Theorem card1 9381

Description: A set has cardinality one iff it is a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
card1	⊢ ((card‘𝐴) = 1o ↔ ∃𝑥 𝐴 = {𝑥})

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem card1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 8248	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ ω
2		cardnn 9376	. . . . . . . 8 ⊢ (1o ∈ ω → (card‘1o) = 1o)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (card‘1o) = 1o
4		1n0 8102	. . . . . . 7 ⊢ 1o ≠ ∅
5	3, 4	eqnetri 3057	. . . . . 6 ⊢ (card‘1o) ≠ ∅
6		carden2a 9379	. . . . . 6 ⊢ (((card‘1o) = (card‘𝐴) ∧ (card‘1o) ≠ ∅) → 1o ≈ 𝐴)
7	5, 6	mpan2 690	. . . . 5 ⊢ ((card‘1o) = (card‘𝐴) → 1o ≈ 𝐴)
8	7	eqcoms 2806	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐴) = (card‘1o) → 1o ≈ 𝐴)
9	8	ensymd 8543	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) = (card‘1o) → 𝐴 ≈ 1o)
10		carden2b 9380	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 1o → (card‘𝐴) = (card‘1o))
11	9, 10	impbii 212	. 2 ⊢ ((card‘𝐴) = (card‘1o) ↔ 𝐴 ≈ 1o)
12	3	eqeq2i 2811	. 2 ⊢ ((card‘𝐴) = (card‘1o) ↔ (card‘𝐴) = 1o)
13		en1 8559	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 1o ↔ ∃𝑥 𝐴 = {𝑥})
14	11, 12, 13	3bitr3i 304	1 ⊢ ((card‘𝐴) = 1o ↔ ∃𝑥 𝐴 = {𝑥})

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∅c0 4243  {csn 4525   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  ωcom 7560  1_oc1o 8078   ≈ cen 8489  cardccrd 9348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-om 7561  df-1o 8085  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-card 9352

This theorem is referenced by:  cardsn  9382