	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ ω
2		cardnn 10025	. . . . . . . 8 ⊢ (1o ∈ ω → (card‘1o) = 1o)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (card‘1o) = 1o
4		1n0 8479	. . . . . . 7 ⊢ 1o ≠ ∅
5	3, 4	eqnetri 3026	. . . . . 6 ⊢ (card‘1o) ≠ ∅
6		carden2a 10028	. . . . . 6 ⊢ (((card‘1o) = (card‘𝐴) ∧ (card‘1o) ≠ ∅) → 1o ≈ 𝐴)
7	5, 6	mpan2 704	. . . . 5 ⊢ ((card‘1o) = (card‘𝐴) → 1o ≈ 𝐴)
8	7	eqcoms 2769	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐴) = (card‘1o) → 1o ≈ 𝐴)
9	8	ensymd 9016	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) = (card‘1o) → 𝐴 ≈ 1o)
10		carden2b 10029	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 1o → (card‘𝐴) = (card‘1o))
11	9, 10	impbii 212	. 2 ⊢ ((card‘𝐴) = (card‘1o) ↔ 𝐴 ≈ 1o)
12	3	eqeq2i 2774	. 2 ⊢ ((card‘𝐴) = (card‘1o) ↔ (card‘𝐴) = 1o)
13		en1 9035	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 1o ↔ ∃𝑥 𝐴 = {𝑥})
14	11, 12, 13	3bitr3i 304	1 ⊢ ((card‘𝐴) = 1o ↔ ∃𝑥 𝐴 = {𝑥})

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∅c0 4279  {csn 4584   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  ωcom 7866  1_oc1o 8453   ≈ cen 8954  cardccrd 9997

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-om 7867  df-1o 8460  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 10001

This theorem is used by:  cardsn  10031