Theorem card1 9921

Description: A set has cardinality one iff it is a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
card1	⊢ ((card‘𝐴) = 1o ↔ ∃𝑥 𝐴 = {𝑥})

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem card1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 8604	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ ω
2		cardnn 9916	. . . . . . . 8 ⊢ (1o ∈ ω → (card‘1o) = 1o)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (card‘1o) = 1o
4		1n0 8452	. . . . . . 7 ⊢ 1o ≠ ∅
5	3, 4	eqnetri 2995	. . . . . 6 ⊢ (card‘1o) ≠ ∅
6		carden2a 9919	. . . . . 6 ⊢ (((card‘1o) = (card‘𝐴) ∧ (card‘1o) ≠ ∅) → 1o ≈ 𝐴)
7	5, 6	mpan2 691	. . . . 5 ⊢ ((card‘1o) = (card‘𝐴) → 1o ≈ 𝐴)
8	7	eqcoms 2737	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐴) = (card‘1o) → 1o ≈ 𝐴)
9	8	ensymd 8976	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) = (card‘1o) → 𝐴 ≈ 1o)
10		carden2b 9920	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 1o → (card‘𝐴) = (card‘1o))
11	9, 10	impbii 209	. 2 ⊢ ((card‘𝐴) = (card‘1o) ↔ 𝐴 ≈ 1o)
12	3	eqeq2i 2742	. 2 ⊢ ((card‘𝐴) = (card‘1o) ↔ (card‘𝐴) = 1o)
13		en1 8995	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 1o ↔ ∃𝑥 𝐴 = {𝑥})
14	11, 12, 13	3bitr3i 301	1 ⊢ ((card‘𝐴) = 1o ↔ ∃𝑥 𝐴 = {𝑥})

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∅c0 4296  {csn 4589   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  ωcom 7842  1_oc1o 8427   ≈ cen 8915  cardccrd 9888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-om 7843  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-card 9892

This theorem is referenced by:  cardsn  9922