Theorem uniimadomf 10553

Description: An upper bound for the cardinality of the union of an image. Theorem 10.48 of [TakeutiZaring] p. 99. This version of uniimadom 10552 uses a bound-variable hypothesis in place of a distinct variable condition. (Contributed by NM, 26-Mar-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
uniimadomf.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
uniimadomf.2	⊢ 𝐴 ∈ V
uniimadomf.3	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
uniimadomf	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵) → ∪ (𝐹 “ 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem uniimadomf

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1947	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑧(𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵
2		uniimadomf.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
3		nfcv 2922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
4	2, 3	nffv 6888	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑧)
5		nfcv 2922	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 ≼
6		nfcv 2922	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
7	4, 5, 6	nfbr 5152	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑧) ≼ 𝐵
8		fveq2 6878	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑧))
9	8	breq1d 5113	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵 ↔ (𝐹‘𝑧) ≼ 𝐵))
10	1, 7, 9	cbvralw 3304	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑧) ≼ 𝐵)
11		uniimadomf.2	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
12		uniimadomf.3	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
13	11, 12	uniimadom 10552	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑧) ≼ 𝐵) → ∪ (𝐹 “ 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐵))
14	10, 13	sylan2b 606	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵) → ∪ (𝐹 “ 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2907  ∀wral 3076  Vcvv 3450  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103   × cxp 5653   “ cima 5658  Fun wfun 6527  ‘cfv 6533   ≼ cdom 8950

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-ac2 10465

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-card 9944  df-acn 9947  df-ac 10119

This theorem is used by: (None)