Theorem cardval 10540

Description: The value of the cardinal number function. Definition 10.4 of [TakeutiZaring] p. 85. See cardval2 9985 for a simpler version of its value. (Contributed by NM, 21-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cardval.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
cardval	⊢ (card‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥 ≈ 𝐴}

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem cardval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardval.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		numth3 10464	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ dom card)
3		cardval3 9946	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (card‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥 ≈ 𝐴})
4	1, 2, 3	mp2b 10	1 ⊢ (card‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥 ≈ 𝐴}

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426  Vcvv 3468  ∩ cint 4943   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  Oncon0 6357  ‘cfv 6536   ≈ cen 8935  cardccrd 9929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-ac2 10457

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-en 8939  df-card 9933  df-ac 10110

This theorem is referenced by: (None)