Theorem numth3 10476

Description: All sets are well-orderable under choice. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
numth3	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem numth3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3474	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
2		cardeqv 10475	. 2 ⊢ dom card = V
3	1, 2	eleqtrrdi 2873	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ dom card)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453  dom cdm 5659  cardccrd 9944

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-ac2 10469

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-en 8957  df-card 9948  df-ac 10123

This theorem is used by:  numth2  10477  ac5b  10484  ac6  10486  zorn2  10512  zorn  10513  zornn0  10514  ttukey  10524  fodomg  10528  wdomac  10534  fnrndomg  10546  iundom  10554  cardval  10558  cardid  10559  carden  10563  carddom  10566  cardsdom  10567  domtri  10568  sdomsdomcard  10572  infxpidm  10574  ondomon  10575  infmap  10589  aleph1irr  16340  lbsext  21356  hauspwdom  23733  filssufil  24144  ufilen  24162  minregex2  44383