Theorem numth3 10529

Description: All sets are well-orderable under choice. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
numth3	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem numth3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3472	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
2		cardeqv 10528	. 2 ⊢ dom card = V
3	1, 2	eleqtrrdi 2872	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ dom card)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  dom cdm 5651  cardccrd 9997

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-ac2 10522

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-en 8958  df-card 10001  df-ac 10176

This theorem is used by:  numth2  10530  ac5b  10537  ac6  10539  zorn2  10565  zorn  10566  zornn0  10567  ttukey  10577  fodomg  10581  wdomac  10587  fnrndomg  10599  iundom  10607  cardval  10611  cardid  10612  carden  10616  carddom  10619  cardsdom  10620  domtri  10621  sdomsdomcard  10625  infxpidm  10627  ondomon  10628  infmap  10642  aleph1irr  16394  lbsext  21421  hauspwdom  23800  filssufil  24211  ufilen  24229  minregex2  44494