Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniimadomf Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: An upper bound for the cardinality of the union of an image. Theorem 10.48 of [TakeutiZaring] p. 99. This version of uniimadom 9959 uses a bound-variable hypothesis in place of a distinct variable condition. (Contributed by NM, 26-Mar-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression
uniimadomf ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵) → (𝐹𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1915 . . 3 𝑧(𝐹𝑥) ≼ 𝐵
2 uniimadomf.1 . . . . 5 𝑥𝐹
3 nfcv 2958 . . . . 5 𝑥𝑧
42, 3nffv 6659 . . . 4 𝑥(𝐹𝑧)
5 nfcv 2958 . . . 4 𝑥
6 nfcv 2958 . . . 4 𝑥𝐵
74, 5, 6nfbr 5080 . . 3 𝑥(𝐹𝑧) ≼ 𝐵
8 fveq2 6649 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
98breq1d 5043 . . 3 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥) ≼ 𝐵 ↔ (𝐹𝑧) ≼ 𝐵))
101, 7, 9cbvralw 3390 . 2 (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵 ↔ ∀𝑧𝐴 (𝐹𝑧) ≼ 𝐵)
11 uniimadomf.2 . . 3 𝐴 ∈ V
12 uniimadomf.3 . . 3 𝐵 ∈ V
1311, 12uniimadom 9959 . 2 ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑧𝐴 (𝐹𝑧) ≼ 𝐵) → (𝐹𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐵))
1410, 13sylan2b 596 1 ((Fun 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ≼ 𝐵) → (𝐹𝐴) ≼ (𝐴 × 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2112  Ⅎwnfc 2939  ∀wral 3109  Vcvv 3444  ∪ cuni 4803   class class class wbr 5033   × cxp 5521   “ cima 5526  Fun wfun 6322  ‘cfv 6328   ≼ cdom 8494 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-ac2 9878 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-card 9356  df-acn 9359  df-ac 9531 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator