Theorem numth3 10383

Description: All sets are well-orderable under choice. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
numth3	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem numth3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3459	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
2		cardeqv 10382	. 2 ⊢ dom card = V
3	1, 2	eleqtrrdi 2839	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438  dom cdm 5623  cardccrd 9850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-ac2 10376

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-en 8880  df-card 9854  df-ac 10029

This theorem is referenced by:  numth2  10384  ac5b  10391  ac6  10393  zorn2  10419  zorn  10420  zornn0  10421  ttukey  10431  fodomg  10435  wdomac  10440  iundom  10455  cardval  10459  cardid  10460  carden  10464  carddom  10467  cardsdom  10468  domtri  10469  sdomsdomcard  10473  infxpidm  10475  ondomon  10476  infmap  10489  aleph1irr  16173  lbsext  21088  hauspwdom  23404  filssufil  23815  ufilen  23833  minregex2  43508