Theorem numth3 10472

Description: All sets are well-orderable under choice. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
numth3	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem numth3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3479	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
2		cardeqv 10471	. 2 ⊢ dom card = V
3	1, 2	eleqtrrdi 2877	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ dom card)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458  dom cdm 5666  cardccrd 9940

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-ac2 10465

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-en 8953  df-card 9944  df-ac 10119

This theorem is used by:  numth2  10473  ac5b  10480  ac6  10482  zorn2  10508  zorn  10509  zornn0  10510  ttukey  10520  fodomg  10524  wdomac  10529  iundom  10544  cardval  10548  cardid  10549  carden  10553  carddom  10556  cardsdom  10557  domtri  10558  sdomsdomcard  10562  infxpidm  10564  ondomon  10565  infmap  10579  aleph1irr  16327  lbsext  21324  hauspwdom  23695  filssufil  24106  ufilen  24124  minregex2  44302