Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11 1204 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ ((π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§)))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
2 | | simp12 1205 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ ((π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§)))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
3 | | simp13 1206 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ ((π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§)))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
4 | | simp2l 1200 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ ((π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§)))) β (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) |
5 | | simp2r 1201 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ ((π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§)))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
6 | | simp33l 1301 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ ((π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§)))) β (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π)) |
7 | | simp31 1210 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ ((π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§)))) β π β π) |
8 | | simp11l 1285 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ ((π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§)))) β πΎ β HL) |
9 | | simp12l 1287 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ ((π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§)))) β π β π΄) |
10 | | simp13l 1289 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ ((π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§)))) β π β π΄) |
11 | | simp2rl 1243 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ ((π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§)))) β π β π΄) |
12 | | simp32l 1299 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ ((π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§)))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
13 | 6 | simpld 496 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ ((π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§)))) β π§ β π΄) |
14 | | simp33r 1302 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ ((π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§)))) β (π β¨ π§) = (π β¨ π§)) |
15 | | cdleme21.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
16 | | cdleme21.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
17 | | cdleme21.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
18 | 15, 16, 17 | cdleme21a 38834 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β π β π§) |
19 | 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 18 | syl322anc 1399 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ ((π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§)))) β π β π§) |
20 | 7, 19 | jca 513 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ ((π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§)))) β (π β π β§ π β π§)) |
21 | 15, 16, 17 | cdleme21b 38835 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β Β¬ π§ β€ (π β¨ π)) |
22 | 8, 9, 10, 11, 7, 12, 13, 14, 21 | syl332anc 1402 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ ((π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§)))) β Β¬ π§ β€ (π β¨ π)) |
23 | | simp32r 1300 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ ((π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§)))) β π
β€ (π β¨ π)) |
24 | 12, 22, 23 | 3jca 1129 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ ((π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§)))) β (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π§ β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) |
25 | | cdleme21.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
26 | | cdleme21.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
27 | | cdleme21.u |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
28 | 15, 16, 25, 17, 26, 27 | cdleme21c 38836 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β Β¬ π β€ (π β¨ π§)) |
29 | 1, 2, 10, 11, 7, 12, 13, 14, 28 | syl332anc 1402 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ ((π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§)))) β Β¬ π β€ (π β¨ π§)) |
30 | | cdleme21.f |
. . 3
β’ πΉ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
31 | | cdleme21.b |
. . 3
β’ π΅ = ((π§ β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π§) β§ π))) |
32 | | cdleme21.d |
. . 3
β’ π· = ((π
β¨ π) β§ π) |
33 | | cdleme21.e |
. . 3
β’ πΈ = ((π
β¨ π§) β§ π) |
34 | | eqid 2733 |
. . 3
β’ ((π β¨ π§) β§ π) = ((π β¨ π§) β§ π) |
35 | | cdleme21d.n |
. . 3
β’ π = ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ π·)) |
36 | | cdleme21d.z |
. . 3
β’ π = ((π β¨ π) β§ (π΅ β¨ πΈ)) |
37 | 15, 16, 25, 17, 26, 27, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36 | cdleme20 38833 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π§) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π§ β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π§))) β π = π) |
38 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 20, 24, 29, 37 | syl333anc 1403 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ ((π§ β π΄ β§ Β¬ π§ β€ π) β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§)))) β π = π) |