Theorem card1 9962

Description: A set has cardinality one iff it is a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
card1	⊢ ((card‘𝐴) = 1o ↔ ∃𝑥 𝐴 = {𝑥})

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem card1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 8638	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ ω
2		cardnn 9957	. . . . . . . 8 ⊢ (1o ∈ ω → (card‘1o) = 1o)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (card‘1o) = 1o
4		1n0 8487	. . . . . . 7 ⊢ 1o ≠ ∅
5	3, 4	eqnetri 3011	. . . . . 6 ⊢ (card‘1o) ≠ ∅
6		carden2a 9960	. . . . . 6 ⊢ (((card‘1o) = (card‘𝐴) ∧ (card‘1o) ≠ ∅) → 1o ≈ 𝐴)
7	5, 6	mpan2 689	. . . . 5 ⊢ ((card‘1o) = (card‘𝐴) → 1o ≈ 𝐴)
8	7	eqcoms 2740	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐴) = (card‘1o) → 1o ≈ 𝐴)
9	8	ensymd 9000	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) = (card‘1o) → 𝐴 ≈ 1o)
10		carden2b 9961	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 1o → (card‘𝐴) = (card‘1o))
11	9, 10	impbii 208	. 2 ⊢ ((card‘𝐴) = (card‘1o) ↔ 𝐴 ≈ 1o)
12	3	eqeq2i 2745	. 2 ⊢ ((card‘𝐴) = (card‘1o) ↔ (card‘𝐴) = 1o)
13		en1 9020	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 1o ↔ ∃𝑥 𝐴 = {𝑥})
14	11, 12, 13	3bitr3i 300	1 ⊢ ((card‘𝐴) = 1o ↔ ∃𝑥 𝐴 = {𝑥})

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∅c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  ωcom 7854  1_oc1o 8458   ≈ cen 8935  cardccrd 9929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7855  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933

This theorem is referenced by:  cardsn  9963