Theorem uniimadomf 10461

Description: An upper bound for the cardinality of the union of an image. Theorem 10.48 of [TakeutiZaring] p. 99. This version of uniimadom 10460 uses a bound-variable hypothesis in place of a distinct variable condition. (Contributed by NM, 26-Mar-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
uniimadomf.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
uniimadomf.2	⊢ 𝐴 ∈ V
uniimadomf.3	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
uniimadomf	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵) → ∪ (𝐹 “ 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem uniimadomf

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1916	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑧(𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵
2		uniimadomf.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
3		nfcv 2899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
4	2, 3	nffv 6845	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑧)
5		nfcv 2899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 ≼
6		nfcv 2899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
7	4, 5, 6	nfbr 5133	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑧) ≼ 𝐵
8		fveq2 6835	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑧))
9	8	breq1d 5096	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵 ↔ (𝐹‘𝑧) ≼ 𝐵))
10	1, 7, 9	cbvralw 3280	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑧) ≼ 𝐵)
11		uniimadomf.2	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
12		uniimadomf.3	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
13	11, 12	uniimadom 10460	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑧) ≼ 𝐵) → ∪ (𝐹 “ 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐵))
14	10, 13	sylan2b 595	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ≼ 𝐵) → ∪ (𝐹 “ 𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2884  ∀wral 3052  Vcvv 3430  ∪ cuni 4851   class class class wbr 5086   × cxp 5623   “ cima 5628  Fun wfun 6487  ‘cfv 6493   ≼ cdom 8885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-ac2 10379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-card 9857  df-acn 9860  df-ac 10032

This theorem is referenced by: (None)